基于課本資源的“微專(zhuān)題”教學(xué)實(shí)踐與思考

【摘 要】在高三后期有效地穿插“微專(zhuān)題”，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)的高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的一些不足與缺陷?！鞍⒉_尼斯圓”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，反思微專(zhuān)題教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：課題的確定，遵循真、小、實(shí)的原則;課型的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重知識(shí)的整合，突出以小見(jiàn)大;習(xí)題的選擇突出見(jiàn)微知著以及“微專(zhuān)題”教學(xué)注重教學(xué)的生成性，以便提高高三復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】微專(zhuān)題;課本資源;教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）42-0032-03

【作者簡(jiǎn)介】李寬珍，江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)（南京，211200）教師，中學(xué)高級(jí)教師。

專(zhuān)題復(fù)習(xí)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)后期的重要階段。它是在一輪復(fù)習(xí)的整體梳理、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)之后，必須經(jīng)歷的以綜合訓(xùn)練為主，以訓(xùn)練解題能力和優(yōu)化思維品質(zhì)為最終目的的復(fù)習(xí)階段。如何提高這一階段的復(fù)習(xí)效率呢？筆者經(jīng)過(guò)幾屆畢業(yè)班的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)在高三后期的專(zhuān)題復(fù)習(xí)中，“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)是對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)的有效補(bǔ)充，對(duì)學(xué)生掌握難點(diǎn)問(wèn)題、查漏補(bǔ)缺有很好的幫助。近幾年的高考中，以“阿波羅尼斯圓”為背景的試題一度成為考查熱點(diǎn)，而此背景源自課本，由此，筆者基于課本資源開(kāi)設(shè)了一節(jié)關(guān)于“阿波羅尼斯圓”及其簡(jiǎn)單應(yīng)用的“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)課，取得了良好的效果，本文以此為例來(lái)談?wù)剬?shí)施“微專(zhuān)題”教學(xué)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，僅供參考。

一、“微專(zhuān)題”課題的確定，遵循真、小、實(shí)的原則

“微專(zhuān)題”是立足于學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況而選擇的切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的小專(zhuān)題。它貼近學(xué)情，難度適中;可以進(jìn)行適度拓展，激發(fā)學(xué)生潛能?！拔?zhuān)題”的選題不求面面俱到，而是要結(jié)合復(fù)習(xí)的目標(biāo)要求，針對(duì)學(xué)生在單元復(fù)習(xí)和大專(zhuān)題復(fù)習(xí)中暴露出的在知識(shí)、方法和能力等方面的薄弱環(huán)節(jié)，以學(xué)生復(fù)習(xí)中的“問(wèn)題”促“專(zhuān)題”的生成，力求解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的“真問(wèn)題”“實(shí)問(wèn)題”。比如筆者設(shè)計(jì)本專(zhuān)題主要是考慮到以下兩點(diǎn)因素。

1.學(xué)生的難點(diǎn)。

筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在多次的作業(yè)及考試中對(duì)隱含的阿波羅尼斯圓的關(guān)注度不是很高，從而導(dǎo)致這類(lèi)題目答題的正確率較低。應(yīng)該說(shuō)，這類(lèi)問(wèn)題涉及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)及思想方法，問(wèn)題本身具有一定的綜合性。

2.考試的熱點(diǎn)。

筆者查閱了近幾年的高考題，有關(guān)阿波羅尼斯圓的問(wèn)題出現(xiàn)在多個(gè)省份的高考題中，如2003年北京春季卷，2008年四川卷，2005年、2008年、2009年、2013年江蘇卷，2014年、2015年湖北卷，等等。在這些題目中雖沒(méi)有直接出現(xiàn)阿波羅尼斯圓的概念，但經(jīng)過(guò)推導(dǎo)、變形均能轉(zhuǎn)化得到阿波羅尼斯圓。

二、“微專(zhuān)題”課型的教學(xué)設(shè)計(jì)，注重知識(shí)的整合，突出以小見(jiàn)大

“微專(zhuān)題”教學(xué)關(guān)鍵在于抓住課堂內(nèi)容的“主線”，以“真問(wèn)題”“實(shí)問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)教學(xué)，讓學(xué)生在真情境、真討論、真問(wèn)題、真思考中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，提出能體現(xiàn)核心要旨的“問(wèn)題”，從而將豐富的教學(xué)內(nèi)容整合成清晰的結(jié)構(gòu)。

我們?cè)趯?duì)某一個(gè)“微專(zhuān)題”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要力求找到一條能串起零散問(wèn)題的“主線”，要注重揭示這些問(wèn)題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，這樣才能讓學(xué)生做到舉一反三，觸類(lèi)旁通。要防止復(fù)習(xí)的“碎片化”，避免“就題論題”，將專(zhuān)題復(fù)習(xí)異化為對(duì)幾個(gè)題目的復(fù)習(xí)。

