隨機(jī)車流作用下橋梁沖擊系數(shù)分析

殷新鋒，鄧 露

（1．長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙 410004； 2．湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

單一移動車輛對橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的振動響應(yīng)問題研究已經(jīng)較為成熟．以往的車－橋耦合振動的分析中，大多數(shù)學(xué)者選擇單個的三維車輛模型［1－4］，或者僅僅考慮一個確定的車列荷載［3－5］．近年來，雖少數(shù)研究者開始將研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到隨機(jī)車流作用下橋梁振動響應(yīng)分析，如韓萬水，Chen S．R．等，但還未形成統(tǒng)一結(jié)論［5－9］，且針對沖擊系數(shù)的研究仍然相對較少．沖擊系數(shù)作為一個重要參數(shù)被廣泛運(yùn)用在橋梁設(shè)計(jì)中，因此，隨機(jī)車流作用下橋梁的沖擊系數(shù)分析顯得尤為重要．

由于隨機(jī)車流本身存在較大的不確定性，使得沖擊系數(shù)的研究較為困難，主要表現(xiàn)為：首先，由于多車道、多向行駛以及各個車輛的行駛速度不同導(dǎo)致車輛間的相對位置不斷變換，使得最大靜撓度的確定十分困難；其次，隨機(jī)車流中車輛數(shù)較多且類型復(fù)雜，如車輛均采用三維模型模擬，計(jì)算最大動撓度時，則計(jì)算量將較大．

本文提出了簡便且實(shí)用的隨機(jī)車流下橋梁結(jié)構(gòu)沖擊系數(shù)計(jì)算方法：首先根據(jù)響應(yīng)面分析方法，擬合影響面的函數(shù)表達(dá)式，將確定最大靜位移時隨機(jī)車流布載位置的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最大值問題，從而獲得隨機(jī)車流作用下橋梁結(jié)構(gòu)最大靜撓度；其次在計(jì)算最大動撓度時，根據(jù)已編制的車－橋耦合振動分析程序和隨機(jī)車流中各類車型的三維模型，獲得各類車型單獨(dú)作用下車－橋耦合接觸力并等效代替各類車輛三維模型作用在橋梁結(jié)構(gòu)上，這樣便可將三維車輛模型作用等效轉(zhuǎn)化為隨機(jī)接觸力作用在橋梁結(jié)構(gòu)，從而獲得隨機(jī)車流作用下橋梁結(jié)構(gòu)的動力效應(yīng)，基于統(tǒng)計(jì)分析，求得隨機(jī)車流作用下橋梁結(jié)構(gòu)沖擊系數(shù)．

1 隨機(jī)車流模擬

1．1 公路橋梁隨機(jī)車流分類

按照全國高速公路管理部門制定的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)車輛裝載貨物或乘客的能力大小將所有車輛劃分為12小類，具體分類見文獻(xiàn)［7］．

1．2 隨機(jī)車流數(shù)據(jù)分析

公路車流擁有較強(qiáng)的隨機(jī)性，通過對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理，下面僅給出隨機(jī)車流主要參數(shù)按時間段進(jìn)行分類的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果．限于文章篇幅，僅給出車型、車道及車重分析．

1．2．1 車型分析

本次調(diào)查歷時24h，共采集到13 874輛的車流數(shù)據(jù)，將實(shí)測車流數(shù)據(jù)按本文的車型分類并進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，具體數(shù)據(jù)見表1．

表1 車型占有率Tab．1 Occupancy of vehicles

1．2．2 車道分析

車輛作用在橋梁橫向上的不同位置會得到不同的動力荷載效應(yīng)，所以很有必要考慮車流在車道上的分布．根據(jù)實(shí)際測量的數(shù)據(jù)，選取某一時刻下，C1車型到C12 車型在超車道、第一行車道、第二行車道上的分布比例進(jìn)行分類統(tǒng)計(jì)，如圖1所示．

圖1 24hC1～C12車型車道比例Fig．1 Ratio of from C1to C12vehicle models in 24hours

1．2．3 車重分析

限于文章篇幅，僅對C1車型，9：00～10：00在不同車道下的車重?cái)?shù)據(jù)進(jìn)行分析．通過橋梁動態(tài)測試儀，利用車橋耦合程序?qū)囕v的實(shí)際車重進(jìn)行識別，結(jié)合分類后的車型進(jìn)行數(shù)據(jù)的篩選．通過K－S檢驗(yàn)法，將統(tǒng)計(jì)所得結(jié)果，對常見的幾類分布函數(shù)進(jìn)行判別，結(jié)果如圖2～圖3所示．從上述數(shù)據(jù)可知C1車型的車重在各車道下服從極值I型分布．

