近似模型聚合在機(jī)床立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

張實(shí)展，邱浩波

(華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074)

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近似模型聚合在機(jī)床立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

張實(shí)展，邱浩波

(華中科技大學(xué) 數(shù)字制造裝備與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074)

摘要：建立了某重型機(jī)床立柱部件優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)生成50個(gè)隱式約束的有限元仿真數(shù)據(jù)樣本。使用樣本集分別建立Kriging模型、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，通過近似模型聚合方法來替代隱式約束的有限元計(jì)算。結(jié)合全局優(yōu)化算法，得到一組可行的立柱尺寸參數(shù)組合，使機(jī)床立柱的質(zhì)量減輕，并滿足工作載荷下的撓度、應(yīng)力和油壓約束條件。研究表明：近似模型聚合方法很適合解決高仿真代價(jià)的隱式約束問題。

關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計(jì)；近似模型；有限元仿真；拉丁超立方

0引言

超重大型數(shù)控機(jī)床的立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)具有復(fù)雜的幾何形狀及材料非線性性質(zhì)的多變量工程設(shè)計(jì)問題，其約束條件有較重要的部分往往以隱式形式存在，例如許用撓度和許用應(yīng)力約束，通常使用有限元仿真技術(shù)來驗(yàn)證一組設(shè)計(jì)變量是否滿足機(jī)床立柱的此類隱式約束要求[1]。然而，由于大型機(jī)床的立柱通常結(jié)構(gòu)復(fù)雜，具有較多設(shè)計(jì)變量，導(dǎo)致需要進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證的設(shè)計(jì)方案數(shù)目較多。在進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，需要進(jìn)行許多次有限元仿真進(jìn)行約束條件驗(yàn)證，而重復(fù)仿真帶來的計(jì)算成本的增加往往是不可承受的。對(duì)于這類高仿真代價(jià)的隱式問題，設(shè)計(jì)者們通常通過建立近似模型，也就是建立設(shè)計(jì)變量和輸出參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，來替代耗時(shí)的有限元仿真。近似模型的最大優(yōu)勢在于可以替代高計(jì)算成本的仿真，從而減少計(jì)算時(shí)間，使機(jī)床立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)這類復(fù)雜問題的優(yōu)化成為可能。但是，對(duì)于隱式的約束問題，近似模型仍有以下兩個(gè)缺陷：1) 針對(duì)此類未知問題時(shí)，設(shè)計(jì)者無法預(yù)知哪個(gè)近似模型是最適用的；2) 隨著試驗(yàn)樣本的不同，不同近似模型的精度也會(huì)不同，有時(shí)會(huì)有很大誤差[2]。這些缺點(diǎn)都阻礙了近似模型技術(shù)在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，而近似模型聚合方法可以成功克服以上兩個(gè)缺陷。

Bishop和Zerpa等都在各自的研究中運(yùn)用過近似模型聚合的理念[3, 4]；Goel等最先正式提出近似模型聚合的概念，并系統(tǒng)地描述近似模型聚合方法的優(yōu)勢和建立方法[5]。近似模型聚合是一種能綜合不同模型優(yōu)勢的新建模方法，在針對(duì)隱式問題時(shí)，也能保證一定的精度。文中參考Goel等的思想，采用3種具有不同精確性、魯棒性和有效性的近似模型——Kriging模型、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型[6]來建立近似模型聚合，并結(jié)合拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)[7]和全局優(yōu)化算法，對(duì)某超重型機(jī)床的立柱部件進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終以較低的計(jì)算成本得到一組滿足約束條件的立柱尺寸參數(shù)，驗(yàn)證了近似模型聚合方法對(duì)于隱式約束問題的有效性。

1近似模型聚合的基本理論

近似模型聚合是不同近似模型的凸線性加和，通過這種形式集成了不同模型的優(yōu)點(diǎn)，保證了較好的精確性、魯棒性和有效性。建立聚合時(shí)，一般通過選擇模型的某個(gè)全局指標(biāo)或者局部指標(biāo)來判定該模型的重要性，并據(jù)此賦予該模型一個(gè)權(quán)重值，所有模型的權(quán)重值加和為1。近似模型聚合方法可以簡單表述為以下形式：

(1)

對(duì)于各個(gè)近似模型權(quán)重值的確定，無疑是聚合過程中的重要一步。參考Goel等的研究，選擇權(quán)重值計(jì)算方法如下：

(2)