筆者分析后發(fā)現(xiàn)，造成學(xué)生對(duì)阿波羅尼斯圓背景判斷困難的根本原因是沒(méi)有真正理解這類(lèi)曲線的本質(zhì)。因此，在本專(zhuān)題的設(shè)計(jì)中，筆者沒(méi)有像以往的一些專(zhuān)題復(fù)習(xí)課那樣，過(guò)多考慮題目的綜合性或新穎性，過(guò)多注重解題的技巧訓(xùn)練，而是從一組課本的習(xí)題開(kāi)始，以理解阿波羅尼斯圓的本質(zhì)為主線，通過(guò)回顧課本習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生回歸問(wèn)題的起點(diǎn)，真正達(dá)到追本溯源、微中見(jiàn)著的目的。通過(guò)梳理學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的、相對(duì)“零散”的題組，以“阿波羅尼斯圓”的概念為核心構(gòu)建這類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系，為學(xué)生以后解決這類(lèi)問(wèn)題形成了一條更為清晰的“線路圖”。本專(zhuān)題設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)主要教學(xué)環(huán)節(jié)來(lái)實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)。

活動(dòng)1：課本溯源，奠定基礎(chǔ)。

展示課本上的兩道題：

例1.（蘇教版《數(shù)學(xué)》必修2 P112）已知點(diǎn)M（x，y）與兩定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離之比為1：2，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

例2.（蘇教版《數(shù)學(xué)》選修2-1 P63）求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比等于2的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

（學(xué)生思考、自主解答，具體解答過(guò)程略）

（設(shè)計(jì)意圖：挖掘課本習(xí)題的教育功能和教學(xué)價(jià)值，讓學(xué)生體會(huì)到高考題是源于課本的。此外，在此處還可以聯(lián)系橢圓與雙曲線的知識(shí)，使學(xué)生深刻理解橢圓與雙曲線的定義，熟悉其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，強(qiáng)化分類(lèi)討論的意識(shí)，滲透類(lèi)比的思想。）

活動(dòng)2：特殊到一般，完善定理。

將課本習(xí)題一般化：設(shè)A，B是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離的比為定值λ（λ>0），求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。

讓學(xué)生類(lèi)比課本習(xí)題的方法給出解決方法。接著由教師給出阿波羅尼斯軌跡定理：

在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上，且滿足=λ，當(dāng)λ>0且λ≠0時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)“阿氏圓”。（λ=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線）

活動(dòng)3：數(shù)學(xué)運(yùn)用，鏈接高考。

習(xí)題1（2008年江蘇卷）滿足條件AB=2，AC=BC的△ABC的面積的最大值是______。

習(xí)題2（2008年四川卷）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)A在C上，且AK=AF，則△AFK的面積為_(kāi)______。

習(xí)題3（2013年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上。

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程;

（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍。

（設(shè)計(jì)意圖：由課本習(xí)題提煉出定理，再回到高考中體會(huì)試題出現(xiàn)的情境，讓學(xué)生體會(huì)這些高考題原來(lái)都是源于課本的，接地氣，易于接受。）

活動(dòng)4：延伸拓展，深化思維。

在數(shù)學(xué)解題中，若僅僅滿足解出正確結(jié)果是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要善于回顧和反思，再來(lái)分析例1條件和結(jié)論：

條件：①平面上的定點(diǎn)O（0，0）;②平面上的定點(diǎn)A（3，0）;③在同一平面上動(dòng)點(diǎn)M滿足=;

結(jié)論：點(diǎn)M的軌跡方程是（x+1）2+y2=4。

命題中涉及兩個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)定比和動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，若將這些重新組合，改變它們的邏輯次序（在已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡的條件下），就可以得到新的結(jié)論。

延伸1（探求定比）：已知點(diǎn)O（0，0），A（3，0），點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的常數(shù)λ，使得=λ？若存在，求出常數(shù)λ;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

這個(gè)其實(shí)是我們經(jīng)常遇到的一類(lèi)定值問(wèn)題：定點(diǎn)A，定點(diǎn)B，定圓C？圯定值λ。

延伸2（探求一個(gè)定點(diǎn)）：已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M 是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問(wèn)：在平面上是否存在點(diǎn)A，使得=？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

這個(gè)其實(shí)也是我們經(jīng)常研究的定點(diǎn)問(wèn)題：定點(diǎn)A，定值λ，定圓C？圯定點(diǎn)B。

延伸3（探求兩個(gè)定點(diǎn)）：已知點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)P，Q，使得=？若存在，求出兩個(gè)定點(diǎn)P，Q的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

這個(gè)是我們常見(jiàn)的求定點(diǎn)問(wèn)題：定圓C，定值

λ？圯定點(diǎn)A，定點(diǎn)B。

延伸4（探求定比和一個(gè)定點(diǎn)）：已知點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M是圓（x+1）2+y2=4上任意一點(diǎn)，問(wèn)：在平面上是否存在不同于點(diǎn)O的定點(diǎn)A，使得為常數(shù)λ？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及常數(shù)λ;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