1．3 隨機(jī)車流模擬

通過Matlab軟件編寫出隨機(jī)車流程序分析并進(jìn)行抽樣，即可獲得如圖4所示隨機(jī)車流模擬圖．圖4中不同標(biāo)志代表不同車型，x坐標(biāo)表示縱向位置，y坐標(biāo)表示車道，z坐標(biāo)表示車重，每點(diǎn)上的數(shù)值表示車速．

圖2 C1車型在超車道時車重分析Fig．2 Weight analysis of C1vehicle in overtaking lane

圖3 C1車型在行車道一時車重分析Fig．3 Weight analysis of C1vehicle in lane one

圖4 隨機(jī)車流模擬Fig．4 Simulation of random traffic flow

2 隨機(jī)車流下最大靜撓度分析

求解隨機(jī)車流下最大靜撓度的問題關(guān)鍵在于怎樣獲得最大靜撓度下對應(yīng)車輛的布載情況．主要思路為：根據(jù)響應(yīng)面分析方法，擬合影響面的函數(shù)表達(dá)式，將確定隨機(jī)車流布載位置的問題轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式的最大值問題．下面以斜拉橋?yàn)槔?，詳?xì)說明過程．

2．1 有限元軟件建模及影響面求解

本文選取某斜拉橋?yàn)檠芯繉ο?，該橋?yàn)樾崩瓨?，全長840m（210m＋420m＋210m）．

采用機(jī)動法進(jìn)行影響面的求解，選擇跨中截面點(diǎn)作為研究對象，將包含位置節(jié)點(diǎn)在內(nèi)的單元作為強(qiáng)迫應(yīng)變盒［10］，對單元上的4個節(jié)點(diǎn)各施加豎直向上的單位強(qiáng)制位移，為了突出豎向變形形狀，將顯示比例調(diào)整到25倍，形成了如圖6所示曲面圖形．由圖6可知，豎向最大位移為1．025m，出現(xiàn)在強(qiáng)制位移處，由于受到橋梁支座約束的影響，最小位移為－0．177m，出現(xiàn)在邊跨跨中位置．將相應(yīng)強(qiáng)迫應(yīng)變產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)反力反向施加在對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，形成了如圖7所示變形曲面．對比兩圖的形狀以及數(shù)據(jù)可知，變形形狀十分接近，最大值相差0．001，僅為變形量的0．975%；最小值相差則完全吻合．

圖6 強(qiáng)制位移Fig．6 Forced displacement

圖7 等效荷載位移Fig．7 Equivalent load displacement

2．2 影響面的擬合

本文采用多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行擬合，在擬合中，其正規(guī)方程組往往是病態(tài)的，而且正規(guī)方程組系數(shù)矩陣的階數(shù)越高，病態(tài)越嚴(yán)重；擬合節(jié)點(diǎn)分布的區(qū)間［x0，xm］偏離原點(diǎn)越遠(yuǎn)，病態(tài)越嚴(yán)重；xi（i＝0，1，…，m）的數(shù)量級相差越大，病態(tài)越嚴(yán)重．針對上述問題，對模型數(shù)據(jù)做出以下調(diào)整：將縱、橫橋向坐標(biāo)進(jìn)行平移處理；根據(jù)影響面的形狀特點(diǎn)，將橋梁結(jié)構(gòu)劃分成（50m＋23m＋24 m＋23m＋50m）共5個區(qū)段；選擇x，y均為2階函數(shù)進(jìn)行擬合．利用Matlab軟件分段擬合，如圖8～圖13所示．?dāng)M合公式如下：

圖8 第一部分?jǐn)M合曲面Fig．8 The first part of the fitting surface

圖9 第二部分?jǐn)M合曲面Fig．9 The second part of the fitting surface

圖10 第三部分?jǐn)M合曲面Fig．10 The third part of the fitting surface

圖11 第四部分?jǐn)M合曲面Fig．11 The fourth part of the fitting surface

圖12 第五部分?jǐn)M合曲面Fig．12 The fifth part of the fitting surface

圖13 分段函數(shù)圖形Fig．13 Piecewise graph

由圖13可知，橋面節(jié)點(diǎn)與擬合后曲面吻合較好，由確定系數(shù)可知，所有的擬合曲面都大于0．96，部分曲面甚至達(dá)到0．99．所以認(rèn)為擬合效果能夠滿足計(jì)算精度的要求．

2．3 最大靜撓度求解

通過上述擬合處理獲得影響面表達(dá)式，布載位置的確定就轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)求解最大值的問題，從而使得復(fù)雜的問題簡單明了．具體表達(dá)式的推導(dǎo)如下：

