古塔形變問題的數(shù)學(xué)模型

屈 哲，郭 輝

(青島濱海學(xué)院大專理科基礎(chǔ)學(xué)院，山東青島 266555)

1 古塔各層中心位置的測定方法

1.1 確定任意凸多邊形重心

做凸四邊形的一條對角線，就將四邊形分為兩個三角形，分別作兩個三角形的重心為A和B，連接A、B得一線段AB。同樣，做出凸四邊形的另一條對角線，用相同的辦法得到線段CD，AB和CD的交點(diǎn)就是凸四邊形的重心［1］，如圖1所示。

圖1 凸四邊形的重心

做凸五邊形的任一條對角線，將凸五邊形分為一個三角形與一個四邊形組合體，分別作出三角形的重心和四邊形的重心，并連成線段AB;做五邊形的另外一條對角形，將五邊形分為另一個三角形與四邊形的組合體，分別作出三角形與四邊形的重心，并連接成線段CD;則AB和CD的交點(diǎn)就是五邊形的重心，如圖2所示。

圖2 凸五邊形的重心

一條對角線，將N邊形化為一個三角形與(N－1)邊形，或四邊形與(N－2)邊形，然后分別作出重心，并連接成線段，然后再連接另一條對角線，分別作出兩個組合體的重心并連接成線段，兩條線段的交點(diǎn)就是N邊形的重心。

1.2 任意凸多邊形重心的算法

基于上述理論，運(yùn)用VC++得出確定一個任意凸多邊形重心的通用方法，具體算法及程序如下［2－3］:

(1)在平面上取一點(diǎn)(一般取原點(diǎn))得到N個三角形 OP［i］P［i+1］，其中點(diǎn)的順序為逆時針。

(2)分別求出這N個三角形的重心Ci和面積Ai，注意此處面積是有向面積，用叉乘求面積時應(yīng)保留其正負(fù)號。

(3)求出A=A1+A2+…+AN(同樣保留正負(fù)號的代數(shù)相加)。

(4)重心C=sigma(Ai+Ci)/A。

2 古塔傾斜、彎曲、扭曲的形變數(shù)學(xué)模型

2.1 古塔的傾斜分析

建筑物的傾斜，即其主體的中心軸線偏離鉛垂線且與鉛垂線有一個夾角，古塔是一座八邊形的建筑物，為了研究方便，可將塔體簡化為錐體，如圖3所示。塔體傾斜在豎面上的反映是:塔的中心軸線偏離鉛垂線，其偏離角度為 θ［4］。

圖3 塔體簡化為錐體

設(shè)古塔塔頂?shù)捻旤c(diǎn)坐標(biāo)為A(x14，y14，z14)，第一層塔的中心坐標(biāo)為B(x1，y1，z1)，連線AB即是古塔中心軸線，利用空間向量對兩點(diǎn)的坐標(biāo)做差得出x1，y14－y1，z14－ z1}，利用空間向量方向角的余弦公式

根據(jù)上述仿真數(shù)據(jù)，得到4年古塔的傾斜角數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 古塔的傾斜角

由表1的數(shù)據(jù)可觀察到θ隨時間逐漸變大，說明塔的中心軸線與鉛垂線之間的偏離角度θ在不斷變大，塔隨著年份的增加傾斜度逐漸增大。但在1996～2011年的15年間傾斜角度增大的趨勢逐漸變緩。

2.2 古塔的扭曲分析

物體因外力作用而發(fā)生的扭轉(zhuǎn)形變叫做物體的扭曲。古塔的扭曲即是古塔在受到外力的作用下中心軸假設(shè)不動，塔身相鄰兩段向相反兩個方向的扭轉(zhuǎn)叫扭曲形變。

在古塔的觀測數(shù)據(jù)中每一層都有8個被觀測點(diǎn)，為研究分析古塔的扭曲形變，需要選取其中一個被觀測點(diǎn)作為研究的被觀測點(diǎn)，假設(shè)古塔沒有發(fā)生豎直方向上的形變(例如沉降)，不考慮z軸的變化，每一層均作為一個研究平面，只考慮x，y軸上坐標(biāo)的變化，用最后一次對這一固定點(diǎn)的觀測(2011年)數(shù)據(jù)與第一次觀測(1986年)的數(shù)據(jù)做差，得到25年來每一層這一固定點(diǎn)的累計變化量。

表2 古塔每層固定點(diǎn)的累計變化量

由表2中可知x，y軸坐標(biāo)的變化發(fā)生在不同的方向上，即該固定點(diǎn)在這25年以來塔身2～5層與1層和6～13層扭轉(zhuǎn)的方向不一致，所以古塔由于受到外力的影響而發(fā)生了扭轉(zhuǎn)的形變，即古塔發(fā)生了扭曲形變。

2.3 古塔的彎曲分析

當(dāng)物體受到與物體軸線垂直的外力或在軸線平面內(nèi)的力偶作用時，物體的軸線由原來的直線變成曲線，這種形變稱作彎曲形變。為了研究方便且保持結(jié)果的準(zhǔn)確性，建立如圖4所示平面直角坐標(biāo)系，并以此確定古塔每一層的8個方位。

圖4 古塔的彎曲形變示意圖

研究古塔的彎曲形變即:研究古塔各層重心與空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)的連線形成的向量軸所成的方向角，由空解析幾何原理計算如下

圖5 古塔彎曲形變分析

由圖5可知:1～3層從1986年～2011年向東南方向傾斜;4～5層1986年～1996年先向東南方向傾斜，1996年～2009年向西北方向傾斜，2009年～2011年向東南方向傾斜;6～13層1996年～2011年向東南方向傾斜。

3 古塔的形變趨勢

3.1 古塔的傾斜形變趨勢分析

根據(jù)上述的研究結(jié)果，利用最小二乘法可將古塔形變的趨勢擬合成一條光滑曲線，同時還可得出擬合曲線的多項式方程，以此來定量分析該古塔的形變趨勢，得出古塔傾斜趨勢二次多項式為

3.2 古塔扭曲、彎曲形變的趨勢分析

在實(shí)際工程中，建筑物扭曲和彎曲一般是同時發(fā)生的，這是因為建筑物受到橫向和縱向的不可抗力作用而發(fā)生的形變。本文研究了古塔身各層扭曲和彎曲的情況，根據(jù)研究發(fā)現(xiàn)古塔第5層彎曲、扭曲方向與其上面的各層不一致，這是因為該層是塔身的受力中心。因此通過研究該層的重心，即可得出整個古塔的扭曲和彎曲的形變趨勢。擬合得出古塔扭曲趨勢的二次多項式函數(shù)

4 結(jié)束語

定量分析了古塔受到外界自然環(huán)境的影響產(chǎn)生傾斜、彎曲和扭曲等形變情況及形變趨勢的預(yù)測問題。分析發(fā)現(xiàn):古塔隨著年份的增加傾斜度逐漸增大。但傾斜角度增大的趨勢逐漸變緩;同時分析發(fā)現(xiàn)古塔存在一定程序的扭曲現(xiàn)象，但扭曲程度不大;同時，古塔也存在一定程度的彎曲現(xiàn)象，彎曲趨勢的也在逐漸變緩。通過建立數(shù)學(xué)模型定量分析研究古塔的形變趨勢，為文物部門及時準(zhǔn)確了解古塔隨時間增加而發(fā)生的形變趨勢，加強(qiáng)對古塔的維修，制定及時、科學(xué)的保護(hù)措施提供了理論依據(jù)。

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