轉(zhuǎn)化是一種重要的解題策略,通過(guò)轉(zhuǎn)化達(dá)到“化難為易”、“化繁為簡(jiǎn)”、“化未知為已知”的目的.例如:
如圖1,有一個(gè)圓柱,它的高等于12厘米,底面半徑等于3厘米.在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻,它想吃到上底面與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)處的食物,沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?(選自北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)P13例題)
解決這類(lèi)問(wèn)題的策略是將空間的曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面的線段問(wèn)題,利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”及“勾股定理”使問(wèn)題獲得解決,如圖2.
“將立體中無(wú)法解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上可解決的問(wèn)題”,這是我們解決問(wèn)題的常用策略!
那么,是否也有“將平面上無(wú)法解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為立體上可解決的問(wèn)題”的情形呢?回答是肯定的!請(qǐng)看下面的例子:
例1 只用圓規(guī),畫(huà)出一條線段.
“只用圓規(guī)畫(huà)線段?”沒(méi)聽(tīng)錯(cuò)吧!
你也許認(rèn)為這是不可能的事,但我們確實(shí)能夠做到!
我們知道,一張紙上有一條線段,若將這張紙卷成紙筒,那么這條線段就變成了曲線.反過(guò)來(lái),再將紙筒展開(kāi)鋪成平面,曲線就又變成了線段.沿著這條思路,我們就能將“平面上用圓規(guī)畫(huà)線段問(wèn)題”轉(zhuǎn)化成“曲面上用圓規(guī)畫(huà)曲線問(wèn)題”:
拿一個(gè)茶缸,在茶缸底部放一個(gè)和茶缸底面一樣大小的圓形紙片,拿一張紙粘在茶缸的內(nèi)壁上,用圓規(guī)的針腳釘在圓形紙片的圓心,圓規(guī)的另一腳在茶缸的內(nèi)壁上畫(huà)圓(如圖3).揭下茶缸內(nèi)壁上的紙張,展開(kāi)、鋪平,這樣就得到我們要畫(huà)的線段!
例2 將圓規(guī)兩個(gè)針腳間的距離固定為2a厘米,用這個(gè)固定了半徑的圓規(guī)畫(huà)一個(gè)半徑為a厘米的半圓.
如果是在平面上,你不可能完成這個(gè)任務(wù)!但借助于立體的東西,卻可以做到,請(qǐng)看:
拿一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒,在底面的一條棱上截取一條長(zhǎng)度為2a厘米的線段AB,再以線段AB為一邊做一個(gè)等邊三角形ABO,以O(shè)為圓心開(kāi)始在盒子的底面畫(huà)圓,碰到棱上的A點(diǎn)后,則在直立的一面上繼續(xù)畫(huà)圓(如圖4),則弧APB就是以C為圓心的半圓(說(shuō)明:C是線段AB的中點(diǎn)),其半徑為a厘米.
證明 因?yàn)椤鱋CA和△OCP均為直角三角形(注意:△OCP是空間的直角三角形),OA=OP,OC為公共邊,所以△OCA≌△OCP(HL).所以CP=CA=12AB=a(厘米).
感悟 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要思維靈活,大膽想象,勇于創(chuàng)新,不要受條條框框的局限和束縛,否則,你就無(wú)法突破固定的思維模式,你就無(wú)法在創(chuàng)新的道路上闊步前進(jìn)!希望通過(guò)上面兩個(gè)問(wèn)題的解決對(duì)大家學(xué)習(xí)與思考數(shù)學(xué)有所啟迪和幫助.作者簡(jiǎn)介 鄭泉水,男,順平縣蒲陽(yáng)鎮(zhèn)人,1964年2月出生,中學(xué)高級(jí)教師,河北省優(yōu)秀教師,保定市名師、優(yōu)秀教研員、學(xué)術(shù)帶頭人,兩次獲保定市教學(xué)成績(jī)學(xué)科優(yōu)勝獎(jiǎng),在各級(jí)期刊發(fā)表文章160余篇.
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)2015年6期