曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的誤差計(jì)算與分析

曹巨江， 任　升， 劉言松， 王文將

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安　710021)

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曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的誤差計(jì)算與分析

曹巨江， 任升， 劉言松， 王文將

(陜西科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 陜西 西安710021)

摘要：曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是一種新型的驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，對(duì)精度要求很高.因此，對(duì)其誤差進(jìn)行計(jì)算、分析非常有必要.但由于其結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使得各個(gè)誤差之間存在耦合，這為該機(jī)構(gòu)的誤差研究帶來(lái)了較大的困難.本文對(duì)曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)采用由單元到整體的方法，推導(dǎo)出了一種誤差計(jì)算方法，對(duì)各個(gè)誤差源做了分析，并指出了桿長(zhǎng)誤差、間隙等影響下的誤差計(jì)算，以及曲柄輸出誤差計(jì)算.這為曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的精度實(shí)驗(yàn)研究提供了理論依據(jù).

關(guān)鍵詞：曲柄群機(jī)構(gòu)； 誤差計(jì)算； 誤差分析

0引言

曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)應(yīng)用在包裝、煙草和印刷等輕工機(jī)械中，常用來(lái)驅(qū)動(dòng)多個(gè)平行軸同步轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖1所示.該機(jī)構(gòu)各個(gè)桿長(zhǎng)的制造誤差、各運(yùn)動(dòng)副的

間隙、安裝誤差以及各誤差的耦合等，都會(huì)影響該機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)精度.這些誤差會(huì)影響其多個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的同步性[1-3]，其動(dòng)力學(xué)性能也會(huì)變差，從而對(duì)機(jī)器的性能造成很大的影響.因此，找到一種該機(jī)構(gòu)的誤差計(jì)算方法，對(duì)該機(jī)構(gòu)的誤差研究以及實(shí)際應(yīng)用具有一定的意義.

現(xiàn)有的連桿機(jī)構(gòu)的誤差分析理論與方法很多，但多為確定桿機(jī)構(gòu)的研究[4].曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)由于應(yīng)用場(chǎng)合的不同，其曲柄數(shù)以及桿件的布置均有很大差異;此外，曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)決定了其誤差存在耦合，這都給該機(jī)構(gòu)的誤差研究帶來(lái)了困難.本文通過(guò)把曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)先單元后整體的方法，給出了一種關(guān)于該機(jī)構(gòu)誤差計(jì)算的方法.

圖1　曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1基本結(jié)構(gòu)單元誤差模型

實(shí)際應(yīng)用中，由于場(chǎng)合的不同，對(duì)曲柄的數(shù)目以及連桿的長(zhǎng)度會(huì)提出不同的要求，使得曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)在曲柄的數(shù)量和布局上存在很大差異，這給該機(jī)構(gòu)的統(tǒng)一分析帶來(lái)不便.為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，考慮到該機(jī)構(gòu)所有的曲柄長(zhǎng)度相同，相位也相同，任意兩個(gè)曲柄均可以組成平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，這是曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的核心所在，從而可以把平行雙曲柄機(jī)構(gòu)作為基本單元結(jié)構(gòu)來(lái)對(duì)曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究.

在理想情況下，曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)為平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，但由于桿長(zhǎng)誤差以及間隙的存在，使得兩曲柄、連桿與機(jī)架的長(zhǎng)度不一致，也不再嚴(yán)格平行[5-7]，此時(shí)，其變?yōu)榱艘粋€(gè)近似平行雙曲柄機(jī)構(gòu)的特殊雙曲柄機(jī)構(gòu).

可建立基本誤差模型，如圖2所示.以與機(jī)架連接的兩轉(zhuǎn)動(dòng)副中心連線為x軸、垂直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系.OA′B′C′為理想狀態(tài)下的平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，曲柄長(zhǎng)為L(zhǎng)q；OABC為存在誤差時(shí)的近似平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，OA′與OA重合，OC′與OC重合，主動(dòng)曲柄、連桿、從動(dòng)曲柄以及機(jī)架的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1、L2、L3、L4，主動(dòng)曲柄與機(jī)架的夾角為φ1，AB桿與水平方向的夾角為φ2， BC桿與水平方向的夾角為φ3，Q為連桿上一點(diǎn)，AQ長(zhǎng)為m，AQ與AB的夾角為γ，主動(dòng)曲柄的角速度為ω.

