旋流器分離的平衡軌道理論研究

羅建國

(陽泉煤業(yè)(集團)有限責(zé)任公司 新景礦洗煤廠，山西 陽泉 045000)

旋流器分離的理論學(xué)說眾多，比較著名的有湍流兩相流理論、平衡軌道理論、停留時間理論、底流擁擠理論和隨機軌道理論等[1-2]，其中平衡軌道理論是目前發(fā)展最成熟、應(yīng)用最廣泛的理論。該理論最早由Driessen于1951年提出，后經(jīng)Criner、Kelsall、龐學(xué)詩、姚書典等國內(nèi)外眾多學(xué)者的繼承和發(fā)展[1-4]，根據(jù)分離面位置和形狀選擇的不同，又衍生出許多重要分支，如最大切線速度軌跡面、零軸速包絡(luò)面及溢流管等徑圓柱面理論等。平衡軌道理論的核心思想包括[3-4]：①不同粒徑(或密度)的粒子最終將處于各自的平衡軌道面上，該面上的粒子徑向速度和加速度均為零，其僅作旋轉(zhuǎn)和軸向運動；在徑向上，由中心至器壁，隨著半徑的逐漸增大，粒子的粒徑(或密度)也逐漸增大，當(dāng)粒子粒徑大于平衡面上旋流器器壁處的粒徑時，受器壁的限制，其只能緊貼器壁。②平衡軌道面上位于旋流器分離基準(zhǔn)面以外的粒子，均隨外旋流從底流口排出，反之則隨內(nèi)旋流從溢流口排出，剛好在分離面上的粒子則等概率的隨底流或溢流排出，該處的粒徑即為分離粒度。

與其它理論學(xué)說相比，平衡軌道理論具有物理意義清晰、簡單明了、推導(dǎo)過程易于實現(xiàn)等優(yōu)點，且由此推導(dǎo)出的分離粒度(也叫切割粒徑)計算數(shù)學(xué)模型形式簡單、無經(jīng)驗常數(shù)、適應(yīng)性強、計算方便、預(yù)測精度高，因此，其在實踐中獲得了廣泛應(yīng)用。但該理論也存在部分不足——理論描述過于理想化，將粒子看成完全按精準(zhǔn)化分離，沒有考慮停留時間和湍流等因素的影響，有待進一步完善和發(fā)展。

1 運動方程的建立

對于旋流器內(nèi)的粒子運動方程，比較著名的是BBO方程[5]，它同時考慮了離心力、向心浮力、流體曳力、慣性力、視質(zhì)量力、Basset力的作用，但其比較復(fù)雜，在實際應(yīng)用中受到很大限制。平衡軌道理論的粒子運動方程在BBO方程的基礎(chǔ)進行了簡化，忽略了部分次要力的作用，只保留了前三個主要作用力。假定切向的粒子與流體運動速度相等，并定義由旋流器軸心指向器壁的方向為正方向，則其運動方程為[6-10]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：d為粒子的粒徑，m；ρm、ρ分別為粒子和流體的密度，kg/m3；vt、vr、vmr分別為流體的切向和徑向速度、粒子的徑向速度，m/s；r為粒子所處的位置半徑，m；t為粒子在旋流器內(nèi)的運動時間，s；FD為流體曳力，N；CD為曳力系數(shù)；A為粒子在流動垂直方向上的投影面積，m2；Re為雷諾數(shù)；μ為流體的動力粘度，Pa·s。

對于球形粒子，則有

A=πd2/4，

(5)

當(dāng)Re≤0.1時，流體曳力為Stokes阻力，將式(3)-(5)代入式(2)，可得

FD=3πμd(vmr-vr)。

(6)

一般認(rèn)為，對于粒徑≤1 mm的粒子，其與流體間的相對運動可以近似看成層流狀態(tài)，將式(6)代入式(1)，整理后可得

(7)

其中vt、vr可以通過計算機采用CFD軟件求解流體連續(xù)性方程和N-S方程得到，但為計算方便，分別以近似經(jīng)驗式(8)和(9)[4，9]代替，

(8)

(9)

式中：ri、R、ru分別為旋流器的入料口和柱段、底流口半徑，m；vi為旋流器入料口處礦漿流速，m/s；H、h分別為旋流器整體和溢流管長度，m。

在實際操作過程中，不能將式(1)中粒子的徑向速度vmr與其相對于流體的徑向速度(vmr-vr)混淆；上述粒子運動方程的建立忽略了粒子間的相互作用，因此，比較適用于低濃度礦漿的場合，但也有學(xué)者認(rèn)為即使?jié)舛雀哌_(dá)28%也能滿足[3]。

