Schur不等式的一個(gè)注記

Schur不等式的一個(gè)注記*

廖平,趙丹， 王龍， 趙鳳鳴

(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000)

摘要：給出了矩陣特征值模平方和的一個(gè)上界，并證明了所得結(jié)果對(duì)某類(lèi)特殊矩陣可以得到更好的界.

關(guān)鍵詞：矩陣特征值；估計(jì)；Schur不等式.

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.013

收稿日期：2015-06-15；修回日期：2015-07-16.

基金項(xiàng)目：*四川省教育廳自然科學(xué)

作者簡(jiǎn)介：廖平(1983-)，男，四川自貢人，講師，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

中圖分類(lèi)號(hào)：O151.2文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

關(guān)于矩陣特征值模的平方和的一個(gè)上界，以下結(jié)果是熟知的(即Schur不等式)[1-3]：

(1)

(2)

其中，M*表示矩陣M的共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

文獻(xiàn)[4]借助分塊矩陣，對(duì)矩陣M分塊如下：

(3)

其中A=Ak×k為矩陣M的k階主子陣，得到估計(jì)式：

(4)

1矩陣特征值的估計(jì)

(5)

(6)

又因?yàn)?/p>

(7)

又令

(8)

則式(7)可取到最小值

(9)

此時(shí)，由式(6)(7)(9)即得

(10)

又由矩陣K與矩陣M相似，故有相同的特征值，設(shè)λ1,λ2,…,λn為M的特征值，由式(1)則有

(11)

由式(10)(11)即得式(5)，證畢.

(12)

下面將證明對(duì)于一類(lèi)特殊矩陣，上述結(jié)果優(yōu)于式(4).

定理3設(shè)M為任意復(fù)方陣，對(duì)矩陣M分塊如式(3)，若塊矩陣A恰為對(duì)角陣，則

(13)

(14)

證畢.

2數(shù)值算例

參考文獻(xiàn)：

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On the Schur Inequality

LIAO Ping,ZHAO Dan ,WANG Long,ZHAO Feng-ming

(Department of Applied Mathematics and Economics Sichuan Vocational and Technical College,

Sichuan Suining 629000,China)

Abstract：Firstly,an upper bound is given for the sum of square modules of eigenvalues. The result is proven that it can get better bound for some special matrixes.

Key words： matrix eigenvalues; estimation; Schur inequality.