空間曲線的切線與法平面探討

設(shè)空間曲線：

，

在點處的切向量為

，

切線方程為：

，

法平面方程為：

.

如果空間曲線是方程組表示，則可將一個變量（如）看作參量，利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，求出，，則切向量為.

例1 求曲線，在點處的切線和法平面方程.

解析設(shè)，則有，.于是，因此切線方程為

，

法平面方程為

即

.

例2 求曲線，在點處的切線和法平面方程.

解析當曲線以兩個曲面方程

，

交線形式給出時，可先求出兩曲面在交點處的法向量：

，

則曲線在該點的切向量為

，

本題中，，，

.

于是，切線方程為

或

.

法平面方程為

即

.

例3證明曲線

，，

與錐面的各母線相交的角度相同.

解析圓錐的頂點在原點，過圓錐上任一點的母線也過原點.因此，母線的方向向量.

曲線在點的切向量為

.

因為，所以有

，

于是，交角相同.

例4求函數(shù)在點沿曲線

，，

在此點的切線方向上的導(dǎo)函數(shù).

解析，

，

，

在點，它們的值分別是.

又曲線在該點的切線的方向余弦為.于是所求的導(dǎo)數(shù)為

.

（作者單位：河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）