2 運動方程的求解

2.1 傳統(tǒng)解法

多數(shù)專家學(xué)者[6-9，11-16]在對式(7)求解時直接將該式左邊第三、第四項當(dāng)作常量，按一階非線性常微分方程求解，最終得出的特征解[6-7,9，15](初始條件中t=0、vmr=0)為：

(10)

當(dāng)t→∞時，其存在最大值，則有

(11)

從式(10)可以看出，盡管在理論上t→∞時vmr才能取得最大值，但實際要達(dá)到此值的99%所需的時間僅為毫秒數(shù)量級。例如，對于μ=0.001 Pa·s、d=1×10-4m、ρm=2 000 kg/m3的入料，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(10)可計算出，該粒子只需約5 ms即可達(dá)到最大值的99%；即使d=5×10-4m，所需時間也不超過0.13 s。因此，在忽略這段短暫的加速時間后，可以認(rèn)為在初始階段就有粒子滿足最大沉降速度(即沉降末速)，即任何時間式 (11)都成立。

曹仲文、袁惠新等人[17]通過引入式vmr=dr/dt對式(11)進行積分求解，得出了r與t的關(guān)系式；其他研究[18]還通過引入式dvmr/dt=dvmr/dr·vmr，直接對式(7)進行微分變換再求解，但均沒有求解出結(jié)果。梁政、任連城等人在得出(11)式后認(rèn)為[9,15]：粒子在進入旋流器的瞬間即受力平衡而達(dá)到沉降末速，在整個沉降過程中徑向合力幾乎處處為零，不存在所謂的徑向合力為零的軌跡面，但存在徑向速度為零的軌跡面。

2.2 作者解法

將式(7)左邊第三、第四項看作常量的傳統(tǒng)解法處理不當(dāng)，這是離心力場沉降有別于重力場沉降的特殊之處。如果梁政、任連城等人的上述結(jié)論成立，則這些粒子都將以沉降末速恒速運動，直至器壁(或中心)，不可能到達(dá)各自的平衡軌道面，也就無法有效分離，這與事實嚴(yán)重不符；從(11)式也可以看出，vmr所代表的沉降末速是隨r變化的變量，這說明這些粒子并不是一直處于受力平衡狀態(tài)。

實際上式(7)是以“粒子”作為參照系進行受力分析得出的，而粒子的徑向速度vmr=dr/dt，即r是與t相關(guān)的變量。也就是說，式(7)中實質(zhì)上隱含了一個vmr=dr/dt的方程，其應(yīng)該是由這兩者組成的聯(lián)立方程組，其等效于如下方程,

(12)

將式(8)、式(9)代入式(12)，整理后可得

(13)

不難看出，式(13)是一個復(fù)雜的二階非線性常微分方程，很難甚至不能求得精確解，但可以采用Matlab軟件通過計算機編程求得近似解。所編程序如下：

function solve_odes

clear all;clc

format long

tspan=0∶0.01∶4;%(時間范圍和步長，可以根據(jù)需要調(diào)整)

r0=[0.037 50];%(粒子初始位置，可以根據(jù)需要變換)

[t r]=ode15s(@myodes,tspan,r0);[t r(∶,1) r(∶,2)]

figure(1)

plot(t,r(∶,1),'r-',t,r(∶,2),'b-'),axis([min(tspan)-0.1 max(tspan)+0.1 min(min(r))-0.01 max(max(r))+0.01]),legend('r','drdt')

function dudt=myodes(t,u)

a=***;b=***;c=***;k=***;%(此處a、b、c、d必須根據(jù)式(13)代入具體數(shù)值)

dudt(1)=u(2);

dudt(2)=-a*u(2)+b*(u(1))^(-2.28)-a*c*(u(1)+k)^(-1);

dudt=dudt';

2.3 分離粒度模型的推導(dǎo)

盡管式(12)很難甚至不能求得精確解，但這并不妨礙人們對平衡軌道理論的應(yīng)用。事實上，只需使該方程中的dr/dt=0且d2r/dt2=0(或式(7)中的dvmr/dt=0和vmr=0)[19]，即可回避直接求解微分方程的難題，進而得出

(14)

式(14)即為平衡軌道理論中的粒子徑向分布通用數(shù)學(xué)模型，也是平衡軌道理論核心思想的理論來源；要使粒子按粒徑大小精確分級，各粒子的密度必須接近。由于該式的推導(dǎo)過程不需要直接對微分方程求解，也因為式(11)與式(7)在dvmr/dt=0的條件下所得表達(dá)式吻合，導(dǎo)致許多學(xué)者在對式(7)方程求解錯誤的情況下仍得出正確的式(14)，從而沒有影響到平衡軌道理論在實踐中的正常應(yīng)用。

