主動控制和狀態(tài)反饋控制相結(jié)合的超混沌系統(tǒng)同步

鄭小帆, 顏閩秀

(沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110142)

在混沌同步控制中，控制器參數(shù)的給定主要依靠設(shè)計者的經(jīng)驗或者是對系統(tǒng)的充分認(rèn)識.近年來，線性矩陣不等式(LMI)方法[11]，由于其具有高效的求解算法和能獲得全局最優(yōu)解的特點，引起了控制界的關(guān)注，成為魯棒控制分析與設(shè)計的重要方法.但該方法求取的結(jié)果相對保守，且可解性較低.因此，本文針對超混沌系統(tǒng)的同步問題設(shè)計了主動靜態(tài)輸出狀態(tài)反饋控制器.反饋的增益矩陣采用一種相對于LMI方法具有較好可解性的迭代線性矩陣不等式(ILMI)算法來獲取.最后，通過仿真驗證了該控制器的有效性.

1 同步誤差系統(tǒng)的描述

將非線性超混沌系統(tǒng)作為主動系統(tǒng)：

y(t)=Cx(t)

(1)

將另一個超混沌系統(tǒng)表示為被動系統(tǒng)：

(2)

將系統(tǒng)(1)和(2)的同步誤差表示為：

(3)

當(dāng)β=[-1,-1,…,-1,-1]T時，表示兩個系統(tǒng)完全同步，當(dāng)β=[1,1,…,1,1]T時，表示兩個系統(tǒng)是反同步.

同步和反同步誤差的微分方程可以描述為：

(4)

通過設(shè)計加在響應(yīng)系統(tǒng)上的控制器，使得驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達到同步，即要滿足

2 控制器的設(shè)計和分析

(1)S<0.

推論1對于給定的X>0,如果存在正定的對稱矩陣PT=P和相應(yīng)的K滿足下列的線性矩陣不等式：

(5)

動力學(xué)系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的，控制器形式為

(6)

(A+BKC)e(t)

(7)

選取正定的李雅普諾夫函數(shù)為V=eT(t)Pe(t)>0,其中PT=P>0.

把該函數(shù)對時間進行求導(dǎo)得

eT(t)[(A+BKC)TP+P(A+BKC)]e(t)≤

eT(t)[(A+BKC)TP+P(A+BKC)+

CTKTKC]e(t)=eT(t)[ATP+PA-PBBTP+

(BTP+KC)T(BTP+KC)]e(t)

(8)

顯然-PBBTP≤0，即-PBBTP是非正定的.該不等式不能簡化成線性矩陣不等式的形式.因此，引入了一個附加的正定的對稱矩陣變量X.顯然(X-P)TBBT(X-P)≥0,其中X和P具有相同的維數(shù).那么可有

-XBBTP-PBBTX+XBBTX≥-PBBTP

(9)

公式(8)可以化簡為：

PBBTX+XiBBTX+

(BTP+KC)T(BTP+KC)]e(t)

(10)

如果下列的矩陣不等式成立

ATP+PA-XBBTP-PBBTX+XBBTX+

(BTP+KC)T(BTP+KC)≤0

(11)

可得

(12)

基于李雅普諾夫理論，如果存在一個正定的對稱矩陣PT=P和相應(yīng)的矩陣K滿足矩陣不等式(11)成立，則系統(tǒng)(4)是穩(wěn)定的，即兩個超混沌系統(tǒng)能夠穩(wěn)定同步.

應(yīng)用定理1，選取S22=-I，矩陣不等式(11)可以等價為

(13)

如果給定一個正定的對稱矩陣X，公式(13)就可以簡化為求解未知P和K的LMI問題.

證明完畢.

定理2當(dāng)且僅當(dāng)存在P和K滿足下列矩陣不等式(14)時，動力學(xué)系統(tǒng)(4)是α穩(wěn)定的.

ATP+PA-XBBTP-PBBTX+XBBTX+

(BTP+KC)T(BTP+KC)-αP≤0

(14)

此時，在整個復(fù)頻域中，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值都在R(s)=α的左邊平面.隨著α的減小，閉環(huán)系統(tǒng)的特征值也在R(s)=α的左半平面內(nèi)平移.當(dāng)α<0時，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值都在負(fù)半平面，系統(tǒng)就達到穩(wěn)定了.為了增加LMI有解的可能性，引入了迭代線性矩陣不等式(ILMI)算法對不等式(13)進行求解.設(shè)系統(tǒng)由(A,B,C)表示，迭代線性矩陣不等式算法的步驟如下：

步驟1： 選取Q>0，根據(jù)黎卡提方程ATP+PA-PBBTP+Q=0,P=PT>0求解得到P.設(shè)j=1，X1=P.

步驟2： 求解下列關(guān)于Pj、K和αj的最優(yōu)化問題.

OP1.求解以下約束條件下αj的最小值.

(15)

步驟7： 如果ILMI算法不能得到合適的增益矩陣，應(yīng)重新選定矩陣Q，再次進行ILMI算法.

