環(huán)F2m+uF2m上常循環(huán)碼及其Gray像

開曉山(1975-),男,安徽青陽人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

環(huán)F2m+uF2m上常循環(huán)碼及其Gray像

張付麗1,開曉山1,陳安順2

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥230009; 2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 滁州239000)

摘要:文章研究了環(huán)F2m+uF2m上的循環(huán)碼與(1+u)-常循環(huán)碼之間的關(guān)系,其中u2=0。利用F2m+uF2m到的Gray映射,確立了F2m+uF2m上(1+u)-常循環(huán)碼的Gray像,由此證明了F2m+uF2m上奇長度的循環(huán)自對偶碼是類型Ⅰ碼。

關(guān)鍵詞:(1+u)-常循環(huán)碼;循環(huán)碼;Gray映射;自對偶碼;類型Ⅰ碼

收稿日期：2013-12-05

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(61370089);安徽省自然科學(xué)基金資助項目(1208085MA14);安徽省高校省級自然科學(xué)研究資助項目(KJ2013Z276);安徽省高等學(xué)校省級優(yōu)秀青年人才基金資助項目(2012SQRL156)和滁州學(xué)院校級科研資助項目(2011kj00B)

作者簡介：張付麗(1986-),女,安徽臨泉人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

doi:10.3969/j.issn.1003-5060.2015.01.029

中圖分類號:TN911.22 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

ConstacycliccodesovertheringF2m+uF2mandtheirGrayimages

ZHANGFu-li1,KAI Xiao-shan1,CHEN An-shun2

(1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China; 2.SchoolofMathematicalSciences,ChuzhouUniversity,Chuzhou239000,China)

Abstract:The relationship between cyclic codes and (1+u)-constacyclic codes over the ring F2m+uF2m is studied, where u2=0.. Further, it is proved that cyclic self-dual codes of any odd length over F2m+uF2m are Type I codes.

Keywords:(1+u)-constacycliccode;cycliccode;Graymap;self-dualcode;TypeIcode

0引言

1預(yù)備知識

設(shè)環(huán)R=F2m+uF2m,其中u2=0,顯然環(huán)R是一個特征為2的有限交換鏈環(huán),其極大理想為〈u〉。R上長為n的碼C是Rn的一個非空子集,若C為Rn的一個R-子模,則稱C為R上長為n的線性碼。對Rn中任意的2個碼字x=(x0,x1,…,xn-1)、y=(y0,y1,…,yn-1),定義其內(nèi)積為:

若x·y=0,則稱x和y正交。定義線性碼C的對偶碼為C⊥={x∈Rn|x·y=0,?y∈C}。若C=C⊥,則稱為R上長為n的自對偶碼。設(shè)c=(c0,c1,…,cn-1)為Rn上的任意碼字,Rn上的循環(huán)移位σ和(1+u)-常循環(huán)移位ν分別定義為:

2Gray映射

自然地,可以將φ擴展到Rn上,即

為了利用Gray映射研究R上的線性碼,首先給出2個引理。

證明對于任意a(x),b(x)∈R[x],a(x)≡b(x)mod(xn-1)當(dāng)且僅當(dāng)存在h(x)∈R[x],使得a(x)-b(x)=h(x)(xn-1),當(dāng)且僅當(dāng)a((1+u)x)-b((1+u)x)=h((1+u)x)(((1+u)x)n-1)。而

由引理1容易得到推論1。

引理2環(huán)R上長為n的線性碼C是循環(huán)自對偶碼當(dāng)且僅當(dāng)μ(C)是R上長為n的(1+u)-常循環(huán)自對偶碼,且每個碼字的Lee重量與Gray重量均保持不變。

證明對C中任意的碼字c=(c0,c1,…,cn-1),注意到μ(C)=(c0,(1+u)c1,c2,(1+u)c3,…,(1+u)cn-2,cn-1)。

任取C中2個碼字a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1),若C是R上長為n的循環(huán)自對偶碼,則a·b=0,即a0b0+a1b1+…+an-1bn-1=0,由此得到：

從而μ(a)·μ(b)=0。由引理1可知,μ(C)是(1+u)-常循環(huán)自對偶碼。反之,若μ(C)是R上長為n的(1+u)-常循環(huán)自對偶碼,則由μ(a)·μ(b)=0類似可得a·b=0。因此,C是R上長為n的循環(huán)自對偶碼當(dāng)且僅當(dāng)μ(C)是R上長為n的(1+u)-常循環(huán)自對偶碼。最后,欲證每個碼字的Lee重量保持不變,只需證明對每個奇數(shù)i=1,3,…,n-2,wL(ci)=wL((1+u)ci)。設(shè)ci=ai+ubi,其中ai,bi∈F2m。注意到：

