大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅳ)——波動與光學(xué)部分

大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅳ)
——波動與光學(xué)部分

劉家福張昌芳

(裝甲兵工程學(xué)院物理室北京100072)

摘 要：本文首先對全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽中波動與光學(xué)試題所占的比例、各知識點的分布情況進行統(tǒng)計、分析，然后對波動與光學(xué)試題的解題方法、試題特點進行剖析，最后概括性地介紹旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：大學(xué)生物理競賽波動與光學(xué)試題《基本要求》旋轉(zhuǎn)矢量法

收稿日期：(2014-06-20)

目前，國內(nèi)每年舉辦的跨省市的以大學(xué)生為參賽對象的物理類競賽，有全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽、全國大學(xué)生物理實驗競賽、全國大學(xué)生物理學(xué)術(shù)競賽、軍隊院校大學(xué)生物理科技創(chuàng)新競賽等.其中，由北京物理學(xué)會和北京高校物理教學(xué)研究會舉辦的全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽歷史最為久遠，規(guī)模不斷壯大，之所以經(jīng)久不衰，乃賴于其影響和意義[1,2].筆者10余年來始終關(guān)注該項賽事，搜集、研究了其所有試題.本文是筆者對歷屆波動與光學(xué)試題進行研究的總結(jié)，主要是對波動與光學(xué)試題進行統(tǒng)計、分析，并對試題的典型解題方法、特點進行剖析，希望能為日常教學(xué)、參賽選手的學(xué)習(xí)準備及競賽輔導(dǎo)工作提供參考.

1波動與光學(xué)試題及其在競賽中的占比

教育部教指委2010年編制發(fā)布的《理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求》[3](以下簡稱《基本要求》)將大學(xué)物理課程內(nèi)容分解為11個板塊，“振動和波”、“光學(xué)”分別為其第2和第5板塊.張三慧先生曾將這兩個板塊集于教材的一冊出版[4]，取名《波動與光學(xué)》.本文借用此名，所分析的即是以振動、波動及光的現(xiàn)象、性質(zhì)、規(guī)律為研究對象的試題.

基于同樣的原因[2]，本文所采用的試題樣本為非物理類A組試題，剔出了其中的實驗題，而且將每一屆的理論題總分數(shù)均折合為100分.

在表1中，我們列出了歷屆競賽波動與光學(xué)試題的總分數(shù).其中，“滬津”指1988年上海、天津兩市的大學(xué)生物理競賽；第2屆競賽中，有1道力學(xué)的題目和1道振動的題目二選做一，本文統(tǒng)計時我們選做了振動題目.

表1　歷屆大學(xué)生物理競賽波動與光學(xué)試題的總分數(shù)統(tǒng)計

從表1的數(shù)據(jù)看，即使第2屆不選做振動題而選做力學(xué)題，波動與光學(xué)試題的最高(第6屆)、最低(第8屆)占比相差也接近5倍，各屆的占比忽上忽下，沒有任何規(guī)律可循.全部31套試題中，波動與光學(xué)試題的平均占比為21.9%.《基本要求》建議《波動與光學(xué)》授課不少于28學(xué)時，而整個課程不少于126學(xué)時，競賽中波動與光學(xué)試題的分數(shù)占比與《基本要求》建議的《波動與光學(xué)》學(xué)時占比相當(dāng).

2波動與光學(xué)試題各知識點的分布

《基本要求》將《波動與光學(xué)》內(nèi)容分解為A，B兩類(A類為核心內(nèi)容，本科生學(xué)習(xí)大學(xué)物理課程應(yīng)達到的最低要求；B類為擴展內(nèi)容，體現(xiàn)加強基礎(chǔ)教育，增強學(xué)生發(fā)展?jié)摿?共36條.在31套試題中，有5條A類知識點(簡諧運動的能量；一維簡諧運動的合成、拍現(xiàn)象；惠更斯原理、波的衍射；光在球面上的反射和折射；薄透鏡)和7條B類知識點(非線性振動簡介；聲波、超聲波和次聲波，聲強級；顯微鏡、望遠鏡、照相機；晶體的X射線衍射；全息照相；光的雙折射現(xiàn)象；光與物質(zhì)的相互作用：吸收、散射和色散)沒有直接考核.第6屆考核了一個光波的多普勒效應(yīng)問題(占2.8分，不在《基本要求》的范圍內(nèi)，不納入統(tǒng)計).表2列出了其他各條內(nèi)容在歷屆競賽中所占比重的平均值.