在式(2)中,Ei是用于判定模型i的重要性的指標(biāo)，通常為一個(gè)全局預(yù)測指標(biāo)，比如預(yù)測誤差平方和PRESS；也可以是一個(gè)局部指標(biāo)，比如相對(duì)最大絕對(duì)誤差RMAE。一般來說，使用全局指標(biāo)確定權(quán)重比局部指標(biāo)更準(zhǔn)確，但是在樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)很大的時(shí)候，也會(huì)出現(xiàn)全局指標(biāo)誤判，使用局部指標(biāo)更加準(zhǔn)確的情況。

確定近似模型聚合的各個(gè)權(quán)重的基本步驟為：先使用拉丁超立方獲取設(shè)計(jì)變量的樣本集，在對(duì)每個(gè)樣本進(jìn)行有限元仿真計(jì)算確定輸出參數(shù)(撓度和應(yīng)力)，得到一個(gè)設(shè)計(jì)變量和輸出變量的樣本集S；再使用全局指標(biāo)PRESS來確定各個(gè)模型的權(quán)重，每個(gè)模型的PRESS值通過樣本集S進(jìn)行留一交叉驗(yàn)證計(jì)算確定。

式(1)中近似模型聚合的凸線性加和形式，很適用于隱式問題，對(duì)于顯式問題雖然也能保證一定的精度，但并不能保證比最優(yōu)的單個(gè)模型更具備優(yōu)勢。在同樣的樣本規(guī)模下，近似模型聚合已經(jīng)被證明具有優(yōu)于大部分單個(gè)模型的預(yù)測能力，并有趨向于最優(yōu)的單個(gè)模型的趨勢。近似模型聚合的預(yù)測能力優(yōu)于參與聚合的大部分模型，可能會(huì)略低于其中最優(yōu)的單個(gè)模型。在權(quán)重系數(shù)選擇方法合適的條件下，近似模型聚合的預(yù)測方差會(huì)小于所有單個(gè)模型的預(yù)測方差，即可能出現(xiàn)預(yù)測效果優(yōu)于最優(yōu)單模型的情況[8]。在最優(yōu)模型未知的情況下，近似模型聚合無疑是一個(gè)較好的替代選擇。

近似模型聚合所使用的近似模型并不局限于Goel等人的研究內(nèi)容，理論上任何近似模型都可參與聚合，但選擇具有不同有效性，精確性和魯棒性的模型無疑更能體現(xiàn)聚合優(yōu)勢。文中使用Kriging模型、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型來建立近似模型的聚合，并設(shè)定α=0.05,β=-1。這樣，僅需進(jìn)行有限次的有限元計(jì)算，即可通過式(1)和式(2)獲得一個(gè)較準(zhǔn)確地聚合近似模型。

2某超重型機(jī)床立柱的優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1某重型機(jī)床立柱的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

某重型機(jī)床的立柱經(jīng)過簡化處理后，仍存在8個(gè)重要設(shè)計(jì)變量，6個(gè)尺寸參數(shù)L,W,X1,X2,X3,X4以及兩個(gè)厚度參數(shù)T1，T2,對(duì)這8個(gè)變量進(jìn)行數(shù)學(xué)采樣，就可以得到不同的設(shè)計(jì)變量組合方案，該立柱的三維圖形如圖1所示。

圖1　某機(jī)床立柱的三維模型

在機(jī)床啟動(dòng)和運(yùn)行的過程中，立柱的導(dǎo)軌部分撓度變形和最大應(yīng)力均需要約束在許用范圍內(nèi)；除此之外，還需要滿足油壓系統(tǒng)的許用液壓應(yīng)力約束；在運(yùn)行過程中機(jī)床各部件不允許發(fā)生干涉并滿足一定的裝配條件，故還需要滿足一定的尺寸條件約束。

該立柱的優(yōu)化問題目標(biāo)為在滿足許用條件下使該立柱的質(zhì)量盡量減小，其數(shù)學(xué)模型如下：

FindL,W,X1,X2,X3,X4,T1，T2

MinMcolumn

s.t.G≤0,H≤0

(3)

