基于線誤差的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定

薛志奇，牛雪娟，王 添

（天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387）

現(xiàn)代制造業(yè)對工業(yè)機(jī)器人性能的要求不斷提高，尤其是高精度的工業(yè)機(jī)器人。評價工業(yè)機(jī)器人性能指標(biāo)主要有2個，重復(fù)定位精度和絕對定位精度。機(jī)器人的重復(fù)精度一般較高，可達(dá)0.1 mm，而絕對定位精度卻較低，一般是厘米級[1]。影響機(jī)器人絕對定位精度的誤差的主要因素包括幾何誤差和非幾何誤差，幾何誤差主要是由機(jī)器人連桿參數(shù)的不準(zhǔn)確引起的，約占總誤差的80%；非幾何誤差主要由環(huán)境因素、機(jī)械熱變形等引起，約占總誤差的20%[2]。提高機(jī)器人絕對定位精度主要有2個途徑，其一是減少誤差源，最大限度地提高機(jī)器人零部件的設(shè)計、加工和裝配精度。由于目前數(shù)控機(jī)床大的加工精度已經(jīng)很高，這種方法實(shí)現(xiàn)起來比較難，而且成本高。其二是用標(biāo)定技術(shù)修正誤差，這種方法能使機(jī)器人的絕對精度大幅提高，運(yùn)用比較廣泛。

機(jī)器人標(biāo)定是運(yùn)用適當(dāng)?shù)臏y量手段和參數(shù)求解方法求出機(jī)器人模型的參數(shù)，以提高機(jī)器人絕對精度的過程。文獻(xiàn)[3]將機(jī)器人的標(biāo)定劃分為關(guān)節(jié)級標(biāo)定、機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定、動力學(xué)標(biāo)定。其中，連桿參數(shù)的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定與測量工具的選用以及測量方法有很大的關(guān)系。隨著測量技術(shù)的不斷提高，國內(nèi)外學(xué)者采用了各種新興的測量工具和測量方法對機(jī)器人進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定[4-7]。既有標(biāo)定方法的精度都不高，尤其是采用的測量方法，實(shí)用性不是很強(qiáng)，而且過程比較復(fù)雜。在此，通過建立運(yùn)動學(xué)誤差模型，創(chuàng)新地采用拉繩編碼器對機(jī)器人進(jìn)行距離測量，提出基于線誤差的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證該方法能提高機(jī)器人的絕對定位精度。

1 基于線誤差運(yùn)動學(xué)標(biāo)定模型

1.1 基于線誤差標(biāo)定平臺的建立

如圖1所示為基于線誤差的標(biāo)定平臺構(gòu)成。將拉繩編碼器的位姿標(biāo)記為｛U｝，機(jī)器人底座標(biāo)記為｛B｝，工具坐標(biāo)系標(biāo)記為｛T｝。 其中，｛U｝為用戶坐標(biāo)系，｛B｝為基礎(chǔ)坐標(biāo)系，且｛U｝與｛B｝的方向平行，｛T｝與法蘭坐標(biāo)系的方向平行。

圖1 基于線誤差標(biāo)定平臺Fig.1 Calibration platform based on linear error

1.2 線誤差模型的描述

機(jī)器人末端被測點(diǎn)Pi在機(jī)器人用戶坐標(biāo)系｛U｝中的實(shí)際位置其距用戶坐標(biāo)系原點(diǎn)Pu的距離為PuPi，而拉繩編碼器實(shí)際測得的拉繩長度為PuPi′。在此把機(jī)器人被測點(diǎn)到用戶坐標(biāo)系原點(diǎn)的實(shí)際距離和指令距離之間的誤差稱為線誤差，可表示為