表2《波動與光學(xué)》各知識點在競賽試題中的平均占比

知識點類別平均占比/%簡諧運動的基本特征和表述、振動的相位、旋轉(zhuǎn)矢量法A0.54簡諧運動的動力學(xué)方程A3.44阻尼振動、受迫振動和共振B0.87兩個相互垂直、頻率相同或為整數(shù)比的簡諧運動合成B0.10機械波的基本特征、平面簡諧波波函數(shù)A0.38波的能量、能流密度A0.11波的疊加、駐波、相位突變A0.76機械波的多普勒效應(yīng)A0.69幾何光學(xué)基本定律A0.13光在平面上的反射和折射A0.38光源、光的相干性A1.54光程、光程差的概念A(yù)0.49分波陣面干涉A1.25分振幅干涉A2.01邁克耳孫干涉儀B0.12

續(xù)表

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，在歷屆試題中，“簡諧運動的動力學(xué)方程”的平均占比最高(即使第2屆不選做振動問題，也不影響這個知識點的“霸主”地位)，其他占比超過2%的依次是“偏振光的干涉和人工雙折射”、“光柵衍射”和“分振幅干涉”.值得一提的是，《基本要求》將“偏振光的干涉”列為B類內(nèi)容，而全部31套競賽試題中竟然有13套考核了“偏振光的干涉”，與“簡諧運動的動力學(xué)方程”試題出現(xiàn)的次數(shù)持平，競賽在這里充分體現(xiàn)了《基本要求》所倡導(dǎo)的“增強學(xué)生發(fā)展?jié)摿Α钡木?

3簡諧運動的地位及其基本方法

一個物體在平衡位置附近來回往復(fù)地做周期性運動，而且其相對平衡位置的位移隨時間按余弦(或正弦)函數(shù)的規(guī)律變化，我們說這個物體在做簡諧運動.在媒質(zhì)中，做簡諧運動的質(zhì)元帶動鄰近的質(zhì)元也做簡諧運動，使得簡諧運動模式傳播出去，從而形成簡諧機械波.機械波的干涉、衍射，在本質(zhì)上都是簡諧運動的疊加.在某一方向上，電場強度(磁場強度)隨時間周期性地變化，形成電場強度(磁場強度)的振動；電場和磁場強度的振動傳播出去，即形成電磁波.光波是電磁波，無論是光的干涉、衍射，還是偏振光的干涉，在本質(zhì)上都是電場強度振動的疊加.因此，簡諧運動在本文所討論的內(nèi)容范圍內(nèi)具有基礎(chǔ)性的重要地位，這也是“簡諧運動的動力學(xué)方程”這個知識點成為占比霸主的原因.

簡諧運動系統(tǒng)的振幅和初相是隨外界施以的初始運動條件而改變的，而角頻率則決定于系統(tǒng)本身.分析簡諧運動的角頻率，有兩種基本的方法.

【例1】如圖1所示，倔強系數(shù)為κ的水平輕彈簧一端固定，另一端連接在質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓柱體的軸上，圓柱可繞其軸在水平面上滾動.令圓柱體偏離其平衡位置，使該系統(tǒng)做簡諧振動，設(shè)圓柱與地面之間無滑動，求系統(tǒng)的振動周期T[5].