此問(wèn)題即為常見(jiàn)的求定值定點(diǎn)問(wèn)題：定點(diǎn)A，定圓C？圯定點(diǎn)B，定值λ。

通過(guò)這幾次變式，將圓中的幾類(lèi)定點(diǎn)、定值問(wèn)題一線串之，讓學(xué)生從中看到問(wèn)題的根源在于課本，認(rèn)清本質(zhì)，進(jìn)而能做到運(yùn)用自如。

三、“微專(zhuān)題”教學(xué)習(xí)題的選擇，突出見(jiàn)微知著

“微專(zhuān)題”教學(xué)的例題和習(xí)題選擇不要刻意求新求異，而是要立足于解決學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的真問(wèn)題，應(yīng)選擇部分本專(zhuān)題中具有代表性、可以從多個(gè)角度認(rèn)識(shí)和解決、且具有深入探究?jī)r(jià)值和思維含量的問(wèn)題，這類(lèi)題目能夠體現(xiàn)解決本專(zhuān)題問(wèn)題的核心思想與方法。筆者認(rèn)為選題時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面的習(xí)題。

1.源于“易錯(cuò)易混點(diǎn)”的辨析。

心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾說(shuō)過(guò)：“影響學(xué)習(xí)的唯一的最重要的因素就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并據(jù)此進(jìn)行教學(xué)?！睂W(xué)生的錯(cuò)題是反映學(xué)情的第一手材料，特別是學(xué)生反復(fù)做錯(cuò)的一些題目，更是我們要格外關(guān)注的。此外，選擇學(xué)生作業(yè)中相關(guān)的一些易錯(cuò)易混題作為專(zhuān)題復(fù)習(xí)的素材還有助于引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成回顧與反思的良好習(xí)慣。本課例所選的阿波羅尼斯圓就是學(xué)生的易錯(cuò)題。

2.源于課本習(xí)題的延伸。

高考題的源頭是教材，這是高三復(fù)習(xí)必須研究和回歸的起點(diǎn)和終點(diǎn)。當(dāng)前專(zhuān)題復(fù)習(xí)中對(duì)一些知識(shí)和方法交匯處的綜合題、高考題關(guān)注得比較多，而對(duì)課本的習(xí)題關(guān)注得不夠。課本的習(xí)題都是經(jīng)過(guò)專(zhuān)家反復(fù)推敲，最能反映相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法應(yīng)用的典型題目，歷屆高考試卷中來(lái)自課本原題或改編題的考題比比皆是。因此，課本的習(xí)題理應(yīng)成為復(fù)習(xí)重點(diǎn)。本課例的背景就是來(lái)源于課本，由課本題展開(kāi)并延伸拓展，讓學(xué)生對(duì)高大上的高考題不再畏懼。

3.源于典型的高考題。

選擇一些典型高考題作為復(fù)習(xí)題有助于我們?cè)趶?fù)習(xí)中準(zhǔn)確把握高考的命題方向，克服復(fù)習(xí)中出現(xiàn)一些偏題、怪題。但在使用高考題時(shí)要注意和復(fù)習(xí)的專(zhuān)題相吻合，不可生搬硬套，沖淡復(fù)習(xí)的主題。本專(zhuān)題中的“活動(dòng)3：數(shù)學(xué)運(yùn)用，鏈接高考”中的習(xí)題均是選自近幾年的高考題，讓學(xué)生體會(huì)阿波羅尼斯圓在高考題中的呈現(xiàn)形式。

四、“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)課的教學(xué)，注重課堂的生成

課堂教學(xué)是預(yù)設(shè)和生成的有機(jī)融合，預(yù)設(shè)是為了更好地生成?！拔?zhuān)題”復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，更要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，讓學(xué)生回顧和梳理問(wèn)題解答的過(guò)程，體會(huì)它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，最好讓學(xué)生自主生成串起這個(gè)專(zhuān)題的一條“主線”，進(jìn)而在頭腦中形成對(duì)一類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。因此，“微專(zhuān)題”復(fù)習(xí)課的重點(diǎn)應(yīng)放在學(xué)生對(duì)解決本專(zhuān)題問(wèn)題的一般思想方法的生成上，而不是在單個(gè)題目的具體解法上，否則，這樣的專(zhuān)題教學(xué)會(huì)異化為同類(lèi)題的綜合訓(xùn)練，起不到專(zhuān)題復(fù)習(xí)的效果。例如在本專(zhuān)題的教學(xué)中，筆者將教學(xué)的重點(diǎn)放在以下兩個(gè)方面：一是幫助學(xué)生自主構(gòu)建阿波羅尼斯圓定義的基本方法，二是讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程的聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。

以上是筆者對(duì)“微專(zhuān)題”在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的一些實(shí)踐和思考，由于“微專(zhuān)題”是立足于具體的學(xué)情、教情和考情而靈活設(shè)置的專(zhuān)題，沒(méi)有現(xiàn)成的復(fù)習(xí)資料可以照搬，對(duì)如何提高這種形式的復(fù)習(xí)課的效果、還有待各位專(zhuān)家和同仁不斷研究和實(shí)踐，以更好提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性。

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度立項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)‘微專(zhuān)題教學(xué)的實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：D/2015/02/165）的階段研究成果之一。