旋轉(zhuǎn)變換在初等幾何解題中的應用

鄧敏++吳英福

摘 要：隨著新課標的推行與實行，旋轉(zhuǎn)變換已納入中學教材之中。本文通過典型例題探討了利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造全等圖形解決平面幾何中的問題，特別是，在解決關(guān)于等腰三角形、等邊三角形、正方形等發(fā)揮了重要作用。

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)變換；全等三角形；初等幾何

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）01-084-02

人們在日常生活中經(jīng)常遇到有關(guān)圖形變換的問題，全日制義務(wù)教育數(shù)學新課程增加了“圖形與變換”這一部分知識的內(nèi)容。學生在解決平面幾何問題時，作輔助線常常無從下手，若應用旋轉(zhuǎn)變換的思維更容易找到作輔助線的突破口。特別是當題目涉及到等腰三角形、等邊三角形、正方形等問題時，通常將圖形進行旋轉(zhuǎn)變換作圖，將分散的元素集中或?qū)⒂嘘P(guān)條件聯(lián)系起來構(gòu)造圖形解決有關(guān)線段、角、面積等問題，這樣能更快更容易解決問題。所以旋轉(zhuǎn)變換在解析幾何中扮演著一個很重要的角色，甚至起著不可替代的作用。

一、旋轉(zhuǎn)變換的定義及性質(zhì)

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)（circumrotate），這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀。

經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動了相同的角度。任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度都是旋轉(zhuǎn)角。對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

旋轉(zhuǎn)變換的主要性質(zhì)有：（1）在旋轉(zhuǎn)變換下，兩點之間的距離不變；（2）在旋轉(zhuǎn)變換下的兩直線的夾角不變，且對應直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

二、旋轉(zhuǎn)變換在初等幾何解題中的應用

1、正三角形類型

在正三角形ABC中，P為 內(nèi)的一點，將AB繞A點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到 。經(jīng)過這樣的旋轉(zhuǎn)變換，將圖2-1-1（1）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖2-1-1（2）中的 中，此時 也為正三角形。

圖2-1-1

例：如圖2-1-2，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點， =2， = ，PC=4，求 ABC的邊長。

分析：設(shè)法將已知的三條線段放在同一個三角形中，為此將 BPA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到 BMC的位置，連接 ，此時得到的 為等邊三角形，從而將已知的三條線段轉(zhuǎn)化到 中，然后證明 是直角三角形，再證明 為直角三角形，即可得證。

解：將 繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 到 的位置，則 = ， =2， = ，

從而 為等邊三角形， ，

在 PCM中， ，得 ， 圖2-1-2

因為 ，

所以

，

即 ， ，

答： 的邊長等于 。

說明：對于等邊三角形，我們常常將等邊三角形的一邊所在的某個三角形進行旋轉(zhuǎn)變換，例1就是將 繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 到 的位置，使PA、PB、PC三條線段集中于 中，此時 為正三角形，從而簡化了題的難度。

2、等腰直角三角形類型

在等腰直角三角形 中， ，P為 內(nèi)一點，將 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) ，得到的 。經(jīng)過這樣的旋轉(zhuǎn)變換，在圖2-2-1（2）中的一個 為等腰直角三角形。

圖2-2-1

例：已知，在 ABC中，AC=BC， BCA= ，P、Q在AB上， = （如圖2-2-2），求證： 。

分析：設(shè)法將結(jié)論中的三條線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，為此將 繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 。

證明：將 繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 的位置，則 ， ， ，已知 ，

得： ，

，

由于 得 ， ， ，

故 。 圖2-2-2

說明：對于等腰直角三角形，常常將等腰直角三角形的一腰所在的三角形，進行旋轉(zhuǎn)變換作圖。例如上題就是將 繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 的位置，使AP、PQ、BQ三條線段集中于 中，此時 為直角三角形，從而簡化了題的難度。

3、正方形類型

在正方形ABCD內(nèi)有一點P，將 ，得到 。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，將圖2-3-1（1）中的PA、PB、PC三條線段集中于圖2-3-1（2）中的 中，此時 為等腰三角形。

（1） （2） 圖2-3-1

例：如圖2-3-3，P是正方形ABCD內(nèi)一點，PA=2，PD=1，PB=3，求 APD的度數(shù)。

分析：通過旋轉(zhuǎn) ，要求 APD只需求 ，故先求出 ，即求出 。

解： ，則 圖2-3-3

， ， ，

， ， ，由勾股定理的逆定理，得 ，從而 .

說明：在正方形中，往往通過旋轉(zhuǎn)將角進行分割，分別求各角的度數(shù)，再求出各角之和。

4、三角形與圓混合類型

如圖2-4-1（1），正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D是劣弧BC上任意一點，將 繞A點按順時針方向旋轉(zhuǎn) ，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，圖形2-4-1（1）中的DC與BD組合在一條直線上，見圖2-4-1（2），此時 為正三角行，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。

（1） （2）

圖2-4-1

例：如圖2-4-2，正三角形ABC內(nèi)接于圓⊙O，P劣弧BC上任意一點，PA=2，則四邊形ABPC的面積為多少？

（1） （2）

圖2-4-2

分析設(shè)法 將四邊形 的面積轉(zhuǎn)化為 的面積。為此將 ，使得AC與AB重合，即由圖2-4-2（1） 2-4-2（2）， ，從而得解。

解： 則

， ，由于四邊形內(nèi)接于⊙O，得 ， ， ，

即 ，且PA=2， ，

答：四邊形 的面積 。

說明：對于圓與鄰邊相等的四邊形，通過旋轉(zhuǎn)能將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形，從而將問題簡化。

三、總結(jié)

旋轉(zhuǎn)變換思想在幾何中有著廣泛的應用，這種數(shù)學思想體現(xiàn)了思維的多向性。在學習旋轉(zhuǎn)變換時，不僅要熟悉其定義，即：把一個圖形繞著某一個點O轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角，還要熟悉其性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。從以上例子可以看出，運用旋轉(zhuǎn)變換，有時可以很方便地解決某些幾何問題，特別是涉及到等腰三角形、正三角形和正方形等一類問題的求解。應用旋轉(zhuǎn)變換從而使圖形中的邊角關(guān)系更加清楚，圖形簡明，所以旋轉(zhuǎn)變換容易被學生接受，體會到添輔助線是有規(guī)律可循，能夠大大地簡化題的難度。