圖1

由于圓柱體受到的地面摩擦力未知，受力分析法在此題中無用武之地.考慮到圓柱體在地面上只滾不滑，其所受到的摩擦力不做功.將彈簧和圓柱體作為系統(tǒng)，沒有外力做功，也沒有非保守內(nèi)力做功，系統(tǒng)的機械能守恒.所以，本題宜用能量法進行分析.

對于學(xué)生來說，“剛體”是他們在中學(xué)階段沒有接觸到的概念，在學(xué)習(xí)剛體力學(xué)時比較吃力.本題中的圓柱體既有(中心軸的)平動，又有(繞中心軸的)轉(zhuǎn)動，如何正確寫出圓柱體的動能，是對大多數(shù)學(xué)生的一個挑戰(zhàn).本題既有這么一個難點，又考核了能量法的應(yīng)用，具有一定的難度.

4波動與光學(xué)問題的特點

縱觀30年的競賽，大多數(shù)波動與光學(xué)試題都是純理論性的，可以利用學(xué)習(xí)過程中所掌握的公式直接求解.但是，也有一些問題考核了學(xué)生對基本原理的領(lǐng)悟程度與分析、解決應(yīng)用型問題的能力.

【例2】如圖2所示，從遠處聲源發(fā)出的聲波，波長為λ，垂直射到墻上，墻上有兩個小孔A和B，彼此相距a=3λ.將一個探測器沿與墻垂直的AP直線移動，遇到兩次極大，它們的位置Q1,Q2已定性地在圖中示出，求Q1,Q2與A的距離[6].

圖2

這個問題容易讓人聯(lián)想到楊氏雙縫干涉，但又沒有現(xiàn)成的公式可資利用.這就迫使我們?nèi)ダ斫狻疤綔y器遇到極大”的含義.如果知道以下兩點：(1)墻面是入射聲波的一個波陣面，A和B是相位相等的兩個子波源；(2)凡是與A，B的距離之差為λ的整數(shù)倍的點就是探測器遇到極大的點，這個問題就迎刃而解了.

【例3】如圖3所示，波長為λ的兩個相干的平行光束1和2分別以入射角θ,φ入射在屏幕面MN上，求屏幕上干涉條紋的間距[5].

圖3

這個問題也沒有現(xiàn)成的公式可以套用，會令那些學(xué)死知識的學(xué)生不知如何下手.其實，如果掌握了如下基本原理：(1)平行光束的波陣面是與光的傳播方向垂直的平面；(2)兩束相干光在相遇點的相位差為2π的整數(shù)倍時，產(chǎn)生干涉明條紋；(3)相鄰的兩條明條紋對應(yīng)的相位差之差為2π(或-2π)，這個問題就成了簡單的幾何問題了.

以上兩道試題要求學(xué)生根據(jù)最基本的原理分析、解決問題，而不能直接套用公式獲得問題的答案.

波動與光學(xué)試題中，還有一些與生活、實踐、工程技術(shù)緊密聯(lián)系的題目，考核學(xué)生靈活、綜合應(yīng)用所學(xué)知識的能力，考查學(xué)生嚴謹認真科學(xué)態(tài)度的養(yǎng)成.

圖4

【例4】如圖4所示，標(biāo)準聲源發(fā)出頻率ν0=250.0Hz的聲波，一音叉與該標(biāo)準聲源同時發(fā)聲，產(chǎn)生頻率為1.5Hz的拍音，當(dāng)在音叉的臂上粘一小塊橡皮泥時，拍頻將增加，則音叉的固有頻率是多少？將上述音叉置于盛水的玻璃管口，調(diào)節(jié)管中水面的高度，當(dāng)管中空氣柱高度L從零連續(xù)增加時，發(fā)現(xiàn)在L=0.34m和1.03m時產(chǎn)生相繼的兩次共鳴，求聲波在空氣中的傳播速度[5].