圖2　基本誤差模型

該誤差模型有傳動(dòng)函數(shù)φ2=φ2(φ1,L1,L2,L3,L4)，當(dāng)誤差Δφ1和ΔLi非常小時(shí)，把該函數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并忽略二階導(dǎo)數(shù)以上的項(xiàng)[8-12]，可以得到誤差表達(dá)式:

(1)

對(duì)近似平行雙曲柄機(jī)構(gòu)OABC列出矢量封閉方程得:

(2)

(3)

將桿長(zhǎng)L1、L2、L3、L4,以及輸入角φ1,分別視為變量，對(duì)輸出角φ3求偏導(dǎo)數(shù)，整理可得:

(4)

對(duì)于這個(gè)近似平行雙曲柄機(jī)構(gòu)的特殊雙曲柄機(jī)構(gòu)，存在L1≈L3≈Lq,φ1≈φ3,φ2≈0 °,代入式(4)可得:

(5)

對(duì)于連桿上的點(diǎn)Q，由于各誤差的存在，會(huì)使Q點(diǎn)的坐標(biāo)產(chǎn)生誤差，我們用ΔQx和ΔQy分別表示x軸與y軸方向上的誤差[5,6].

對(duì)OAQ列矢量封閉方程有:

(6)

按歐拉公式展開(kāi):

(7)

其誤差為:

(8)

我們研究機(jī)構(gòu)存在的誤差對(duì)于連桿上某一點(diǎn)Q的誤差影響，在這里，AQ長(zhǎng)為m，AQ與AB的夾角為γ，均為定值，即Δm=0，Δγ=0.又φ2≈0 °，L1≈Lq，則有:

(9)

將式(5)代入式(9),得：

(10)

當(dāng)φ1的值接近0 °時(shí)，φ2、φ3與φ1之間的誤差相對(duì)于φ1的值不能忽略，此時(shí),需要用展開(kāi)的歐拉公式(3)計(jì)算各個(gè)值，然后代入式(4)，從而求得Δφ2.

2曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的誤差計(jì)算

在曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)中，存在多個(gè)從動(dòng)曲柄，有多個(gè)輸出，理想情況下，其輸出可以從任意一個(gè)包含該從動(dòng)曲柄的平行雙曲柄機(jī)構(gòu)中得到，其輸出是確定的，相互獨(dú)立的，不會(huì)相互影響.然而，曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)作為一個(gè)整體，每一個(gè)從動(dòng)曲柄的輸出誤差都是由整體機(jī)構(gòu)中各個(gè)誤差相互耦合的結(jié)果，各個(gè)從動(dòng)曲柄的輸出誤差不能從包含了這個(gè)從動(dòng)曲柄的某一個(gè)基本誤差模型而簡(jiǎn)單地得到.

從機(jī)構(gòu)傳動(dòng)的角度分析，整體機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)是:主動(dòng)曲柄驅(qū)動(dòng)平面連架桁桿運(yùn)動(dòng)，平面連架桁桿帶動(dòng)從動(dòng)曲柄運(yùn)動(dòng).因?yàn)槠矫骅旒苓B桿的存在，使得各個(gè)從動(dòng)曲柄的輸出誤差相互耦合，變得復(fù)雜.因此,研究平面連架桁桿的誤差是必要的.

對(duì)于任意一個(gè)含有n個(gè)曲柄的曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，令其主動(dòng)曲柄為L(zhǎng)1，從動(dòng)曲柄依次為L(zhǎng)2,L3,…,Ln，任意兩個(gè)曲柄Li、Lj的桁架桿連接部分的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)ij，任意兩個(gè)曲柄Li、Lj的機(jī)架連接部分的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)ji，在曲柄Li、Lj和連桿Lij、機(jī)架Lji組成的平行雙曲柄機(jī)構(gòu)中，曲柄Li、Lj與機(jī)架的夾角分別為φij、φji，平面桁架連桿上Q點(diǎn)與曲柄Li和桁架交點(diǎn)的連線，其與連桿Lij的夾角為γij，連桿Lij與機(jī)架Lji的夾角為βij，以含有3個(gè)曲柄的曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為例，如圖3所示.

圖3　含有3個(gè)曲柄的曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)

曲柄Li、Lj和連桿Lij、機(jī)架Lji組成的平行雙曲柄機(jī)構(gòu)對(duì)Q點(diǎn)的誤差影響為

(11)

上述分析某一平行雙曲柄機(jī)構(gòu)對(duì)Q點(diǎn)的誤差時(shí)，是以與機(jī)架連接的兩轉(zhuǎn)動(dòng)副中心連線為x軸、垂直方向?yàn)閥軸建立的平面直角坐標(biāo)系，從而計(jì)算出的誤差是在該坐標(biāo)系下的誤差.曲柄群機(jī)構(gòu)包含了多個(gè)平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，其所建立的平面直角坐標(biāo)系不相同，需要把這些誤差值統(tǒng)一在同一個(gè)坐標(biāo)系下.

