換元的十種方式

趙建勛

換元是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用數(shù)學(xué)方法.通過換元可以降低難度，簡化運(yùn)算.換元的關(guān)鍵是選擇換元對象，確定換元方式.常用的換元方式有以下十種.

一、取相同部分換元

例1設(shè)對所有實(shí)數(shù)x，不等式

x2log24（a+1）a+2

xlog22aa+1+

log2（a+1）24a2>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析考察不等式中對數(shù)式的類似結(jié)構(gòu)，可考慮換元.

解設(shè)t=log2a+12a，則原不等式等價(jià)于不等式（3+t）x2-2tx+2t>0對一切x∈R恒成立，而這又等價(jià)于3+t>0，（-2t）2-4（3+t）·2t<0，解得t>0.

于是log2a+12a>0，得

a+12a>1.

解此分式不等式，得0

二、相反數(shù)換元

例2已知af（2x-3）+bf（3-2x）=2x（a2≠b2），求f（x）的表達(dá)式.

分析2x-3與3-2x互為相反數(shù)，若設(shè)其中一個(gè)為t，則另一個(gè)為-t，代入已知條件可得含f（t）及f（-t）的式子，可先求f（t）.

解令2x-3=t，則3-2x=-t，x=

t+32，

∴af（t）+bf（-t）=t+3.①

在上式中以-t代t得

bf（t）+af（-t）=-t+3②

①×a-②×b，得

（a2-b2）f（t）=at+3a+bt-3b.

∵a2-b2≠0

∴f（t）=（a+b）t+3（a-b）a2-b2=ta-b+3a+b

∴f（x）=xa-b+3a+b.

三、倒數(shù)換元

例3解方程（4+15）x+（4-15）x=8

分析4+15·4-15=1，∴（4+15）x與（4-15）x互為倒數(shù).

解設(shè)（4+15）x=t，則（4-15）x=1t，于是原方程化為t+1t-8=0，即t2-8t+1=0，解得t=4±15.

當(dāng)（4+15）x=

4+15時(shí)，x=2；

當(dāng)（4+15）x=4-

15時(shí)，x=-2.

點(diǎn)評解此題用了互為倒數(shù)的兩數(shù)的特點(diǎn)，巧用了這一特點(diǎn)換元，使問題得解，值得一學(xué).

四、設(shè)比值換元

例4設(shè)x、y、z有關(guān)系x-1=

y+12=z-23，試求w=x2+y2+z2的最小值，且求出此時(shí)x、y、z的值.

解令x-11=y+12=z-23=k，則x-1=k，y+1=2k，z-2=3k，即x=k+1，y=2k-1，z=3k+2.

∴w=x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14（k+514）2+4314.

故當(dāng)k=-514，即x=914，y=-157，z=1314時(shí)w取最小值4314.

五、代數(shù)換元

例5求函數(shù)f（x）=（a+sinx）（a+cosx）（a>0，0≤x≤π2）的最小值.

解y=sinx·cosx+a（sinx+cosx）+a2

設(shè)t=sinx+cosx，兩邊平方解得t2-12=sinxcosx

∴y=t2-12+at+a2=t2+2at2+a2-12=（t+a）22+a2-12

由0≤x≤π2知π4≤x+π4≤3π4.

而t=sinx+cosx=2sin（x+π4）

12≤sin（x+π4）≤1

∴1≤2sin（x+π4）≤2

∴1≤t≤2

當(dāng)t=1，即sin（x+π4）=22，x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值a2+a.

六、三角換元

例6求函數(shù)y=1+x-x的最值.

解函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞）.

令x=cot2θ，θ∈（0，π2]，則1+x=1+cot2θ=csc2θ.∴原函數(shù)轉(zhuǎn)化為

y=csc2θ-cot2θ=cscθ-cotθ=1sinθ-cosθsinθ=1-cosθsinθ=tanθ2.

∵0<θ≤π2，∴0<θ2≤π4，∴0

∴ymax=1，但沒有最小值.

例7已知銳角α、β滿足條件

sin4αcos2β+

cos4αsin2β=1，求證：α+β=π2.

分析注意到已知條件滿足公式sin2α+cos2α=1，可進(jìn)行三角代換，即可換元.

證明由已知可設(shè)

sin2αcosβ=cosθ，

cos2αsinβ=sinθ，則sin2α=cosθ·cosβ，cos2α=sinθ·sinβ

上兩式相加，得

sin2α+cos2α=cosθ·cosβ+sinθ·sinβ=1

∴cos（θ-β）=1，

∴θ-β=2kπ（k∈Z）

∴θ=2πk+β（k∈Z）

∴sin2α=cosβcosθ=cos2β，

cos2α=sinθ·sinβ=sin2β

∵α、β為銳角，

∴sinα=cosβ=sin（π2-β），

∴α=π2-β，即α+β=π2.

點(diǎn)評三角代換既可解代數(shù)題，又可解三角題，關(guān)鍵是抓特點(diǎn)，引進(jìn)三角函數(shù).

七、增量換元法

例8已知a>b>c，求證1a-b+1b-c+1c-a>0.