四角點(diǎn)固定支承矩形板固有特性研究

四角點(diǎn)固定支承矩形板固有特性研究

李鄭發(fā)1,2,3，曹登慶2，張迎春1,3

(1.深圳航天科技創(chuàng)新技術(shù)研究院，廣東深圳518057； 2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001；3. 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳518054)

摘要：四角點(diǎn)固定支承矩形板橫向振動(dòng)固有特性的研究對(duì)其實(shí)際應(yīng)用及故障診斷具有重要意義?；谀芰渴睾阍聿⒔Y(jié)合固定支承點(diǎn)處的約束條件建立四角點(diǎn)固定支承矩形板橫向振動(dòng)的拉格朗日方程。采用冪級(jí)數(shù)多項(xiàng)式來(lái)描述其振型函數(shù)，根據(jù)Rayleigh-Ritz理論推導(dǎo)出四角點(diǎn)固定支承矩形板的橫向振動(dòng)頻率方程；由頻率方程給出了不同長(zhǎng)/寬比矩形板基頻的理論計(jì)算結(jié)果，并應(yīng)用該方法獲得了四角點(diǎn)簡(jiǎn)支矩形板的頻率方程。對(duì)典型算例的理論計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果進(jìn)行比較和分析，給出便于工程應(yīng)用求解其基頻的近似計(jì)算式；通過(guò)試驗(yàn)研究表明理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性。

關(guān)鍵詞：矩形板；點(diǎn)支承；基頻；Rayleigh-Ritz方法；Lagrange乘子

中圖分類(lèi)號(hào):O326

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.19.015

Abstract:The natural characteristics of a rectangular plate clamped at 4 corner points are of importance in its application and fault diagnosis. Firstly, its Lagrange equation of transverse vibration based on the principle of energy conservation under constraint conditions of support locations was established to analyze its free vibration problem. Secondly, the frequency equation of the rectangular plate was obtained using Rayleigh-Ritz method with simple polynomials as its modal functions. Finally, the fundamental frequencies were gained for different side ratios according to the theoretical results of the rectangular plates, they were compared with those obtained using the finite element method. In order to get the fundamental frequencies conveniently, approximate expressions were deduced for a typical plate with certain geometrical parameters and material constants in practical engineering. It was shown that the theoretical results agree well with those obtained using the finite element method and the test data.

Natural characteristics of rectangular plates clamped at 4 corner points

LIZheng-fa1,2,3,CAODeng-qing2,ZHANGYing-chun1,3(1. Shenzhen Academy of Aerospace Technology, Shenzhen 518057, China;2. The School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;3. Shenzhen Aerospace Dongfanghong HT Satellite Ltd. CAST, Shenzhen 518054, China)

Key words:rectangular plates;point supports;fundamental frequency;Rayleigh-Ritz method;Lagrangian multiplier

