三體問題一類特解的初探

三體問題一類特解的初探

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學湖北 武漢430300)

摘 要：通過對三體問題的拉格朗日類特解的進一步分析，發(fā)現(xiàn)在改變速度初始值情況下存在3類解析解，并用數(shù)學軟件MathCAD2001對其進行了數(shù)值模擬.

關鍵詞：三體問題特解數(shù)值模擬

收稿日期：(2014-08-04)

三體問題到目前為止有4組特解：一是3顆等質量天體始終在一條直線上，中間天體不動，其余兩顆天體繞中間天體做勻速圓周運動(歐拉類特解)；二是3顆等質量天體組成一個正三角形繞三角形的幾何中心做勻速圓周運動(拉格朗日類特解)；三是3顆等質量天體在一個“8字形”軌道上運動(由克里斯-摩爾借助計算機在1993年發(fā)現(xiàn))；四是1顆質量較小的天體在兩個質量較大天體的引力場中的運動，兩個天體在里面橫沖直撞，第3顆天體在它們的外圍做環(huán)繞運動[1](由布魯克-赫農(nóng)借助計算機發(fā)現(xiàn)).本文著重對第二類拉格朗日類特解進一步分析，發(fā)現(xiàn)了3類解析解.

1建立模型

如圖1所示，設3顆天體組成一個正三角形，繞O點做勻速圓周運動，半徑為r0,速度為v0.

圖1　三體組成一個正三角形

(1)

2軌道方程

如圖2 所示，取O點為極坐標的極點，根據(jù)機械能守恒定律則有[2]

(2)

式中E為天體的總能量，V(r)是系統(tǒng)的引力勢能.

圖2　軌道方程

如取無窮遠處的勢能為零，則質點在距原點r時的引力勢能為

(3)

則式(2)可變?yōu)?/p>

(4)

令

代入式(4)后得

(5)

(6)

兩邊分別積分[3]，得

(7)

故

(8)

令

則上式可變?yōu)?/p>

(9)

故天體A的軌道是焦點在原點上的圓錐曲線.

因為A天體的總能量

(1)E<0，則e<1，軌道為橢圓.

(2)E=0，則e=1，軌道為拋物線.

(3)E>0，則e>1，軌道為雙曲線的一支.

若天體A的軌道為

則天體B的軌道為

天體C的軌道為

當

則

當0

當v=v0時，A天體軌道為圓；

3數(shù)值模擬

圖3　數(shù)值模擬圖

4小結

參 考 文 獻

1漆安慎，杜嬋英.力學(第1版).北京：高等教育出版社，1997.261～264

2周衍伯.理論力學教程(第2版).北京：高等教育出版社，1997.67～74

3周城璧.高等數(shù)學(第3版). 北京：高等教育出版社，1997.370～371