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    勾股定理中的分類討論

    2015-12-28 16:11:04潘美麗
    初中生世界·八年級 2015年12期
    關(guān)鍵詞:直角等腰三角勾股定理

    潘美麗

    在用勾股定理解決問題時,有些問題會出現(xiàn)多種情況,若分析不到位就會漏解或錯解.這就需要我們利用分類思想對各種情況加以討論,并逐類求解,然后綜合得解.本文以一個中考題為例,對運(yùn)用勾股定理解題時需要用到的分類思想加以探討,供同學(xué)們參考.

    【例題】(2010·黑龍江雙鴨山)Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2. 以AC為一邊,在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,則線段BD的長為_______.

    【分析】首先要結(jié)合題意,畫出相應(yīng)的圖形.因?yàn)橐訟C為一邊在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,則AC可以是直角邊,也可以是斜邊,其中以AC為直角邊又分兩類,分別以A、C為直角頂點(diǎn),所以有三種情況.

    【解答】情況一:如圖1,以A為直角頂點(diǎn),向外作等腰直角△DAC,

    ∵∠DAC=90°,且AD=AC,

    ∴BD=BA+AD=2+2=4.

    情況二:如圖2,以C為直角頂點(diǎn),向外作等腰直角△ACD,

    ∵△ACD是等腰三角形,

    ∴得AC=CD=2,

    ∠ACD=90°,

    又∵∠BAC=90°,AB=AC=2,

    ∴AB∥CD且AB=CD.

    ∴四邊形ABCD是平行四邊形.

    ∴AC和BD互相平分,且相交于O,

    情況三:如圖3,以AC為斜邊,D為直角頂點(diǎn),向外作等腰直角△ADC,

    ∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,

    ∴設(shè)AD=DC=x,

    根據(jù)勾股定理,

    建立方程x2+x2=22,

    又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,

    ∴∠ACB=∠ACD=45°,

    ∴∠BCD=90°,

    又∵在Rt△ABC中,

    【涉及知識點(diǎn)】等腰三角形,勾股定理.

    【點(diǎn)評】本題中,符合條件的圖形不唯一,所以結(jié)論存在多種情況.在應(yīng)用一條已知線段構(gòu)造等腰直角三角形時,這條已知線段可以是直角邊,也可以是斜邊.根據(jù)具體圖形,結(jié)合勾股定理計算線段的長即可.本題主要考查勾股定理、等腰三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用,同時對分類討論思想有較高要求.

    同學(xué)們不妨嘗試完成下列變式:

    【變式】Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.以BC為一邊,在△ABC外部作等腰直角三角形BCD,則線段BD的長為_______.

    【分析】本例同上例類似,都是有著與勾股定理有關(guān)的無圖多解的特點(diǎn).如果不注意分類討論,就會漏解或錯解.所以有必要利用分類討論思想逐類求解.

    參考答案:2或4或2.

    同學(xué)們不妨再想一想,如何求AD的長?

    【小練習(xí)】

    1. 已知△ABC是等腰三角形,其中一邊長是10,另一邊長是8,則底邊上的高為( ? ? ?).

    D. 以上都不是

    2. 某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造.測得兩直角邊長為6 m、8 m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以8 m為直角邊的直角三角形.求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長.

    【參考答案】

    1. AB=AC=10,BC=8 ? AB=AC=8,BC=10

    按照腰和底的長進(jìn)行分類討論如圖1、圖2,再利用勾股定理計算得答案為C.

    2. 利用等腰三角形性質(zhì)進(jìn)行分類討論,如圖①②③,可利用勾股定理和方程思想求得答案分別為:32或20+4

    【題型分析】此類題考查了運(yùn)用勾股定理計算中的分類思想.要熟悉等腰三角形的分類,要全面分析在原來直角三角形的基礎(chǔ)上可能構(gòu)成等腰三角形的各種情況,防止以偏概全.題目如有圖形則將變得很簡單,按圖形解答即可.但若沒有圖形,則需要討論幾種可能的情況,這正是“無圖題前細(xì)思考,分類討論保周到”.

    總之,勾股定理作為解題中的一種工具,在中考中的應(yīng)用十分廣泛,覆蓋了填空、選擇、探究、證明等各種題型.它作為一種代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具,除了在等腰三角形中出現(xiàn),更是常常與其他知識,如全等三角形、圓及圖形變換等結(jié)合,同學(xué)們要能靈活運(yùn)用所學(xué)知識,結(jié)合圖形的特點(diǎn),恰當(dāng)分類解決問題.

    (作者單位:江蘇省常州市蘭陵中學(xué))

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