設(shè)平面直角坐標(biāo)系O-XY，曲柄Li、Lj和連桿Lij、機(jī)架Lji組成的平行雙曲柄機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系為oij-xy，而oij-xy坐標(biāo)系x軸與O-XY坐標(biāo)系X軸的夾角為Δij，oij-xy坐標(biāo)系原點(diǎn)在O-XY坐標(biāo)系中的值為(xij、yij).以含有3個(gè)曲柄的曲柄群機(jī)構(gòu)為例，建立如下坐標(biāo)系，如圖4所示.

圖4　含有3個(gè)曲柄的曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)建立

將ΔxQij、ΔyQij變換到坐標(biāo)系O-XY中,有：

(12)

則綜合后的總誤差為：

(13)

3誤差的分析及控制

對(duì)式(11)分析可得，對(duì)于ΔXQij、ΔYQij的誤差可分為三部分.

(1)由初始角度誤差Δφi引起的誤差.該項(xiàng)的影響系數(shù)與曲柄長(zhǎng)、曲柄的方位角有關(guān).若要減小誤差大小，需要減小Lq、Δφi，即減小曲柄的長(zhǎng)度和初始角度誤差.

(2)由各個(gè)桿長(zhǎng)誤差ΔLi引起的誤差.該項(xiàng)的影響系數(shù)與曲柄的方位角有關(guān).若要減小誤差大小，需要減小ΔLi，即減小各個(gè)桿長(zhǎng)誤差.

(3)由曲柄的相對(duì)長(zhǎng)度誤差(ΔLi-ΔLj)、連桿和機(jī)架桿的相對(duì)長(zhǎng)度誤差(ΔLij-ΔLji)引起的誤差.該項(xiàng)的影響系數(shù)與Q點(diǎn)的方位、曲柄長(zhǎng)以及曲柄的方位角有關(guān).若要減小誤差大小，可以增加Lq、減小(ΔLi-ΔLj)和(ΔLij-ΔLji)，即增加曲柄的長(zhǎng)度、減小曲柄的相對(duì)長(zhǎng)度誤差以及連桿和機(jī)架桿的相對(duì)長(zhǎng)度誤差.

在理想的情況下，機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)符合理論設(shè)計(jì)，則初始角度誤差不會(huì)造成輸出曲柄之間的相對(duì)輸出角度誤差，桿長(zhǎng)誤差及間隙是導(dǎo)致機(jī)構(gòu)偏離理想的主要因素，對(duì)這兩個(gè)誤差因素的控制尤為重要.

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，如果通過(guò)采取減小各個(gè)桿長(zhǎng)誤差控制機(jī)構(gòu)的誤差，隨著加工精度的提高，會(huì)使加工成本大幅增加，因此,最大可能地去減小桿長(zhǎng)誤差不是最優(yōu)的方法.

從誤差計(jì)算公式中可以看到，曲柄的相對(duì)長(zhǎng)度誤差(ΔLi-ΔLj)以及連桿和機(jī)架桿的相對(duì)長(zhǎng)度誤差(ΔLij-ΔLji)是誤差的重要來(lái)源，從減小曲柄的相對(duì)長(zhǎng)度誤差、連桿和機(jī)架桿的相對(duì)長(zhǎng)度誤差的角度考慮，這應(yīng)該是個(gè)較好的方法.

4各誤差源誤差的計(jì)算及輸出誤差的計(jì)算

本文推導(dǎo)出的誤差模型可以計(jì)算輸出角度誤差、桿長(zhǎng)誤差與間隙引起的誤差等.當(dāng)取Δφ1=0 °，即輸入角度誤差為0，Q點(diǎn)的誤差只與機(jī)構(gòu)的各桿的長(zhǎng)度以及各個(gè)曲柄的相對(duì)位置有關(guān).而桿長(zhǎng)誤差與間隙，是影響桿機(jī)構(gòu)精度的兩個(gè)非常重要的因素.

4.1桿長(zhǎng)誤差對(duì)桁架連桿上一點(diǎn)誤差的影響

式(13)推導(dǎo)出了曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)桁架連桿上一點(diǎn)誤差的表達(dá)式.對(duì)于桿長(zhǎng)誤差，取Δφ1=0 °，直接代入該式中，可以直接得到桿長(zhǎng)誤差下的從動(dòng)曲柄的輸出誤差大小.