這個問題的原題只是一個填空題，但它考核了幾個方面的內(nèi)容：“拍”的概念，粘橡皮泥對音叉固有頻率的影響，聲速的測量技術(shù).其中，“拍”的概念在歷屆競賽試題中僅此出現(xiàn)一次(盡管它屬于《基本要求》的A類知識點)；這種測量聲速的技術(shù)簡單實用，后續(xù)的大學(xué)物理實驗課程中很可能就有這個實驗.根據(jù)本題的數(shù)據(jù)求聲速，需要用到駐波的性質(zhì).然而，題目中根本沒有出現(xiàn)“駐波”一詞，能不能將駐波與本題聯(lián)系起來，以及是不是掌握了駐波的性質(zhì)，則是對學(xué)生能力的考核.

另外，如果音叉的固有頻率是251.5Hz，粘上一塊不是特別小的橡皮泥后，使得音叉的頻率下降3Hz以上，拍頻也增加了.這樣會出現(xiàn)不同的測量結(jié)果.

關(guān)于多普勒效應(yīng)的學(xué)習(xí)，教科書里大多講的是波源、觀察者(或二者之一)沿著他們的連線相對運動的情況，而很少涉及不是沿著連線相對運動的情況.

【例5】(第16屆競賽)飛機在空中以速度u=200m/s做水平飛行，它發(fā)出頻率ν0=2 000Hz的聲波，靜止在地面上的觀察者在飛機越過其上空時，測定飛機發(fā)出聲波的頻率，他在4s內(nèi)測出的聲波頻率由ν1=2 400Hz降為ν2=1 600Hz，已知聲波在空氣中的速度v=300m/s，由此求飛機的飛行高度h[7].

這個問題中，飛機在空中飛行，其相對觀察者運動的方向與聲波向觀察者傳播的方向不同.分析這樣的問題，就需要學(xué)生平時有所積累，有這方面的經(jīng)驗，或者在競賽時能夠靈活運用，敢于創(chuàng)新.

題中說觀察者測得頻率為ν2和ν1聲波的時間間隔是4s，稍不細心的學(xué)生就容易認為飛機在發(fā)出這兩個聲波信號的時間內(nèi)飛行了800m.這是解本題時最容易出錯的地方，正因為容易出錯，所以出現(xiàn)了不同的答案[7，8].

眾所周知，遍布在城鄉(xiāng)公路上的測速儀利用的是多普勒效應(yīng).實際上，測速也有別的辦法，第3屆競賽就給出了另一種辦法.

【例6】一房屋座落在一條東西向公路的南面距公路100m的地方，屋內(nèi)的電視機正接收遠處電視臺的訊號，訊號頻率為60MHz，方向如圖5所示[5].一汽車沿公路自東向西勻速行駛，使屋內(nèi)電視訊號的強度發(fā)生起伏變化.當(dāng)汽車行經(jīng)房屋正北面O點的瞬時，屋內(nèi)電視訊號的強度起伏為每秒兩次，求汽車的行駛速率.

圖5

本題自然用不到多普勒效應(yīng)，因為沒有頻率的變化，只有電視訊號強度的變化.電視訊號的強度決定于直接來自電視臺和由汽車反射而來的訊號干涉的結(jié)果，干涉結(jié)果決定于汽車的位置，汽車的運動影響干涉結(jié)果，從而將電視訊號強度的變化與汽車的運動聯(lián)系了起來.電視訊號的強度“起”，意味著干涉相長；“伏”意味著干涉相消；“強度起伏為每秒兩次”，即直接來自電視臺和由汽車反射而來的訊號到達電視接收機的波程差對時間的變化率為訊號波長的2倍.

這個問題給學(xué)生提供了另一種測速方法，有利于開闊學(xué)生的眼界，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.同時，本題也考核了學(xué)生將物理語言“翻譯”成數(shù)學(xué)語言的能力.