式(3)中，Mcolumn代表立柱體的質(zhì)量；G≤0表示機(jī)床啟動(dòng)及運(yùn)行過程中所有的不等式約束，包括撓度約束Δcolumn≤Δmax和最大應(yīng)力約束σcolumn?σmax，以及油壓系統(tǒng)液壓應(yīng)力約束和部分尺寸約束；H=0表示機(jī)床啟動(dòng)及運(yùn)行過程中所有的等式約束，包括所有的裝配尺寸約束。該機(jī)床立柱是焊接件，L,W,X1,X2,X3,X4為焊接板件的尺寸參數(shù)，T1，T2為焊接板件的厚度參數(shù)，各個(gè)自變量取值區(qū)間見表1。

表1　優(yōu)化結(jié)果

2.2該機(jī)床立柱的有限元仿真采樣

該重型機(jī)床的有限元模型隨著設(shè)計(jì)變量的不同而變化，每一組設(shè)計(jì)變量代表一種設(shè)計(jì)方案，即一個(gè)試驗(yàn)樣本點(diǎn)。采用拉丁超立方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行采樣，共采集50個(gè)樣本點(diǎn)，并對(duì)每個(gè)樣本點(diǎn)，即設(shè)計(jì)方案進(jìn)行有限元仿真。

邊界條件為立柱底座全約束，外載荷為所承載的橫梁大件質(zhì)量以及滑座體和刀架體總質(zhì)量，有限元模型如圖2所示。

圖2　某機(jī)床立柱的有限元模型

每一次有限元仿真結(jié)束后，讀取立柱導(dǎo)軌體的最大撓度Δcolumn和最大應(yīng)力σcolumn，每次仿真最大撓度和最大應(yīng)力出現(xiàn)的位置區(qū)間是一致的，所有仿真結(jié)束后得到一個(gè)有50個(gè)樣本點(diǎn)的樣本集S。

2.3近似模型聚合和優(yōu)化計(jì)算

解決此類優(yōu)化問題的傳統(tǒng)方法是使用單個(gè)近似模型來替代有限元仿真，但是對(duì)于復(fù)雜的隱式未知問題，哪個(gè)近似模型最為合適是無法預(yù)知的，設(shè)計(jì)者往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇近似模型；當(dāng)設(shè)計(jì)樣本不同時(shí)，不同近似模型的精度也不一致。為防止錯(cuò)誤的模型選擇導(dǎo)致錯(cuò)誤的優(yōu)化解，現(xiàn)采用近似模型聚合方法來解決該機(jī)床立柱優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

根據(jù)樣本集S分別建立Kriging模型、徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，再使用留一交叉驗(yàn)證確定各個(gè)模型的全局指標(biāo)——預(yù)測誤差平方和PRESS值，再根據(jù)式 (1) 和式 (2) 建立近似模型聚合來替代式(3) 中的撓度和應(yīng)力的隱式約束，即將 式(3) 的G< 0中的Δcolumn≤Δmax及σcolumn≤σmax替換為ΔEnsenble≤Δmax及σEnsenble≤σmax,ΔEnsenble和σEnsenble分別為使用以上3種近似模型建立的撓度和應(yīng)力近似模型聚合。

ΔEnsenble=wk1*ΔKriging+wR1*ΔRBNN+wP1*ΔPRS

ΔEnsenble=wk2*ΔKriging+wR2*ΔRBNN+wP2*ΔPRS

wk1+wR1+wP1=1

wk2+wR2+wP2=1

(4)

將式(4)代入數(shù)學(xué)模型式(3)中替換對(duì)應(yīng)的撓度和應(yīng)力隱式約束，式(3)就成為了一個(gè)顯式的優(yōu)化問題。使用Matlab編寫程序，使用全局優(yōu)化工具箱對(duì)該立柱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算，整個(gè)優(yōu)化流程如圖3所示。

圖3　優(yōu)化流程圖

2.4優(yōu)化結(jié)果分析

優(yōu)化結(jié)果由表1可知，該機(jī)床立柱體原始質(zhì)量為211251kg，優(yōu)化后質(zhì)量為198261kg，質(zhì)量減輕12990kg，約為原始質(zhì)量的6.15%，經(jīng)過有限元仿真的驗(yàn)證，表1所示優(yōu)化結(jié)果是一個(gè)可行解。