4.2間隙對(duì)桁架連桿上一點(diǎn)誤差的影響

對(duì)于間隙，該公式也適用.根據(jù)文獻(xiàn)[13]的相關(guān)研究，在研究運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)誤差的影響時(shí)，可用“含間隙機(jī)構(gòu)有效桿長(zhǎng)計(jì)算模型”來(lái)考慮運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)機(jī)構(gòu)的影響.這樣，間隙的影響就轉(zhuǎn)化為了一種桿長(zhǎng)誤差，取Δφ1=0 °，式(13)就可以用來(lái)計(jì)算間隙所引起的從動(dòng)曲柄的輸出誤差大小.由于有效桿長(zhǎng)是變化的，因此，這里的桿長(zhǎng)誤差也是動(dòng)態(tài)的.

4.3從動(dòng)曲柄輸出誤差的計(jì)算

當(dāng)在選定的Q點(diǎn)接入一個(gè)從動(dòng)曲柄,或者把Q點(diǎn)選在某一從動(dòng)曲柄與桁架連桿連接處，便可以得到該從動(dòng)曲柄的輸出誤差.在這種情況下，所有包含該從動(dòng)曲柄的平行雙曲柄機(jī)構(gòu)中的γij為0 °.

式(13)包含了輸入誤差、桿長(zhǎng)誤差以及機(jī)構(gòu)尺寸等要素，當(dāng)研究桿長(zhǎng)誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙下的曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)輸出誤差時(shí)，取Δφ1=0 °，建立統(tǒng)一坐標(biāo)系，得到各個(gè)桿件的方位，將桿長(zhǎng)、誤差值代入公式，然后分別計(jì)算桿長(zhǎng)誤差和運(yùn)動(dòng)副間隙所引起的曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的輸出誤差.由于桿長(zhǎng)誤差與間隙等相對(duì)于名義桿長(zhǎng)很小，可以認(rèn)為其對(duì)機(jī)構(gòu)的誤差影響是相互獨(dú)立的，最終誤差為兩者的線性疊加[14].

5結(jié)論

本文從曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的基本單元出發(fā)，推導(dǎo)出了連桿上一點(diǎn)的誤差計(jì)算.以此為基礎(chǔ).對(duì)整體

機(jī)構(gòu)先拆分為多個(gè)基本機(jī)構(gòu)單元，然后整體綜合考慮，解決了曲柄群驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)由于機(jī)構(gòu)復(fù)雜而帶來(lái)的誤差耦合、計(jì)算困難的問(wèn)題.

通過(guò)對(duì)推導(dǎo)出的誤差公式分析，指出了初始角度誤差、各個(gè)桿長(zhǎng)誤差,以及桿長(zhǎng)相對(duì)誤差等,對(duì)機(jī)構(gòu)整體誤差的影響;同時(shí)指出了如何控制這些誤差源對(duì)機(jī)構(gòu)誤差的影響；還指明了桿長(zhǎng)誤差、間隙等是該機(jī)構(gòu)的主要誤差源，并采用“含間隙機(jī)構(gòu)有效桿長(zhǎng)計(jì)算模型”對(duì)考慮間隙下該機(jī)構(gòu)誤差的計(jì)算做了初步探索.

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The error calculating and analysis of crank-group driving mechanism

CAO Ju-jiang， REN Sheng， LIU Yan-song， WANG Wen-jiang

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

Abstract:Crank group drive mechanism is a new drive mechanism,which requires high precision.It is very necessary to calculate and analysis the error of crank group drive mechanism.Due to the complexity structure of this mechanism,there is coupling between the various error,which makes it difficult to study the agency′s error.This paper adopted the approach from the unit to the whole to analysis the error of crank group drive mechanism.Derive an error calculating method of this mechanism,and various error sources were analyzed.Pointed out the calculation of error caused by the rod length error and the gap error, the calculate of crank output error.This paper provide a theoretical basis to experimental study of the accuracy of the institution.

Key words:crank-group mechanism; error calculating; error analysis

中圖分類號(hào)：TH112

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-5811(2015)02-0139-04

作者簡(jiǎn)介:曹巨江(1955-),男,陜西戶縣人，教授，博士，研究方向：機(jī)械工程、凸輪機(jī)構(gòu)及先進(jìn)制造技術(shù)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51175313)

收稿日期:*2014-11-30