1）t時刻，第i輛車的第j輪對應(yīng)的f（x，y）值表達(dá)如下：

式中：Li為第i＋1輛車與第i輛車之間的間距．

2）t時刻，第i輛車對影響面點(diǎn)的位移效應(yīng)值如下式：

式中：k為i車的車軸數(shù)；Fj為第i輛車對應(yīng)的輪重．Fj通過隨機(jī)生成的車重?cái)?shù)據(jù)，按照車重對車軸的分配比率分配到各個軸，然后將軸重平均值賦予對應(yīng)位置的輪胎重力Fj．

式中：Ll為車輪間距；Lz為車軸間距；F1＝F2，F(xiàn)3＝F4．t時刻，橋梁某車道上車輛對影響面點(diǎn)的效應(yīng)之和為：

考慮到實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)上存在車輛多向行駛的問題，因此需要對式（5）進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)某一車道上車輛往順橋向行駛時；當(dāng)車輛為逆橋向行駛時．這樣就可解決橋梁結(jié)構(gòu)上雙向行駛的問題，而且不受車道數(shù)的影響，可以逐個累加．其中：S為橋梁跨徑，vi為第i輛車的速度，t時刻，橋梁上車輛對影響面點(diǎn)的效應(yīng)之和為：

通過Matlab對P值進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，計(jì)算步長Δt＝0．1s，然后對所求的P值進(jìn)行篩選，獲得Pmax．

3 隨機(jī)車流下的車 －橋耦合振動分析程序?qū)崿F(xiàn)

本文考慮隨機(jī)車流中車輛數(shù)較多，如果所有車輛均模擬成三維車輛模型，程序的計(jì)算過程及計(jì)算難度會大大增加．為簡化，計(jì)算過程分兩步：首先得到車流樣本中各類型車輛各自單獨(dú)作用下與橋梁耦合振動的接觸力；然后在隨機(jī)車流橋梁振動分析時，將各自振動接觸力代替各類型車輛作用在橋上．鑒于篇幅原因，下面僅以重為20t的雙軸貨車（第三類型）為例，介紹得到單一車輛作用下與橋梁耦合振動的接觸力時程的計(jì)算過程．

3．1 單一車輛模型及其運(yùn)動方程

采用7自由度兩軸汽車的空間整車模型模擬20 t的大型雙軸貨車（第三類型），自由度包括車體的豎向位移、點(diǎn)頭及翻滾轉(zhuǎn)動，前后車軸的豎向位移及翻滾轉(zhuǎn)動．該車輛模型雖然為最簡單的整車模型，卻能全面地分析車輛與橋梁的耦合振動特性，能比較真實(shí)地模擬實(shí)際車輛的動力特性．圖14所示為整車模型的正視圖和側(cè)視圖．

圖14 整車模型Fig．14 Vehicle model

根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知，該車輛模型的運(yùn)動微分方程矩陣形式為：

式中：Mv，Cv和Kv分別為車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Yv為車輛的位移向量；FG為車輛的重力向量；Fv－b為車輪與路面接觸面作用于車輪的反力．

3．2 橋梁運(yùn)動方程

根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知，橋梁的運(yùn)動方程可以表示為：

式中：Mb，Cb和Kb分別表示橋梁的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Yb表示橋梁全部自由度的位移向量；˙Yb和¨Yb分別表示Yb關(guān)于時間的一階和二階導(dǎo)數(shù)；Fv－b是作用于橋梁的所有外力向量．

一般將路面的不平度作為空間頻率函數(shù)，視為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程［8－9］．通過傅立葉變換，由此譜密度函數(shù)應(yīng)用三角級數(shù)模擬得到路面不平度函數(shù)［1］：

式中：Gq（n）＝Gq（n0）n20／n2，n為空間頻率，n0＝0．1（1／m）是標(biāo)準(zhǔn)空間頻率，Gq（n0）為路面不平度系數(shù)；θi為0～2π之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)．

3．3 單一車輛作用下橋梁振動響應(yīng)分析

以第三類Ⅵ型為例，總重為20t的雙軸貨車距離橋頭15m 以速度10m／s行駛通過該橋．通過車橋耦合程序，得到車輛通過橋梁時橋梁的振動響應(yīng)．

由圖15可知，車輛上橋后行駛在邊跨位置時，跨中位移僅出現(xiàn)較小的波動．15s之后逐漸增加．在22．88s時刻，即車輛行駛在跨中位置時位移達(dá)到最大值－4．09cm，隨著車輛離開跨中位置，豎向位移逐漸減小，44s位置車輛離開橋梁，跨中位移仍然在小范圍內(nèi)發(fā)生波動．

圖15 單車作用下車－橋耦合系統(tǒng)振動響應(yīng)Fig．15 Vibration response of vehicle－bridge coupled system