對于式(14)，如果以分離基準(zhǔn)面半徑rc代替r，則d就變成了分離粒度d50。但由于不同的學(xué)者采用的vt和vr表達(dá)式及選擇的分離面形狀和位置等不同，有的還以不同的壓力降(ΔP)計算式代替vi，導(dǎo)致最終推導(dǎo)出的d50計算模型存在很大差異。如將式(8)、式(9)代入式(14)，則可得

(15)

式中:rc為分離基準(zhǔn)面位置半徑，m。

從旋流器軸心至器壁的整個區(qū)域，流體的vt和vr都分別由多段函數(shù)組成，例如vt是由準(zhǔn)自由渦和準(zhǔn)強制渦共同組成的，兩者的分界線在最大切線速度位置半徑rm處；平衡軌道理論所采用的vt和vr表達(dá)式為處于準(zhǔn)自由渦區(qū)域的函數(shù)，也就是說，用來描述粒子粒徑沿徑向分布規(guī)律的數(shù)學(xué)模型(即式(14)和式(15))只適用于rm≤r≤R的區(qū)域，而不是0≤r≤R的整個區(qū)域。

3 科學(xué)性論證

反對平衡軌道理論的學(xué)者認(rèn)為，粒子在旋流器內(nèi)沒有足夠的停留時間，故其不可能全部到達(dá)各自的平衡軌道位置[1]。為此，必須證明對于所有粒子，在理論上都能滿足平衡狀態(tài)的條件，即經(jīng)過一段時間后，粒子的徑向速度和加速度同時為零，且不再發(fā)生變化；在有效的停留時間內(nèi)，絕大多數(shù)粒子都可以達(dá)到或近似達(dá)到平衡狀態(tài)。

將計算出的a、b、c、d數(shù)值代入編寫的Matlab程序，以求出粒子的運行軌跡。假設(shè)以溢流管等徑圓柱面作為旋流器的分離基準(zhǔn)面，旋流器的結(jié)構(gòu)、入料性質(zhì)、操作參數(shù)分別為：μ=0.001 Pa·s、ρm=2 000 kg/m3、ρ=1 000 kg/m3、R=0.037 5 m、ri=0.2R、r0=0.35R、L=2R、ru=0.2R、θ=20°、H≈6.5R、h=1.6R、vi=2.5 m/s、d=4×10-5m。將上述數(shù)值代入式(13)，可得到a=5 625、b=0.025 6、c=0.000 765、k=0.007 5，然后在Matlab軟件環(huán)境下進行計算機模擬，并設(shè)定d2r/dt2≈Δ(dr/dt)/Δt，即可得出粒徑0.04 mm的粒子的運動時間與運動路徑、徑向速度與徑向加速度的對應(yīng)關(guān)系(圖1)。同理，可以分別取d=0.02 mm和d=0.01 mm(僅需將程序中a的值分別改為22 500和90 000)，進而得到粒徑為0.02 、0.01 mm的粒子的徑向運動軌跡(圖1)。

對于粒子在旋流器內(nèi)的平均停留時間，可以近似按式(16)通過計算得出。將上文假設(shè)的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(16)，計算出的粒子平均停留時間為1.40 s。

(16)

式中：t′為粒子在旋流器內(nèi)的平均停留時間，s；L為旋流器的柱段長度，m；r0為旋流器的溢流口半徑，m。

圖1 不同粒子的徑向運動軌跡

由圖1可知：

(1)對于任意粒子，其徑向位移始終向某一點(面)逼近，直至達(dá)到平衡狀態(tài)；該點(面)即為對應(yīng)粒徑粒子的平衡軌道面，該位置處的粒子徑向速度和加速度同時為零，且不再變化。

(2)粒子的徑向速度方向和位移方向相同，都是始終指向平衡軌道面；其徑向速度先從零迅速增大到某一值，再在該值附近平緩變化，然后快速下降，在即將接近平衡面時趨于平緩，最后為零且不再變化。

(3)粒子的徑向加速度方向先與徑向速度方向相同，但初始值非常大，隨后瞬間降至與徑向速度值同一數(shù)量級水平，接著其趨于零；在方向改變后繼續(xù)增加，增大到某一值后逐漸減小，最后與徑向速度同時趨于零且不再變化；在整個運動過程中，粒子兩次通過零點。