板的振動(dòng)問(wèn)題一直受到科學(xué)和工程界的重視，板在不同邊界條下的振動(dòng)問(wèn)題仍然是振動(dòng)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。四點(diǎn)支承矩形板在建筑、航天、電子等工程領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，如四點(diǎn)支承的玻璃幕墻結(jié)構(gòu)、四點(diǎn)支承的電路板結(jié)構(gòu)、以及四點(diǎn)支承的太陽(yáng)翼結(jié)構(gòu)等。其中四角點(diǎn)支承矩形板結(jié)構(gòu)形式在工程中應(yīng)用尤為廣泛，研究其橫向振動(dòng)固有特性對(duì)其工程應(yīng)用及故障診斷具有非常重要的意義。對(duì)簡(jiǎn)單邊界條件的矩形板橫向振動(dòng)固有頻率可以獲得其解析解，如四邊為簡(jiǎn)支、四邊固支或者有一對(duì)邊簡(jiǎn)支等情況。對(duì)于其他復(fù)雜邊界條件，由于在數(shù)學(xué)方面的困難，很少得到解析解。多年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在求解點(diǎn)支承薄板自由振動(dòng)方面進(jìn)行了大量的研究工作：如Gorman[1-3]基于薄板振動(dòng)問(wèn)題的經(jīng)典解析解，提出采用疊加法求解點(diǎn)支承矩形板的振動(dòng)問(wèn)題。Huang[4]利用離散分析方法研究點(diǎn)支承矩形板自由振動(dòng)問(wèn)題。通過(guò)引入狄拉克δ函數(shù)建立了點(diǎn)支承板彎曲問(wèn)題的基本微分方程，將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程,并利用格林函數(shù)通過(guò)數(shù)值積分得到其自由振動(dòng)特征方程，討論了點(diǎn)支持、板厚度以及長(zhǎng)寬比對(duì)于振動(dòng)頻率的影響。Bapat[5]采用柔度函數(shù)法分析了位于板自由邊界和內(nèi)部多點(diǎn)支承矩形板的振動(dòng)問(wèn)題。該方法是在自由邊界或內(nèi)部支點(diǎn)處添加一個(gè)虛擬的彈性約束條件，并構(gòu)造一個(gè)柔度函數(shù)滿(mǎn)足其約束處的位移邊界條件。Narita[6]利用雙冪級(jí)數(shù)試函數(shù)，支承點(diǎn)的約束條件由Lagrange乘子引入，并根據(jù)Ritz法分析了對(duì)稱(chēng)四點(diǎn)支承正交異性矩形板、帶內(nèi)部支承點(diǎn)的正交異性懸臂板和任意多支承點(diǎn)正交異性橢圓板的自由振動(dòng)問(wèn)題。王硯[7]采用無(wú)網(wǎng)格Galerkin法求解具有有限多個(gè)彈性支承點(diǎn)的矩形薄板橫向振動(dòng)問(wèn)題。通過(guò)彈性動(dòng)力學(xué)Hamilton原理的推廣應(yīng)用得到具有有限多個(gè)支承點(diǎn)的薄板橫向振動(dòng)方程變分式,采用無(wú)網(wǎng)格Galerkin方法建立橫向振動(dòng)方程,并得到該問(wèn)題的特征方程。此外，還有學(xué)者采用分求積法、Rayleigh-Ritz法、有限差分法和有限層法等對(duì)點(diǎn)支承矩形薄板的振動(dòng)特性作過(guò)研究,請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[8-15]。

目前對(duì)四點(diǎn)支承矩形板振動(dòng)分析大部分局限于簡(jiǎn)單情況，但在實(shí)際工程中板固定處的連接通常偏向于剛性連接(即四點(diǎn)固定支承形式)，而對(duì)四角點(diǎn)固定支承矩形板橫向振動(dòng)固有特性的研究還沒(méi)有相關(guān)報(bào)道。本文主要圍繞獲得較為精確的四角點(diǎn)固定支承矩形板橫向振動(dòng)固有頻率開(kāi)展相關(guān)工作。首先，基于能量守恒原理并結(jié)合固定支承點(diǎn)處的約束條件建立四角點(diǎn)固定支承矩形板橫向振動(dòng)的拉格朗日方程；其次，采用冪指數(shù)多項(xiàng)式來(lái)描述其振型函數(shù)，基于Rayleigh-Ritz理論近推導(dǎo)四角點(diǎn)固定支承矩形板的橫向振動(dòng)頻率方程；最后，給出了不同長(zhǎng)/寬比矩形板基頻的理論計(jì)算結(jié)果，并應(yīng)用該方法得到四角點(diǎn)簡(jiǎn)支矩形板的頻率方程。對(duì)典型算例理論計(jì)算結(jié)果和有限元分析結(jié)果進(jìn)行了比較和分析，給出便于工程應(yīng)用求解其基頻的近似計(jì)算式；通過(guò)試驗(yàn)研究表明理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性。

1振動(dòng)拉格朗日方程的建立

考慮邊長(zhǎng)分別為a,b的各向同性均質(zhì)矩形板，其板的兩邊分別位于坐標(biāo)軸ξ、ζ上(見(jiàn)圖1)。固定支承點(diǎn)分別位于A,B,C和D處,四邊處于自由狀態(tài)。

圖1　四角點(diǎn)固定支承板 Fig.1 Sketch of a rectangular plate clamped at corner points

當(dāng)板作橫向振動(dòng)時(shí)，其撓度函數(shù)可以表示為：

w(ξ,ζ,t)=W(ξ,ζ)sin(ωt)

(1)

式中，ω為板的振動(dòng)角頻率，W(ξ,ζ)為板橫向振動(dòng)形函數(shù)。

那么，板在橫向振動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)能T和勢(shì)能U分別表示為：

(2)

(3)

為了便于分析，引入無(wú)量綱參數(shù)x=ξ/a、y=ζ/b。將式(1)代入式(2)和(3)整理得到結(jié)構(gòu)板最大動(dòng)能Tmax和板的最大變形勢(shì)能Umax分別為：

(4)

(5)

式中，α=a/b是板的長(zhǎng)寬比，W(x,y)為其無(wú)量綱撓度函數(shù)。

由能量守恒原理，板在振動(dòng)過(guò)程中最大變形勢(shì)能Umax等于其最大動(dòng)能Tmax得到：

Umax-Tmax=0

(6)

