做一題，學(xué)一法，會一類，通一片

研究高考試題是為了更好地備考，挖掘高考試題解法中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，聯(lián)系解法背景，揭示一類問題的求解規(guī)律，有利于提高我們解綜合問題的能力，對我們把握高考命題方向，彰顯復(fù)習(xí)的針對性和實(shí)效性，將起到很好的指導(dǎo)作用.

江蘇卷從2008年到2014年對用導(dǎo)數(shù)來處理函數(shù)、方程和不等式問題是必考的內(nèi)容之一，且有一定的難度，在第19題或20題的位置出現(xiàn). 試題考查豐富的數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)與方程思想常用于解決函數(shù)與方程的相關(guān)問題，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想常用于不等式恒成立問題和不等式證明問題，分類討論思想常用于判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，同時(shí)要求考生有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力和綜合分析問題的能力. 縱觀這7年函數(shù)的綜合試題，2014年江蘇卷第19題易中有難，凡中有變，對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法提出了較高的要求. 深刻挖掘此題解法中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，聯(lián)系解法背景，揭示此類問題的解法規(guī)律，有助于提高我們解綜合問題的能力.

題目：已知函數(shù)f（x）=ex+e-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x∈[1，+∞），使得f（x0）

解法探究

解析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f（-x）=e-x+ex=f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù).

（2）解法1：不等式可變?yōu)閔（x）=m（ex+e-x）-e-x-m+1≤0，對x>0恒成立，即h（x）max≤0. 先由h（1）≤0知，m≤<0. 再利用導(dǎo)數(shù)法求h（x）max.

因?yàn)閔′（x）=m（ex-e-x）+e-x=，易判斷出h（x）在0，ln上單調(diào)遞增，在ln，+∞上單調(diào)遞減，所以h（x）max=h·ln=1-m+2≤0，解得m≤-.

解法2：因?yàn)閤∈（0，+∞），所以ex+e-x>2. 原不等式可變?yōu)椋╡x+e-x-1）m≤e-x-1，所以原命題等價(jià)于不等式m≤在（0，+∞）上恒成立.

令g（x）=，則g（x）=1-=1-，

當(dāng)x=ln2時(shí)，g（x）的最小值為-. 因此m≤-.

解法3：原不等式可化為m（ex+e-x-1）≤e-x-1，

令t=ex（t>0），因?yàn)閑x+e-x-1=t+-1≥2-1=1，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，等號成立，故m≤=. 令h（t）=，則h′（t）=.

當(dāng)t>2時(shí)，h′（t）>0；當(dāng)0

h（t）min=h（2）=-，所以m≤ -.

綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞，-.

解法4：因?yàn)閤∈（0，+∞），所以ex+e-x>2. 不等式變形為（ex+e-x-1）m≤e-x-1，

即m≤. 令g（x）=，則g′（x）=.

易判斷出g（x）在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，

從而g（x）在x=ln2處有最小值 -. 因此m≤-.

解法5：令ex=t，則t∈（1，+∞）. 原不等式可變?yōu)閙t2-（m-1）t+m-1≤0，

則原命題等價(jià)于關(guān)于t的不等式mt2-（m-1）t+m-1≤0，對任意t∈（1，+∞）恒成立，

記k（t）=mt2-（m-1）t+m-1，

則m<0，Δ≤0或m<0，Δ>0，≤1，k（1）≤0，

即m<0，（m-1）-4m（m-1）≤0，或≤0，（m-1）2-4m（m-1）>0，解之得m≤-.m<0.

（3）解法1：令g（x0）=f（x0）-a（-x30+3x0），只要x0∈[1，+∞）上，g（x0）min<0即可.

g′（x0）=+3a（x20-1）. 當(dāng)x0=1時(shí)，g′（x0）=0；當(dāng)x0>1時(shí)，x20-1>0，

（ex0）2-1>0，則g′（x0）>0. 故在區(qū)間[1，+∞）上，g′（x0）≥0，即函數(shù)g（x0）為[1，+∞）的增函數(shù)，所以g（x0）min=g（1）=e+e-1-2a<0，解得a>.

因?yàn)閑a-1與ae-1均為正數(shù)，同取以e為底的自然對數(shù)，則要比較ea-1與ae-1的大小，就轉(zhuǎn)化為比較（a-1）lne與（e-1）lna的大小，即比較與的大小.

設(shè)h（x）=（x>1），則h′（x）=，再設(shè)m（x）=1--lnx，m′（x）=，從而m（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)m（x）

當(dāng)ea-1；當(dāng)a=e時(shí)，ea-1=ae-1；當(dāng)a>e時(shí)，ae-1

解法2：因?yàn)榇嬖趚0∈[1，+∞），使得f（x0）

因?yàn)閍>0，ex0+e-x0>0，所以必有-x30++3x0>0，即x0∈[1，）.

所以a>，設(shè)g（x0）=，即求函數(shù)g（x0）在x0∈[1，）上的最小值. g′（x0）=

因?yàn)閤0∈[1，），ex0-e-x0>0，-x30+3x0>0，ex0+e-x0>0，-3x20+3<0，所以（ex0-e-x0）·（-x30+3x0）-（ex0+e-x0）（-3x20+3）>0. 即g′（x0）>0在x0∈[1，）上恒成立，故g（x0）min=g（1）=，故a>. 以下同解法1.