(4)粒徑為0.04、0.02、0.01 mm的粒子的平衡軌道面分別位于r=22.90、9.70、4.50 mm處，且從器壁到達(dá)各自的平衡軌道面所需的時間分別為4.10、2.60、1.80 s。粒徑為0.02、0.01的粒子的平衡軌道面位于溢流管等徑分離面(r=13.10 mm)以內(nèi)，兩者最終進入內(nèi)旋流并從溢流口排出，其分離作用在溢流管壁處已完成，對應(yīng)的時間分別為1.40、1.10 s，與平均停留時間接近，可以認(rèn)為滿足平衡軌道理論要求。粒徑為0.04 mm的粒子，其達(dá)到平衡軌道面所需的時間明顯大于平均停留時間，故不能滿足平衡軌道理論要求；但該粒子到達(dá)距其平衡面0.1R(即3.75 mm)位置(即r=26.65 mm)所需時間為1.5 s，其與平均停留時間較接近，可以認(rèn)為該粒子處于“準(zhǔn)平衡”狀態(tài)，即近似滿足平衡軌道理論。

采用部分具有代表性的a、b、c、k值和初始位置(取器壁、中部和靠近溢流管處)進行進一步研究，所得結(jié)論與上述結(jié)論基本一致。結(jié)合上文假設(shè)的旋流器結(jié)構(gòu)、操作參數(shù)和物料性質(zhì)，還可計算出d50=0.026 mm，平衡面位置r=13.10 mm，達(dá)到平衡狀態(tài)所需的時間為2.90 s，到達(dá)距其平衡面0.1R位置(r=16.85 mm)所需時間為1.50 s，其接近于平均停留時間，也可以認(rèn)為這些粒子近似滿足平衡軌道理論。由于這些粒子的初始位置選擇的都是器壁，其達(dá)到平衡狀態(tài)的時間相對較長；如果這些粒子處于其它位置，其達(dá)到平衡狀態(tài)所需的時間更少，因此，可以認(rèn)為絕大多數(shù)粒子在旋流器有效停留時間內(nèi)都能夠達(dá)到或近似達(dá)到平衡狀態(tài)。

4 結(jié)論

通過對由離心力、向心浮力、流體曳力三個主要作用力建立的旋流器內(nèi)部分散相粒子運動方程的分析，認(rèn)為其并非簡單的一階常微分方程，而是一個復(fù)雜的二階非線性常微分方程，很難甚至求解不出精確解，但可以利用Matlab軟件編程通過計算機求出近似解。通過計算機的數(shù)值模擬求解，進一步加深和完善了對平衡軌道理論的認(rèn)識，其核心思想可以概況為以下四點：

(1)平衡軌道理論的“平衡”是指粒子的徑向受力和徑向位置同時處于動態(tài)平衡，即粒子的徑向速度和加速度同時趨于零，且不再發(fā)生變化，其只做旋轉(zhuǎn)和軸向運動；該“平衡”不是完全物理意義的精準(zhǔn)化平衡，而是“準(zhǔn)平衡”，即不能保證所有粒子都處于平衡狀態(tài)，但絕大多數(shù)粒子在最終分離前都能運動至以各自平衡面為中心，間距為±0.1R的狹窄環(huán)形區(qū)域面內(nèi)。

(2)沿著旋流器半徑由中心向器壁，粒子的粒徑(密度)逐漸增大，不同粒徑(密度)的粒子將處于各自的環(huán)形區(qū)域平衡面內(nèi)；當(dāng)粒徑大于平衡軌道處于旋流器器壁的粒子粒徑時，受器壁的限制，其只能緊貼器壁。

(3)每個粒子始終都有向自己的平衡軌道面運動的趨勢，理論上其都能達(dá)到平衡狀態(tài)，但受粒子在旋流器內(nèi)停留時間的限制，并不是所有粒子最終都能達(dá)到平衡狀態(tài)；即便對于同一粒徑的粒子，由于其初始徑向位置不同，到達(dá)平衡位置所需的時間也不同，即其運動具有一定的隨機性。

(4)分離基準(zhǔn)面應(yīng)該是一個狹窄的環(huán)形區(qū)域面，最終位于該面以外的粒子都將隨外旋流從底流口排出，反之則隨內(nèi)旋流從溢流口排出，剛好處于該面上的粒子則等概率的隨底流或溢流排出，該處的粒徑即為分離粒度。

平衡軌道理論的現(xiàn)實意義不僅僅在于其對粒子運動行為的合理解釋和分離粒度的精確預(yù)測，更重要的是其為旋流器結(jié)構(gòu)和操作參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計等提供了理論指導(dǎo)：該理論所提出的被選粒子按粒徑(密度)大小沿旋流器徑向有序分層排布的思想，可以確保旋流器在理論上獲得最高的床層松散度和最低的錯配物，最終實現(xiàn)最高分離效率和分離精度，這是其它理論學(xué)說無法比擬的。

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