把式(4)和(5)代入到式(6)整理得到：

U0-ηT0=0

(7)

式中，

(8)

η=ρhω2a4/D

(9)

(10)

對(duì)于見(jiàn)圖1的四角點(diǎn)固定支承板，其支承點(diǎn)A,B,C和D處應(yīng)滿(mǎn)足如下基本條件：

(1)位移條件：

W(xp,yp)=0,p=A,B,C,D

(11)

(2)轉(zhuǎn)角條件：

(12)

(13)

為了便于敘述令：

(14)

2矩形板頻率方程的推導(dǎo)

對(duì)四角點(diǎn)固定支承矩形板其振型函數(shù)W(x,y)可以選用如下函數(shù)表示：

(15)

式中，Amn為待定常數(shù)，φm(x)和φn(y)分別表示為：

(16)

(17)

(18)

將表達(dá)式(15)代入方程(18)得到系統(tǒng)的頻率方程為：

(19)

式中，

(20)

(21)

(22)

(23)

Kp=φm(xp)φn(yp)，

(24)

m,i=0,1,2,…,M；n,j=0,1,2,…N;p=A,B,C,D;r,s=0,1,2。

給定表達(dá)式(15)中的項(xiàng)數(shù)M,N后，通過(guò)方程(19)可求得參數(shù)η，從而得到系統(tǒng)的頻率：

(25)

3數(shù)值分析與結(jié)果分析

由方程(19)求得最小特征值，并由式(25)得到系統(tǒng)基頻fmin。從方程(19)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)振型函數(shù)W(x,y)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)M和N值確定后，η僅與板長(zhǎng)寬比α和材料泊松比v有關(guān)。圖2給出最小特征值ηth-fmin與α關(guān)系的理論計(jì)算曲線，其中材料泊松比v=0.3，W(x,y)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)取M=7、N=7。

由于振型函數(shù)W(x,y)選取上采用冪指數(shù)多項(xiàng)式，所以其項(xiàng)數(shù)取到一定數(shù)量時(shí)才能得到較精確的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)項(xiàng)數(shù)取較多時(shí)使得求解過(guò)程較為耗時(shí)。為了便于工程應(yīng)用求解，由圖2中的理論計(jì)算可以擬合出1≤α≤2范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)基頻的近似計(jì)算式ηap-fmin為：

ηap-fmin=189-472e(-α/0.68),(v=0.3)

(26)

圖2　長(zhǎng)寬比α與參數(shù)η關(guān)系(四角固支) Fig.2 Side ratio α vs. parameters η (clamped at corners)

當(dāng)已知結(jié)構(gòu)的α值時(shí)，由方程(26)可快速獲得η值。為了驗(yàn)證其正確性，任意選取4種不同長(zhǎng)寬比的矩形板分別進(jìn)行理論計(jì)算、采用近似公式(26)計(jì)算和有限元計(jì)算，所得結(jié)果分別列于表2，相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表1。其中有限元分析采用通用Patran&Nastran前后處理和求解軟件。采用4節(jié)點(diǎn)四邊形Bending Panel單元對(duì)整板進(jìn)行網(wǎng)劃分，單元長(zhǎng)度為0.03m；采用表1中材料參數(shù)對(duì)單元屬性進(jìn)行賦值；通過(guò)約束4個(gè)角點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)的3個(gè)平動(dòng)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度來(lái)模擬固定連接。

從表2中可以看出理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的誤差在0.42%以?xún)?nèi)，能滿(mǎn)足絕大多數(shù)工程應(yīng)用的精確要求。當(dāng)需要更高精度時(shí)可以增加振型函數(shù)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)進(jìn)一步提高計(jì)算精度。

表1　矩形板參數(shù)

表2　基頻分析結(jié)果(四角點(diǎn)固支)

注：表2中ffix-1為理論計(jì)算結(jié)果；ffix-2利用近似公式(26)得到的計(jì)算結(jié)果；fFEM為有限元分析結(jié)果；

上述算例表明通過(guò)頻率方程(19)可以得到四角點(diǎn)固定支承板較精確的一階固有頻率。通過(guò)釋放轉(zhuǎn)角約束條件(12)，應(yīng)用該方法也可求解四角點(diǎn)簡(jiǎn)支板的固有頻率。通過(guò)與方程(19)類(lèi)似的推導(dǎo)方法可以得到四角點(diǎn)簡(jiǎn)支板的頻率方程為：