3 仿真分析與討論

為了便于數(shù)值仿真,假設(shè)式(4)中的參數(shù)：

(16)

為了驗證所設(shè)計的修正投影同步控制器的有效性，以超混沌Lorenz 系統(tǒng)和Chen 系統(tǒng)為例進行研究.超混沌Chen系統(tǒng)可以用下面的方程表示：

(17)

其中a=35,b=7,c=12,d=3,r=0.5.

超混沌Lorenz系統(tǒng)可以用下面的方程表示：

(18)

其中a=10,b=28,c=8/3,d=1.3.

3.1 超混沌Chen系統(tǒng)的同步

選取X=I，使用Matlab中的LMI工具箱直接求解推論1中的線性矩陣不等式，然而卻得不到一個可行的結(jié)果.選取Q=I，利用迭代LMI算法來求解相應(yīng)的LMI問題，得到了一系列可行的結(jié)果.推論1的仿真結(jié)果和應(yīng)用迭代LMI算法的結(jié)果的可行性見表1.由迭代LMI算法計算得到的P如下所示：

(19)

表1 LMI和ILMI算法的求解結(jié)果

Table 1 Solve results of LMI and ILMI algorithm

通過數(shù)值仿真結(jié)果可以看出：兩個系統(tǒng)的同步誤差在10 s前沒加入控制時不為0，在第10 s加入控制器后很快達到穩(wěn)定并且誤差是趨于零的.即加入設(shè)計的輸出狀態(tài)反饋控制器后，兩個超混沌系統(tǒng)能達到很好的同步效果.系統(tǒng)的同步誤差如圖1所示.

圖1 Chen系統(tǒng)的同步誤差

3.2 超混沌Lorenz系統(tǒng)的反同步

選取X=I,推論1的直接仿真結(jié)果和應(yīng)用迭代LMI算法結(jié)果的可行性見表2.選取Q=I，由迭代LMI算法計算得到的P如下：

(20)

表2 LMI和ILMI算法的求解結(jié)果

Table 2 Solve results of LMI and ILMI algorithm

系統(tǒng)的同步誤差如圖2所示.由圖2可以看出：兩個系統(tǒng)的同步誤差在10 s前沒加入控制時不為0，在第10 s加入控制器后很快達到穩(wěn)定并且誤差趨于0,即加入設(shè)計的輸出狀態(tài)反饋控制器后，兩個超混沌系統(tǒng)能達到很好的反同步效果.

圖2 Lorenz系統(tǒng)的反同步誤差

4 結(jié) 論

研究了超混沌系統(tǒng)的同步問題.利用Lyapunov穩(wěn)定理論，給出了主動靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計方法及求解反饋增益矩陣的線性矩陣不等式，并將這種混沌系統(tǒng)同步方法應(yīng)用于超混沌Chen系統(tǒng)的同步和Lorenz系統(tǒng)的反同步中.實驗表明：迭代線性矩陣不等式(ILMI)算法比LMI方法更容易得到可行解.數(shù)值仿真驗證了所設(shè)計控制器的有效性.

[1] PECORA L M,CARROLL T L.Synchronization in

Chaotic Systems[J].Physical Review Letters,1990,64(8):821-824.

[2] 譚文,蔣逢靈,王耀南，等.一類混沌系統(tǒng)的滑動模態(tài)同步控制及其應(yīng)用[J].計算機工程與應(yīng)用,2013,49(7):232-234.

[3] 高遠,羅文產(chǎn),戴喜生，等.不確定性超混沌系統(tǒng)的積分滑模同步控制研究[J].自動化儀表,2012,33(5):15-17.

[4] LI W L,CHANG K M.Robust Synchronization of Drive-response Chaotic Systems via Adaptive Sliding Mode Control[J].Chaos,Solitons & Fractals,2009,39(5):2086-2092.

[5] LI X F,LEUNG A C S,HAN X P，et al.Complete(Anti-) Synchronization of Chaotic Systems with Fully Uncertain Parameters by Adaptive Control[J].Nonlinear Dynamics,2011,63(1):263-275

[6] HO M C,HUNG Y C,CHOU C H.Phase and Anti-phase Synchronization of Two Chaotic Systems by Using Active Control[J].Physics Letters A,2002,296(1):43-48.

[7] YASSEN M T.Chaos Synchronization between Two Different Chaotic Systems Using Active Control[J].Chaos,Solitons & Fractals,2005,23(1):131-140.

[8] AHN C K.T-S FuzzyH∞Synchronization for Chaotic Systems via Delayed Output Feedback Control[J].Nonlinear Dynamics,2010,59(4):535-543.

[9] YANG X,CAO J,LU J.Stochastic Synchronization of Complex Networks with Nonidentical Nodes via Hybrid Adaptive and Impulsive Control[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I:Regular Papers,2012,59(2):371-384.

[10] 姚利娜,高金峰,廖旎煥.實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步的非線性狀態(tài)觀測器方法[J].物理學(xué)報，2006,55(1):35-41.

[11] BOYD S,GHAOUI L,Feron E.Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory[J].Proceedings of the IEEE,1997,85(4):698-699.