解法3：由解法1知，a>. 要比較ea-1與ae-1的大小，因?yàn)閍e-1=e（e-1）lna，所以

=e[（e-1）lna-（a-1）]，從而只需要比較a-1 與（e-1）lna的大小.

令h（x）=（e-1）lnx-（x-1），那么h′（x）=-1，當(dāng)x>e-1時(shí)，h′（x）<0；

當(dāng)00. 所以h（x）在（0，e-1）上為增函數(shù)，在（e-1，+∞）為減函數(shù).

又h（e）=0，h（1）=0，則h（e-1）>0，h>0；那么當(dāng)0，eh（a）>1，ae-1>ea-1；當(dāng)a≥e時(shí)，h（a）≤0，0

綜上所述，當(dāng)ea-1；當(dāng)a=e時(shí)，ea-1=ae-1；當(dāng)a>e時(shí)，ae-1

解法4：將原不等式化為<. 設(shè)t（x）=，x∈[1，+∞）.

條件等價(jià)于

可令k（x）=（3-3x2）（ex+e-x）-（3x-x3）·（ex-e-x），因?yàn)?/p>

k′（x）=-6x（ex+e-x）+（3-3x2）（ex-e-x）-（3-3x2）（ex-e-x）-（3x-x3）（ex+e-x）=x（x2-9）·（ex+e-x），所以k（x）在x∈（0，）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x∈（1，）時(shí)，有k（x）k（1）=0，從而當(dāng)x∈（1，）時(shí)，t′（x）<0.

故有t（x）在（1，）上單調(diào)減. 當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t′（x）>0. 故有t（x）在（0，1）上單調(diào)遞增.

又當(dāng)x≥時(shí)，t（x）≤0，故t（x）的最大值為t（1）=.

所以<，

即a>. 下同解法3.

從以上的解法可以看出，第（2）小題的構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，所以解題一定要有目標(biāo)意識. 第（3）小題的比較大小，考生必須既具有良好的觀察、聯(lián)想等直覺發(fā)現(xiàn)能力，又要具備探索、演算和論證的抽象思維能力.

解法溯源

取對數(shù)解題方法源于課本例習(xí)題中，在高考題（模擬題）中也時(shí)常出現(xiàn)，現(xiàn)列舉幾例以供參考：

1. （人教版教材中習(xí)題）設(shè)0

2. （1983全國高考理科第16題）已知a，b為實(shí)數(shù)，且eba.

3. （1983全國高考理科第17題）如果正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=ba，且a<1，證明：a=b.

4. （2012年江蘇南通市二模第23題）已知函數(shù)f（x）=（2x+1）·ln（2x+1）-a（2x+1）2-x（a>0）.

（1）若函數(shù)f（x）在x=0處取極值，求a的值；

（2）如圖1，設(shè)直線x=-，y=-x將坐標(biāo)平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)區(qū)域（不含邊界），若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好位于其中一個(gè)區(qū)域內(nèi)，判斷其所在的區(qū)域并求對應(yīng)的a的取值范圍；

（3）比較32×43×54×…×20122011與23×34×45×…×20112012的大小，并說明理由.

答案：（1）a=；（2）a>；（3）32×43×54×…×20122011<23×34×45×…×20112012.

解題感悟

高考試題中所涵蓋的信息量多而且復(fù)雜. 在學(xué)習(xí)中，我們要把思維能力訓(xùn)練、培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科能力作為重點(diǎn)，學(xué)會面對靈活而復(fù)雜的試題，能及時(shí)有效地提取信息、使用信息、轉(zhuǎn)化信息. 因此，如何解決難題，平時(shí)就要知道將難題進(jìn)行分解，而后逐一破解，哪怕做不到最終結(jié)果，因?yàn)楦呖冀獯痤}是要看解題過程的.

學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)鍛煉自主探究能力，對教材的基本結(jié)論和教材呈現(xiàn)的基本問題進(jìn)行自主探究. 我們?nèi)缒苡行牡貙滩闹谢窘Y(jié)論進(jìn)行追問或引申，對我們提出問題和解決問題能力的形成大有裨益. 例如為了更好地熟練掌握研究函數(shù)的一般方法，可以先放手探究其他函數(shù)：一次、二次和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，如果一次函數(shù)與反比例函數(shù)復(fù)合而成一個(gè)新的函數(shù)y=x+，它的圖象和性質(zhì)如何呢？如果二次函數(shù)與反比例函數(shù)復(fù)合而成一個(gè)新的函數(shù)y=x2+，它的圖象和性質(zhì)又如何呢？又如學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線后，我們能否進(jìn)一步研究PA-PB=2a（可能為雙曲線的一部分），PA·PB=2a（可能是阿波羅尼斯圓），=2a（可能是卡西尼卵形線），各自的軌跡方程如何等等.

因此，我們要有意識地對問題進(jìn)行變化，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，提高思維的深度與廣度，鍛煉應(yīng)變能力，力爭“做一題、學(xué)一法、會一類、通一片”. 同時(shí)應(yīng)能尋找多種途徑探討同一問題，然后進(jìn)行歸納比較，提煉出最佳解法. 在熟練掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新，以達(dá)到優(yōu)化解題思路，培養(yǎng)發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維能力的目的.