從而wL((1+u)ci)=wL(ai+bi,bi)=wL(ci)。同理可證wG(ci)=wG((1+u)ci),由此可得每個碼字的Gray重量保持不變。證畢。

3(1+u)-常循環(huán)碼的Gray像

下面研究R上長為n的(1+u)-常循環(huán)碼的Gray像,一方面,建立R上(1+u)-常循環(huán)碼與F2m上循環(huán)碼之間的聯(lián)系;另一方面,利用R上(1+u)-常循環(huán)碼得到F2m上的最優(yōu)碼。

證明由Gray映射的定義,對任意x,y∈Rn,有dG(x,y)=wG(x-y)=wH(φ(x-y))。因φ是同態(tài)映射,故wH(φ(x-y))=wH(φ(x)-φ(y))。因此有：

引理4若C是R上長為n的線性碼,則φ(C)是F2m上長為2n的線性碼。

證明對任意的c,c′∈C,α∈F2m,由于Gray映射φ是加法同態(tài)映射,因此有:

從而φ(C)是線性的。

引理5設(shè)σ和ν分別是Rn上的循環(huán)移位和(1+u)-常循環(huán)移位,則φν=σφ。

證明對任意的c=(c0,c1,…,cn-1)∈Rn,其中ci=ai+ubi,ai,bi∈F2m,0≤i≤n-1。由φ的定義可得:

另一方面,ν(c)=((1+u)cn-1,c0,…,cn-2),而(1+u)cn-1=an-1+u(bn-1+an-1),由此得到:

因此,φν=σφ。

定理1R上長為n的(1+u)-常循環(huán)碼的Gray像是F2m上長為2n的線性循環(huán)碼,且dG(C)=dH(C)。

證明設(shè)C是R上的線性(1+u)-常循環(huán)碼,則ν(C)=C,φν(C)=φ(C)。由引理5得σφ(C)=φν(C)=φ(C),所以φ(C)是F2m上長為2n的線性循環(huán)碼。再由引理3可知,dG(C)=dH(C)。

例1已知F8={0,1,ω,…,ω6},其中ω3+ω+1=0。考慮F8+uF8上長n=9的(1+u)-常循環(huán)碼。在F8+uF8中有：

其中,f1(x)=x-1；f2(x)=x2+x+1；f3(x)=x2+ωx+1；f4(x)=x2+ω2x+1；f5(x)=x2+ω4x+1。

由引理1可得:

其中,g1(x)=x-(1+u)；g2(x)=x2+(1+u)x+1；g3(x)=x2+(ω+uω)x+1；g4(x)=x2+(ω2+ω2u)x+1；g5(x)=x2+(ω4+ω4u)x+1。

設(shè)C是F8+uF8上長為9的(1+u)-常循環(huán)碼,利用MAGAMA程序可得到φ(C)是F8上[18,14,4]-循環(huán)碼,該碼是一個最優(yōu)碼，即

4F2m+uF2m上的循環(huán)自對偶碼

文獻(xiàn)[5]引入R上類型Ⅰ與Ⅱ碼,給出這2類碼的許多性質(zhì)。下面首先給出R上類型Ⅰ與Ⅱ碼的定義,然后證明R上長為n的循環(huán)自對偶碼都是類型Ⅰ碼。設(shè)C是R上長為n的自對偶碼,若C中每個碼字Lee重量都是4的倍數(shù),則稱C為R上的類型Ⅱ碼,否則稱C為R上的類型Ⅰ碼。

引理6線性碼C是R上長為n的自對偶碼當(dāng)且僅當(dāng)φ(C)是F2m上長為2n的自對偶碼。

xx′+xy′+x′y=0,

從而φ(C)?φ(C)⊥。因為φ是雙射,所以|φ(C)|=|C|。而C是自對偶碼,則可推知|φ(C)⊥|=|φ(C)|=2mn,故φ(C)是F2m上長為2n的自對偶碼。

定理2線性碼C是R上的類型Ⅰ碼當(dāng)且僅當(dāng)φ(C)是F2m上的類型Ⅰ碼。

證明設(shè)z=(z0,z1,…,zn-1)∈C,其中，zi=xi+uyi；xiyi∈F2m；0≤i≤n-1,則

于是

已知F2m上循環(huán)自對偶碼是類型Ⅰ碼[10],由此可以得出定理3。

定理3環(huán)R上長為n的循環(huán)自對偶碼是類型碼Ⅰ。

證明設(shè)C是R上長為n的循環(huán)自對偶碼,由引理2知,μ(C)是R上長為n的(1+u)-常循環(huán)自對偶碼,且Lee重量保持不變。由定理1與引理6知,φ(μ(C))是F2m上長為2n的循環(huán)自對偶碼。已知φ(μ(C))是類型Ⅰ碼,由定理2可推出,μ(C)是R上的類型Ⅰ碼。由此得到,C是R上的類型Ⅰ碼。證畢。

5結(jié)束語

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(責(zé)任編輯張镅)