1.3 六自由度機(jī)器人MDH運(yùn)動學(xué)模型

DH[8]模型描述工業(yè)機(jī)器人連桿坐標(biāo)系采用αi，θi，ai，di4個獨(dú)立的參數(shù)。其不足之處是當(dāng)2個相鄰的關(guān)節(jié)的軸線平行時，平行度的輕微偏差，會導(dǎo)致實(shí)際的公法線的位置與理論的公法線的位置有一個很大的偏差。故在此選用MDH[9]模型建立運(yùn)動學(xué)模型，它的特點(diǎn)是在DH模型的基礎(chǔ)上增加了一個繞Y軸旋轉(zhuǎn)的角度βi，當(dāng)實(shí)際幾何參數(shù)存在微小變化時，這一附加項能夠表達(dá)出系統(tǒng)的模型特征，當(dāng)相鄰關(guān)節(jié)軸線不平行時，轉(zhuǎn)角βi值定義為零。按照MDH運(yùn)動學(xué)模型，建立機(jī)器人各連桿空間坐標(biāo)系，如圖2所示。

圖2 連桿坐標(biāo)系示意Fig.2 Schematic diagram of coordinates

機(jī)器人各連桿變換矩陣為

式中：連桿編號 i=1，2，…，6；c=cos；s=sin。

機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系相對基礎(chǔ)坐標(biāo)系的變換矩陣為

為簡化算法，將工具坐標(biāo)系｛T｝的坐標(biāo)軸指向設(shè)置為法蘭坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸指向；用戶坐標(biāo)系｛U｝的坐標(biāo)軸指向設(shè)置為基礎(chǔ)坐標(biāo)系 ｛B｝的坐標(biāo)軸指向。則機(jī)器人的工具坐標(biāo)系到法蘭坐標(biāo)系和基礎(chǔ)坐標(biāo)系到用戶坐標(biāo)系的齊次變換矩陣分別為

式中：xt，yt，zt分別為工具坐標(biāo)系原點(diǎn)在法蘭坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

式中：xu，yu，zu分別為機(jī)器人基礎(chǔ)坐標(biāo)系原點(diǎn)在用戶坐標(biāo)中的坐標(biāo)值。

由式（3）、式（4）、式（5）可知機(jī)器人工具坐標(biāo)系原點(diǎn)在機(jī)器人用戶坐標(biāo)系中的位姿為

1.4 六自由度機(jī)器人MDH誤差模型

由式（2）可知，串聯(lián)機(jī)器人的每個連桿參數(shù)的名義值和真實(shí)值之間是有微小差別的，用δαi，δai，δdi，δθi，δβi分別表示 2 個相鄰連桿間的扭角偏差、連桿長度偏差、連桿偏置偏差、關(guān)節(jié)角偏差和連桿轉(zhuǎn)角偏差。基于這些偏差都是比較小的事實(shí)，可以用微分偏差來表示。用AiN和AiR分別表示連桿i的名義變換和實(shí)際變換，Δi表示相對于當(dāng)前連桿i坐標(biāo)系的微分變換，則連桿i的誤差為所有幾何參數(shù)的誤差的疊加[10]為

式中：AiN為式（2）所表示的第i個連桿的MDH連桿模型。dAiN可以由變換矩陣Ai求得

由式（8）知：

因?yàn)闄C(jī)器人用戶坐標(biāo)系和基礎(chǔ)坐標(biāo)系的方向是平行的，所以用戶坐標(biāo)系到基礎(chǔ)坐標(biāo)系的變換矩陣的誤差矩陣為

同理，因?yàn)楣ぞ咦鴺?biāo)系和法蘭坐標(biāo)系方向平行，所以機(jī)器人法蘭坐標(biāo)系到工具坐標(biāo)系的變換矩陣的誤差矩陣為

2 線誤差標(biāo)定算法推導(dǎo)及求解

2.1 機(jī)器人連桿誤差與絕對定位精度的關(guān)系

串聯(lián)機(jī)器人每一關(guān)節(jié)均有參數(shù)誤差存在，各關(guān)節(jié)參數(shù)誤差傳遞到機(jī)器人的工具末端點(diǎn)，對于機(jī)器人每個連桿，由式（3）和式（9）可以得到機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系相對基礎(chǔ)坐標(biāo)系的實(shí)際坐標(biāo)變換為