表1所示結(jié)果為理論上的最優(yōu)值，但考慮到該問題設(shè)計(jì)域較大，而樣本點(diǎn)較為稀疏，表1的結(jié)果雖然是可行解，依然存在不是最優(yōu)的可能性，但是這種可能性遠(yuǎn)低于使用單個(gè)近似模型時(shí)不是最優(yōu)解的可能性。由于采樣成本限制，此類問題不能取得太多的樣本點(diǎn)但往往設(shè)計(jì)空間又比較大，單個(gè)近似模型很可能出現(xiàn)模型選擇不當(dāng)而錯(cuò)誤尋優(yōu)的情況。近似模型聚合則能保證在相同樣本的條件下，只要參與聚合的模型至少有一個(gè)適用，優(yōu)化迭代過程就有向最優(yōu)點(diǎn)方向逼近的趨勢，樣本點(diǎn)越多，就越趨近于最優(yōu)解。在進(jìn)行聚合時(shí)，參與聚合的多個(gè)近似模型均不合適的可能性遠(yuǎn)低于單個(gè)模型不合適的可能性，設(shè)計(jì)者應(yīng)多考慮具備不同有效性，精確性和魯棒性的模型，保證至少選到一個(gè)或多個(gè)有效的模型，更能體現(xiàn)近似模型聚合方法的優(yōu)勢。

3結(jié)語

結(jié)合拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似模型聚合方法、有限元仿真技術(shù)和全局優(yōu)化算法，對(duì)某重型機(jī)床的立柱進(jìn)行了減重優(yōu)化，得到一組可行的設(shè)計(jì)變量組合，較好的減輕了立柱體的質(zhì)量，表明了近似模型聚合在高仿真隱式問題上的有效性。近似模型聚合方法能較好的應(yīng)用于未知隱式問題，雖然建模費(fèi)時(shí)比使用單個(gè)模型要長，但與節(jié)省的有限元仿真時(shí)間相比可忽略，很適用于在機(jī)床立柱設(shè)計(jì)初期進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)的過程中，同樣也可適用于機(jī)床其余重要部件的參數(shù)設(shè)計(jì)及類似的隱式約束問題。但對(duì)于此類實(shí)際工程問題，設(shè)計(jì)者無法驗(yàn)證所求的優(yōu)化解是否最優(yōu)，是否存在所選擇模型均不合適導(dǎo)致錯(cuò)誤最優(yōu)解的情況，這一點(diǎn)將在后期的研究中進(jìn)行研究。

參考文獻(xiàn):

[1] 彭文. 基于靈敏度分析的機(jī)床立柱結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù), 2006，3:29-31.

[2] Chen, V.C., et al., A review on design, modeling and applications of computer experiments. IIE transactions, 2006，38(4): 273-291.

[3] Bishop, C.M., Neural networks for pattern recognition. 1995: Oxford university press.

[4] Zerpa, L.E., et al., An optimization methodology of alkaline-surfactant-polymer flooding processes using field scale numerical simulation and multiple surrogates. Journal of Petroleum Science and Engineering, 2005，47(3-4): 197-208.

[5] Goel, T., et al., Ensemble of surrogates. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006，33(3): 199-216.

[6] 李建平. 仿真元建模中的擬合方法及其應(yīng)用研究 [D]. 北京：國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2007.

[7] 方開泰. 均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)的理論方法和應(yīng)用-歷史回顧 [J]. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理, 2004，23(3): 69-80.

[8] Goel, T., et al. Performance estimate and simultaneous application of multiple surrogates. in The proceedings of the 11th AIAA/ISSMO multidisciplinary analysis and optimization conference. Portsmouth, VA. 2006.

Application of Ensemble of Surrogates in Optimization Design of Machine Tool Column

ZHANG Shi-zhan ,QIU Hao-bo

(The StateKey of Digital Manufacturing Equipmcnt and Technology,Huazhong Univesity of

Science & Technology,Wuhan 430074,China)

Abstract:The mathematical model of a heavy machine-tool column is established, and 50 data points of finite element analysis for implicit constrains are sampled by the Latin hypercube design of experimental method. The Kriging model, RBNN (radial basis neural network) model and second-order PRS (polynomial response surface) model are then applied to constructing the ensemble of surrogates for the implicit constrains. Then its feasible design variables are obtained through global optimization, the mass of the column is reduced and the implicit constrains of deflection, stress and hydraulic constrains are all satisfied. The study shows that ensemble of surrogates is suitable for expensive implicit constrains.

Keywords:optimization design; surrogate models; finite element simulation; Latin hypercube

收稿日期：2014-12-03

中圖分類號(hào)：TH164; TP391.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

文章編號(hào)：1671-5276(2015)03-0013-04

作者簡介：張實(shí)展(1990-)，男，湖北武漢人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榻颇Ｐ图夹g(shù)與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。