(27)

由方程(27)得到其最小特征值ηth-smin與α關(guān)系，其理論計(jì)算曲線見(jiàn)圖3。由圖3中的理論計(jì)算結(jié)果，可以擬合出長(zhǎng)寬比在1≤α≤2范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)基頻的近似計(jì)算式ηap-smin為：

ηap-Smin=88.35-725e(-α/0.34),(v=0.3)

(28)

圖3　長(zhǎng)寬比α與參數(shù)η關(guān)系(四角簡(jiǎn)支) Fig.3 Side ratio α vs. parameters η (simply-supported at corners)

分別采用理論、近似公式(28)和有限元計(jì)算，所得結(jié)果列于表3。有限元分析模型采用四角點(diǎn)固支板有限元模型相同，約束4個(gè)角點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)3個(gè)平動(dòng)自由度來(lái)模擬簡(jiǎn)支連接。從表中可以看出理論計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果的誤差僅在±1%以?xún)?nèi)，表明該方法用于求解四角點(diǎn)簡(jiǎn)支板的基頻也具有很好的精度。

表3　基頻分析結(jié)果(四角點(diǎn)簡(jiǎn)支板)

4試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試了四角點(diǎn)固定支承板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。試驗(yàn)件所用材料是2A12T4，試樣公稱(chēng)尺寸為230mm×200mm×2mm，試驗(yàn)件在四角處通過(guò)M3的鋼螺釘與試驗(yàn)工裝緊固連接，其振動(dòng)測(cè)試狀態(tài)見(jiàn)圖4。振動(dòng)試驗(yàn)在中國(guó)航天希爾公司研制的電動(dòng)振動(dòng)臺(tái)上完成，振動(dòng)臺(tái)的型號(hào)為MPA3324/H1248A/BT1210；數(shù)據(jù)采集采用比利時(shí)LMS公司的LMS數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)、丹麥PK公司型號(hào)為2692的電荷放大器；美國(guó)PCB公司型號(hào)為PCB35721的加速度傳感器。

圖4　板的振動(dòng)測(cè)試狀態(tài) Fig.4 Vibration testing state of the plate

為了避免在試驗(yàn)件上安裝過(guò)多的加速度傳感器而引入附加質(zhì)量，僅在試驗(yàn)件中間安裝一個(gè)加速度傳感器。采用低量級(jí)正弦掃頻試驗(yàn)，振動(dòng)方向垂直于被測(cè)板面，振動(dòng)幅值為0.5g，掃頻范圍為10Hz～500Hz,掃描速率為2oct/min。通過(guò)其響應(yīng)曲線來(lái)獲得該板的一階固有頻率。

經(jīng)試驗(yàn)獲得該四角點(diǎn)支承板的一階固有頻率約為97.2Hz。2A12T4的材料參數(shù)：ρ=2780kg/m3、E=72GPa、v=0.3，將相關(guān)參數(shù)代入到公式(26)求得理論值為93.6Hz。理論值比試驗(yàn)結(jié)果低3.6Hz，其原因在于理論計(jì)算時(shí)支承點(diǎn)位于板的幾何角點(diǎn)處，而試驗(yàn)件4個(gè)固定點(diǎn)僅是靠近角點(diǎn)處，存在一定的邊界誤差。此外，由于采用螺栓緊固連接使得螺釘與板接觸面都被固定約束，與理論計(jì)算采用點(diǎn)約束相比約束明顯要強(qiáng)。因此，試驗(yàn)結(jié)果比理論計(jì)算結(jié)果偏大是屬于合理現(xiàn)象。

5結(jié)論

對(duì)四點(diǎn)固定支承矩形板結(jié)構(gòu)固有特性的研究具有明顯的工程應(yīng)用背景。本文基于能量守恒原理并結(jié)合固定支承點(diǎn)處的約束條件建立了四角點(diǎn)固定支承矩形板橫向振動(dòng)的拉格朗日方程，并由Rayleigh-Ritz理論建立了四角點(diǎn)固定支承矩形板結(jié)構(gòu)的頻率方程。給出了便于工程應(yīng)用的求解基頻的近似表達(dá)式，并通過(guò)數(shù)值模擬和試驗(yàn)研究驗(yàn)證了該方法的正確性。此外，通過(guò)減少支承點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角約束條件，應(yīng)用該方法也可求解四角點(diǎn)簡(jiǎn)支矩形板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。對(duì)四角點(diǎn)支承矩形薄板的橫向自由振動(dòng)問(wèn)題的研究對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用有重要的理論和實(shí)際意義。

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