跨中截面豎向加速度則是隨著車輛上橋逐漸增大．行駛到22．92s時刻，豎向加速度達(dá)到最大值0．131 7m／s2．隨著車輛離開跨中位置，加速度逐漸減?。?jì)算得后軸重為12．1t，在考慮車橋耦合作用下，后軸的接觸力如圖15（c）所示，最大值出現(xiàn)在30．02s位置，達(dá)到12．83t．

3．4 隨機(jī)車流作用下橋梁振動響應(yīng)分析

如圖15（c）所示，基于車橋耦合程序可得考慮單車－橋耦合振動效應(yīng)后的單車作用在橋梁時車軸接觸力時程數(shù)據(jù)值．在隨機(jī)車流橋梁振動分析時，為簡化計(jì)算過程，可將各類車單獨(dú)作用在橋上時所得時程接觸力數(shù)據(jù)值代替三維車輛模型直接作用在橋梁結(jié)構(gòu)上［9］．為與單車作用下橋梁振動對比研究，車流總車重約為20t，則車流樣本作用下的振動響應(yīng)如圖16所示．

圖16 車流樣本作用下橋梁振動響應(yīng)Fig．16 Vibration response of the bridge under the traffic loads

跨中豎向位移在1～10s期間有較明顯的增加趨勢，由于受到的是車流影響，豎向位移與單一車輛相比規(guī)律性不明顯．在考慮60s內(nèi)的豎向位移時，最大位移為3．647cm，發(fā)生在22．24s位置；對比單車作用下最大位移值可知，車流作用下最大位移值要小，這可能是由于車流中部分車輛作用在跨中截面的負(fù)彎矩區(qū)域，使跨中位置產(chǎn)生了反向位移，從而減小了車流作用下跨中最大位移．

4 隨機(jī)車流作用下橋梁的沖擊系數(shù)統(tǒng)計(jì)分析

本文通過大量的計(jì)算獲得一系列分散數(shù)據(jù)，再對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析從而獲得對應(yīng)的分布函數(shù)和統(tǒng)計(jì)參數(shù)．借助Matlab工作平臺，采用K－S檢驗(yàn)法對數(shù)據(jù)進(jìn)行常規(guī)的5種分布函數(shù)檢驗(yàn)．若分布函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)函數(shù)差值的絕對值的最大值小于臨界值，則表示假設(shè)成立．由表2可知，經(jīng)過K－S檢驗(yàn)得出其服從極值Ⅰ型分布和正態(tài)分布，但是比較觀測值和臨界值可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)與極值Ⅰ型分布的吻合程度要高于正態(tài)分布（如圖17所示），所以認(rèn)為沖擊系數(shù)服從極值Ⅰ型分布．

本文根據(jù)獲得的分布函數(shù)求解0．9 分位數(shù)［10］的沖擊系數(shù)值為0．161 5．與按照04規(guī)范求解得到的沖擊系數(shù)值0．149相比，隨機(jī)車流作用下所得沖擊系數(shù)要大8．38%，雖然04 規(guī)范與本文計(jì)算值有差別，但若從工程設(shè)計(jì)角度出發(fā)，04規(guī)范還是可運(yùn)用于斜拉橋的設(shè)計(jì)中．

表2 沖擊系數(shù)檢驗(yàn)Tab．2 Test of impact factor

圖17 沖擊系數(shù)擬合圖Fig．17 Fitted curve of impact factor

5 結(jié) 論

現(xiàn)有沖擊系數(shù)的研究較少考慮到交通車流的隨機(jī)特征，這與實(shí)橋上作用的交通荷載不符．因此，本文提出了簡便且實(shí)用的隨機(jī)車流作用下橋梁結(jié)構(gòu)沖擊系數(shù)計(jì)算方法，結(jié)果表明：

1）基于響應(yīng)面分析方法，提出了隨機(jī)車流作用下橋梁結(jié)構(gòu)最大靜撓度的計(jì)算方法，算例表明該方法具有足夠的計(jì)算精度，滿足計(jì)算精度的要求．

2）根據(jù)隨機(jī)車流中各類車型的三維模型和已編制的車－橋耦合振動分析程序，提出了隨機(jī)車流作用下橋梁結(jié)構(gòu)沖擊系數(shù)的計(jì)算方法，算例表明所提出的方法能有效地計(jì)算隨機(jī)車流下橋梁的沖擊系數(shù)．

3）沖擊系數(shù)統(tǒng)計(jì)分析表明，隨機(jī)車流作用下沖擊系數(shù)服從極值Ⅰ型分布，統(tǒng)計(jì)值比04規(guī)范求解所得的0．149大8．38%．

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