靈活選用 簡(jiǎn)捷解題

李君

蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第97頁(yè)中有這樣一道題：

在△ABC中，∠C=90°.

（1） 已知AC=5，BC=12，求AB;

（2） 已知AC=2，BC=3，求AB;

（3） 已知AB=25，AC=24，求AC.

本題是勾股定理的應(yīng)用，即可以直接應(yīng)用勾股定理的表達(dá)式a2+b2=c2來(lái)解決，但在上述解題過(guò)程中，我們應(yīng)用了它的變式：c= ，b= .很明顯，這樣的解題過(guò)程更簡(jiǎn)捷.因此，我們?cè)诮忸}時(shí)，要注意根據(jù)題目的具體特點(diǎn)來(lái)選擇勾股定理的表達(dá)式及其變式，以?xún)?yōu)化解題過(guò)程.下面舉例說(shuō)明.

例1 ? 如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是（ ? ? ?）.

【點(diǎn)評(píng)】這是在數(shù)軸上尋找表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，說(shuō)明數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

例2 ? 在Rt△ABC中，已知兩邊長(zhǎng)分別是5和12，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【分析】5和12可以是直角邊，也可以是一條斜邊和一條直角邊，分兩種情況用勾股定理表達(dá)式的變式求解較簡(jiǎn)捷.

解：當(dāng)5和12為直角邊時(shí)，由勾股定理表達(dá)式的變式可知，斜邊為 =13，此時(shí)Rt△ABC的周長(zhǎng)為5+12+13=30;當(dāng)12為斜邊時(shí)，5為直角邊，則由勾股定理表達(dá)式的變式可知，另一條直角邊為 ，此時(shí)Rt△ABC的周長(zhǎng)為5+12+ .綜上，周長(zhǎng)為30或17+ .

【點(diǎn)評(píng)】已知直角三角形兩邊長(zhǎng)求第三邊，要注意分兩種情況思考：一是這兩邊為直角邊，二是這兩邊中較大邊為斜邊，較小邊為直角邊，要謹(jǐn)防漏解.

例3 ? （2015·江蘇泰州）如圖2，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)______.

【分析】設(shè)BE交CD于點(diǎn)G，由折疊的性質(zhì)可知EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA可證明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，求出CG、BG，再由勾股定理的表達(dá)式列方程求解較簡(jiǎn)捷.

解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根據(jù)題意得△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，又△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，設(shè)AP=EP=x，則PD=GE=6-x，DG=x，∴CG=8-x，BG=8-（6-x）=2+x，根據(jù)勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8-x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握翻折變換和矩形（長(zhǎng)方形）的性質(zhì)，借助AP=x，并用x表示出其他未知量，再利用勾股定理列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省興化市楚水初級(jí)中學(xué)）