分·式·探·索·題·賞·析

□李慶社

分·式·探·索·題·賞·析

□李慶社

近年來，有關分式問題的創(chuàng)新題目百花齊放，令人目不暇接.它的背景更豐富、更貼近學生的生活實際.為幫助同學們熟悉新題型，迎接新挑戰(zhàn)，特選擇分式探索題加以剖析，供大家參考.

例（新疆生產(chǎn)建設兵團）探索問題：

（1）請你寫出五個正的真分數(shù)，____，____，____，____，____，給每個分數(shù)的分子和分母加上同一個正數(shù)得到五個新分數(shù)：____，____，____，____，____.

（2）比較原來每個分數(shù)與對應新分數(shù)的大小，可以得出下面的結(jié)論：

（3）請你用文字敘述（2）中結(jié)論的含義：________.

（4）你能用圖形或推理說明這個結(jié)論嗎？________.

（5）解決問題：如圖1，有一個長寬不等的長方形綠地，現(xiàn)給綠地四周鋪一條寬相等的路，問原來的長方形與現(xiàn)在鋪過小路后的長方形是否相似？為什么？

（6）這個結(jié)論可以解釋生活中的許多現(xiàn)象，解決許多生活與數(shù)學中的問題.請你再提出一個類似的數(shù)學問題，或舉出一個生活中與此結(jié)論的相關例子.

分析：本題首先通過舉例、比較、觀察、猜想等手段，找到不變量和變量及它們的關系，進行合理推理，得到初步結(jié)論，進而舉例驗證，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，并運用學生已有知識解決簡單的數(shù)學問題，符合同學們現(xiàn)有認知水平.解答：（1）答案略.（3）給一個正的真分數(shù)的分子、分母同加一個正數(shù)，得到的新分數(shù)大于原來的分數(shù).

圖1

（4）思路1：如圖2所示，由a＜b，得s＋s1＞s＋s2，即ab＋bm＞ab＋am，a（b＋m）＝b（a＋m），可推出

圖2

（5）不相似.因為兩個長方形長與寬的比值不相等.

（6）數(shù)學問題舉例：

②a、b不是正數(shù)，或不全是正數(shù)，情況如何？

點評：本題涉及的數(shù)學思想方法有字母代替數(shù)、由特殊到一般、化歸、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學建模等，數(shù)學思想方法是數(shù)學的“靈魂”，是分析問題、解決問題的“金鑰匙”.同學們只有平時熟練地掌握這些思想方法，分析和解決問題時才能得心應手.