將該式展開略去所有高階微分項可得到：

將式（2）、式（3）、式（9）帶入式（13）并且經(jīng)過大量的化簡可以得到如下形式[11]：

式（10）左上角的3×3矩陣為姿態(tài)微動量，第4列的前3行的3個元素為位置微動量。即：

令

為各個連桿參數(shù)誤差的系數(shù)誤差矩陣

為機(jī)器人所有連桿參數(shù)的固有誤差向量。因?yàn)榻⒌挠脩糇鴺?biāo)系和機(jī)器人基礎(chǔ)坐標(biāo)平行，所以基礎(chǔ)坐標(biāo)系相對與用戶坐標(biāo)系中的位置誤差矩陣為

誤差向量為

工具坐標(biāo)系相對法蘭坐標(biāo)系的位置誤差矩陣為

誤差向量為

綜上所述，由式（17）、式（19）、式（21）可以得到所有要標(biāo)定的參數(shù)誤差矩陣為

由式（18）、式（20）、式（22）可以得到所有的固有向量為

式中：用戶坐標(biāo)系待標(biāo)定參數(shù)為 δxu，δyu，δzu。 因?yàn)橛脩糇鴺?biāo)系和基礎(chǔ)坐標(biāo)系平行，相關(guān)參數(shù)的誤差之間存在耦合，這樣連桿 1待標(biāo)定的參數(shù)只有δα1，δa1。因?yàn)樽鴺?biāo)系只有連桿2和連桿3之間存在軸線平行，所以只有連桿轉(zhuǎn)角偏差δβ2。這樣，連桿2需要標(biāo)定的參數(shù)有 δα2，δa2，δθ2，δβ2；連桿 3 待標(biāo)定的參數(shù)都為δα3，δa3，δθ3，δd3；連桿 4 待標(biāo)定的參數(shù)為 δα4，δa4，δθ4，δd4；連桿 5 待標(biāo)定的參數(shù)為 δα5，δa5，δθ5，δd5。 對于連桿6，因?yàn)榉ㄌm坐標(biāo)系和工具坐標(biāo)系平行，所以工具坐標(biāo)系的待標(biāo)參數(shù)和6桿的待標(biāo)參數(shù)耦合工具坐標(biāo)系的待標(biāo)定參數(shù)為 δxt，δyt，δzt。這樣 Δ 中總共就有24個需要標(biāo)定的參數(shù)。

2.2 標(biāo)定算法推導(dǎo)

假設(shè)機(jī)器人工具末端在機(jī)器人用戶坐標(biāo)系｛U｝中的理論位置為而實(shí)際的指令位置為則整體的機(jī)器人線誤差標(biāo)定模型可以用圖3來表示。

圖3 線誤差標(biāo)定模型簡圖Fig.3 Linear error calibration model diagram

這是一個含有24個未知數(shù)的方程。

2.3 參數(shù)求解

由式（26）可知，用于標(biāo)定機(jī)器人參數(shù)的線性方程組中包含24個參數(shù)。至少需要24個方程才能求出方程的最小二乘解。由于該方程的條件數(shù)很大，可以采用奇異值分解 （SVD）的方法求得最小二乘解。為了盡可能減小SVD誤差，實(shí)驗(yàn)中采樣點(diǎn)應(yīng)盡可能涵蓋機(jī)器人的工作空間。

3 試驗(yàn)分析

3.1 試驗(yàn)過程

使用拉繩編碼器對課題研究的某型六自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動學(xué)標(biāo)定。試驗(yàn)選用的是美國西克公司BCG-E1BM0399型拉伸編碼器，其拉繩長度3 m，精度0.015 mm。這是一種帶有Ethercat接口的拉繩編碼器，可以直接連接到計算機(jī)上，工作時計算機(jī)能實(shí)時讀取機(jī)器人的每個連桿的關(guān)節(jié)值和拉繩長度。試驗(yàn)時，手動控制機(jī)器人的每個關(guān)節(jié)運(yùn)動，操作機(jī)器人以不同的姿態(tài)在機(jī)器人的工作空間運(yùn)動，并且使機(jī)器人在工作空間盡可能大范圍地獲取采樣點(diǎn)。這樣獲得的每一個采樣點(diǎn)都包含有機(jī)器人的每一個連桿的關(guān)節(jié)角 θi（i=1，2，…，6）及拉繩的長度Li，如此至少獲得50個采樣點(diǎn)，然后按照上面參數(shù)求解方法求得最小二乘解即為連桿的幾何參數(shù)補(bǔ)償量。