【例7】(第9屆競賽光學(xué)題[5])圖6所示為一種制造光柵的原理圖，激光器發(fā)出的光束(波長為600nm)經(jīng)分束器得到兩束相干的平行光，這兩種光分別以0與30°的入射角射到感光板H上，形成一組等距的干涉條紋.經(jīng)一定時間的曝光和顯影、定影等處理后，H就成為一塊透射光柵，其光柵常數(shù)等于干涉條紋的間距.為了在第一級光譜能將500.00nm和500.02nm的二譜線分開，求所制得的光柵沿x方向應(yīng)有的最小寬度.

圖6

這個問題不僅考核了光柵的分辨本領(lǐng)，而且考核了上述分析的干涉條紋間距問題，同時還讓學(xué)生了解到一種制造光柵的原理.

5旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用

在平面上，始端O點和長度保持不變,矢端以恒定的角速度ω沿逆時針方向做圓周運動的矢量A稱為旋轉(zhuǎn)矢量，如圖7所示.

圖7

在t時刻，旋轉(zhuǎn)矢量與Ox軸的夾角為(ωt+φ)，矢端在Ox軸上的投影坐標(biāo)為x=Acos(ωt+φ).這恰是在Ox軸上振幅為A,角頻率為ω,初相為φ的簡諧運動的表達式.因此，可以用旋轉(zhuǎn)矢量表示簡諧運動，旋轉(zhuǎn)矢量的長度、旋轉(zhuǎn)角速度、初始時刻與Ox軸的夾角分別對應(yīng)簡諧運動的振幅、角頻率、初相這“三要素”.

旋轉(zhuǎn)矢量與簡諧運動的曲線描述相對應(yīng)；利用旋轉(zhuǎn)矢量，可以很直觀地理解簡諧運動的合成；旋轉(zhuǎn)矢量還可以用來分析簡諧波；尤其是在分析光柵衍射時，旋轉(zhuǎn)矢量的運用有助于理解光柵方程(主極大的必要條件)dsinθ=kλ(k=0,±1,±2,…)及“相鄰的兩條主極大明條紋之間，有N-1條暗紋,N-2條次極大明紋”的道理.

總之，旋轉(zhuǎn)矢量法在波動與光學(xué)的學(xué)習(xí)過程中隨處都能夠發(fā)揮重要作用，學(xué)生如果能夠掌握旋轉(zhuǎn)矢量法，在分析和理解上述各問題時將會得心應(yīng)手.

6結(jié)語

本文對全國部分地區(qū)大學(xué)生物理競賽波動與光學(xué)試題進行了統(tǒng)計，分析了各條知識的占比情況，剖析了波動與光學(xué)試題的典型解題方法、特點，并介紹了旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用.波動與光學(xué)試題要求考生不僅需具有扎實的知識基礎(chǔ)，而且應(yīng)掌握最基本的原理、最有效的方法并用以分析、解決問題.掌握旋轉(zhuǎn)矢量法，在波動與光學(xué)的學(xué)習(xí)及分析、解決問題的過程中，往往會收到事半功倍的效果.

參 考 文 獻

1劉家福，張昌芳. 大學(xué)生物理競賽及其試題特色. 物理與工程，2008，18(4)：65

2劉家福，張昌芳.大學(xué)生物理競賽試題賞析(Ⅰ)——力學(xué)部分. 物理通報，2014(10)：54～56

3教育部高等學(xué)校物理學(xué)與天文學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會. 理工科類大學(xué)物理課程教學(xué)基本要求(2010年版). 北京：高等教育出版社，2010. 1

4張三慧. 大學(xué)物理學(xué)(第4冊)波動與光學(xué)(第2版). 北京：清華大學(xué)出版社，2000. 1

5工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解匯編(第1～13屆). 工科物理，1997(S1):15,5,100,26,92

6工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解(第14屆). 工科物理，1998,8(3)

7工科物理編輯部. 全國部分地區(qū)非物理類專業(yè)大學(xué)生物理競賽題解(第16屆). 工科物理，2000,10(3)

8李長江. 大學(xué)生物理競賽試題解答與分析. 北京：中國建材工業(yè)出版社，2004. 158