黎曼可積的測度論觀點

徐艷艷 陳廣貴 田 萍

（1.數(shù)字空間安全保障四川省高校重點實驗室，四川 成都610039；2.西華大學(xué)理學(xué)院，四川 成都610039）

16世紀，迫于力學(xué)和天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展需求而創(chuàng)立的微積分學(xué)不僅帶動了各個基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展，也催生出了全新的數(shù)學(xué)學(xué)科——分析學(xué)，然而在18世紀末19世紀初，數(shù)學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)了分析學(xué)中的種種問題，看似強大的黎曼積分[1,3,7,9]已不足以滿足數(shù)學(xué)家們的追求乃至基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展需求，從黎曼積分的定義可以清楚的發(fā)現(xiàn)，黎曼積分關(guān)心的是一個在有限區(qū)間上有界的函數(shù)對于一個與它緊密相關(guān)的式子的極限是否存在的問題，而尋求極限存在與否的條件成了重中之重，這時一個顯而易見的問題浮現(xiàn)出來：函數(shù)要滿足怎樣的條件該極限才會存在？換句話說函數(shù)需要滿足何種條件才能夠黎曼可積？黎曼積分理論中雖給出了一個判別定理但卻幾乎無實用性可言.為此我們將借助建立在測度論基礎(chǔ)上的Lebesgue積分理論對一個函數(shù)在區(qū)間上的黎曼可積性做出判斷，力圖尋求一個更為簡單實用的判別定理，并利用他們解決了一些在數(shù)學(xué)分析中不易解決的問題，這便是本文的核心.下面我們就用測度論的觀點來敘述黎曼可積條件.

設(shè)在[a,b]上定義函數(shù)f(x)（不一定是有限的），設(shè)δffgt;0，函數(shù)f(x)在(x0-δ,x0+δ)上的下確界與上確界分別記以mδ(x0)與Mδ(x0),即

(在(x0-δ,x0+δ)中，自然只考慮也含在[a,b]中的點)

顯然的是mδ(x0)≤f(x0)≤Mδ(x0).

當(dāng)δ變小時，mδ(x0)決不減少而Mδ(x0)決不增加.因此有如下極限：

并且顯然有mδ(x0)≤m(x0)≤f(x0)≤M(x0)≤Mδ(x0).

定義1 函數(shù)m(x)與M(x)分別稱為f(x)的貝爾下函數(shù)與貝爾上函數(shù).

引理1[2]設(shè)f(x)在x0是有限的.函數(shù)f(x)在x0為連續(xù)的必要且充分的條件是

m(x0)=M(x0).

推論1 貝爾函數(shù)m(x)及M(x)都是可測的.

事實上，分點{x(ki)}的全體是一可數(shù)集，其測度為0.因此由引理2，φi(x)幾乎處處收斂于m(x).因為φi(x)是階梯函數(shù)，所以是可測的，因此m(x)也是可測的.同樣M(x)也是可測的.

推論2 假如引理2中的函數(shù)是有界的，那么

因此φi(x)與m(x)都是(L)可積函數(shù).

在此基礎(chǔ)上我們對推論2作進一步解釋.注意到

其中si是由第i個分法所得的達布小和.于是，推論2表示

另一方面，在分析課程中，已證明有界函數(shù)f(x)為黎曼可積的必要且充分條件是Si-si→0.

所以有界函數(shù)f(x)為黎曼可積的必要且充分條件是

由（1）式當(dāng)M(x)-m(x)等價于0時是成立的.反之，由于M(x)-m(x)≥0，從條件（1）得M(x)?m(x). （2）

于是，有界函數(shù)f(x)為黎曼可積的必要且充分條件是（2）式成立.

由此便得出本文的中心論點：

定理1 （Lebesgue判別法）[a,b]上的有界函數(shù)f(x)為(R)可積的必要且充分的條件是f(x)在[a,b]上是幾乎處處連續(xù)的.

下面再給出Lebesgue判別法的另一種描述：

定理2 如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)，則f(x)在[a,b]上黎曼可積的充分且必要條件是它在[a,b]中不連續(xù)點所構(gòu)成的集合E的測度為0.

由定理1我們可以看出僅有那些較為連續(xù)的函數(shù)才可能黎曼可積，這里的較為連續(xù)應(yīng)理解為不連續(xù)點的測度不得大于0的函數(shù).因此從某種角度來說，黎曼積分是專門為“連續(xù)”函數(shù)而創(chuàng)造的.相比之下Lebesgue積分表現(xiàn)出了巨大的優(yōu)勢，不僅對于黎曼積分能夠?qū)崿F(xiàn)的“連續(xù)”函數(shù)進行積分，而且對于許許多多黎曼積分無可奈何的函數(shù)都能實現(xiàn)積分，較為出名的一個例子便是對于狄利克雷函數(shù)的積分（對于這個函數(shù)我們將在接下來的內(nèi)容中作出詳細介紹），這是一個極為不連續(xù)甚至可以說和連續(xù)定義毫不沾邊的函數(shù)，但卻可以十分輕易的對它實現(xiàn)Lebesgue積分.這是黎曼積分難以企及的.

Lebesgue積分較黎曼積分的范圍要廣很多，不難得出：凡有界可測函數(shù)依照Lebesgue的意義是可積的.特別是，許多與判定可積性有關(guān)的問題，到此就迎刃而解，不像黎曼積分中那樣麻煩.

下面我們來看看測度論的觀點在黎曼積分中的應(yīng)用.

例1 狄利克雷函數(shù)

該函數(shù)在區(qū)間[0,1]上不可以黎曼可積，因為對任何分劃P,在其中每個區(qū)間Δi中都能找到一個有理數(shù)ξ′i和一個無理數(shù)ξ″i.因此，

如此，當(dāng)λ(P)→0時函數(shù)D(x)的積分和不可能有極限.然而從Lebesgue積分理論來講，它是可積的，因為狄利克雷函數(shù)是明顯可測的.且D(x)與f(x)=0,(x∈[0,1])是等價的，由此

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