3.2 試驗(yàn)結(jié)果

標(biāo)定前、后的參數(shù)如表1所示，經(jīng)過參數(shù)求解可以很好地得到機(jī)器人的補(bǔ)償后的連桿參數(shù)，如表1最后一列所示。

該算法標(biāo)定實(shí)驗(yàn)過程中，標(biāo)定儀的擺放位置是任意的，且拉繩末端在法蘭盤上的位置也是任意的。整個標(biāo)定過程方便簡單。經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，該算法零點(diǎn)誤差精度為0.1°，連桿幾何參數(shù)誤差精度可精確到3.15 mm以下，線誤差平均縮小了75%。機(jī)器人絕對定位精度由厘米級提高到毫米級。

表1 標(biāo)定前和標(biāo)定后連桿幾何參數(shù)Tab.1 Geometrical parameter of links before and after calibration

4 結(jié)語

采用高精度拉繩編碼器對某型六自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行測量，并對其運(yùn)動學(xué)參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。研究過程中，基于機(jī)器人的MDH運(yùn)動學(xué)模型，建立了機(jī)器人各坐標(biāo)系間的平行關(guān)節(jié)的齊次變換誤差模型；在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了基于線誤差的運(yùn)動學(xué)標(biāo)定模型；經(jīng)過SVD分解后得到補(bǔ)償量，對關(guān)節(jié)參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償。線誤差的引入，避免了傳統(tǒng)測量儀器成本高，操作難度大，測量誤差大等缺點(diǎn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，基于線誤差的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定可以明顯地提高機(jī)器人的絕對精度。其中，線誤差平均縮小75%，機(jī)器人的絕對精度由原來的厘米級提高到毫米級。

[1]周翔，杜姍姍.工業(yè)機(jī)器人零位標(biāo)定點(diǎn)約束分布研究[J].計算機(jī)工程，2015，41（12）：265-274.

[2]齊飛，平雪良，劉潔.關(guān)于工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定方法的研究[J].機(jī)床與液壓，2015，43（21）：32-36.

[3]Roth Z，Benjamin W，Mooring，Bahram R.An overview of robot calibration[J].IEEE Journal of Robotics and Automation，1987，3：377-385.

[4]楊麗紅，秦緒祥，蔡錦達(dá)，等.工業(yè)機(jī)器人定位精度標(biāo)定技術(shù)的研究[J].控制工程，2013，20（4）：785-788.

[5]H Wang，M Jiang，W Chen.Visual servoing of robots with uncalibrated robot and camera parameters[J].Mechatronics，2012，22（6）：661-668.

[6]許輝，王振華，陳國棟，等.基于距離精度的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定模型[J].制造業(yè)自動化，2013，35（6）：1-4.

[7]龔星如.六自由度工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)標(biāo)定研究[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2013.

[8]Mahmoud Tarokh，Huy Dang Ho，Antonios Bouloubasis.Systematic kinematics analysis and balance control of high mobility rovers over rough terrain[J].Robotics and Autonomous Systems，2013，61（1）：13-24.

[9]J Armstrong Piepmeier，P A Morgan.Uncalibrated vision-based mobile robot control[J].Space&Robotics，2014，21（5）：388-395.

[10]陳鋼，賈慶軒，李彤.基于誤差模型的機(jī)器人運(yùn)動學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法與實(shí)驗(yàn)[J].機(jī)器人，2012，34（6）：680-688.

[11]任永杰，邾繼貴，楊學(xué)友.基于距離精度的測量機(jī)器人標(biāo)定模型及算法[J].計量學(xué)報，2008，3（29）：198-202.