積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用探究

袁朝圣++徐英

摘要：本文結(jié)合定積分的定義，利用“大化小，常帶變，近似和，求極限”的方法解決了水的側(cè)壓力問題，進(jìn)一步認(rèn)識了積分的本質(zhì)特點(diǎn)為求和、求極限。以具體的物理問題為例，給出了定積分、曲線積分和曲面積分解決物理問題的本質(zhì)方法是“微元分析法”，總結(jié)出了“微元分析法”解決物理問題的一般步驟。

關(guān)鍵詞：積分；物理；微元分析法

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0139-03

大學(xué)物理中的許多問題都要用微積分來解決，如水壓力、變力沿直線或曲線做功、物體的質(zhì)心、剛體的轉(zhuǎn)動慣量以及E通量等。事實(shí)上，微分可以理解為對整體的無限分割，使得局部無限的小，積分則可以理解為對無限個(gè)小微元的求和[1]。概括地說，微分是分割的過程，積分則是一個(gè)求和、求極限的過程。本文以具體的物理問題為例，分析了積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用。為了深化對積分概念的理解，本文以水的側(cè)向壓力為例，采用“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想進(jìn)行分析，討論了積分的本質(zhì)思想及其物理意義，并利用“微元分析法”[2]給出了該問題的簡單解法。另外，本文通過對變力沿曲線做功問題的求解和對阿基米德原理的證明，給出了曲線積分、曲面積分解決物理問題的本質(zhì)方法仍是“微元分析法”。

一、積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用

根據(jù)積分的定義[2，3]，我們可以得出，凡是可以通過“大化小，常帶變，近似和，求極限”這四步來解決的物理量均可用積分來求解，即可利用“微元分析法”來解決物理問題。本文以具體的問題為例，來分析積分在物理問題中的應(yīng)用。

（一）定積分的應(yīng)用——水的側(cè)壓力問題

例1 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為R，水的密度為ρ，計(jì)算桶的一個(gè)端面上所受的壓力。[2]

為了深化對積分概念的理解，本文首先根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想求解該題。

解：桶的一個(gè)端面是圓片，我們要計(jì)算的是當(dāng)水平面通過圓心時(shí)，鉛直放置的一個(gè)半圓片的一側(cè)所受到的水壓力。在這個(gè)圓片上，如圖1-1，在取過圓心且鉛直向下的直線為x軸，過圓心的水平線為y軸，則半圓片所在圓的方程為x2+y2=R2，記y=f（x）=■.

第一步：“大化小”，把半圓片分成n個(gè)小窄條，即把區(qū)間[0，R]分成n個(gè)小區(qū)間[x0，x1]，[x1，x2]，…[xn-1，xn]，其中x0=0，xn=R.每個(gè)小窄條一側(cè)所受的水壓力的和即為半圓片的一側(cè)所受的水壓力。

第二步：“常帶變”，把第i個(gè)小窄條（i=1，2，3，…，n）近似地看成矩形窄條，如圖1-1，該矩形的高為Δxi=xi-xi-1，任取一點(diǎn)ξi∈[xn-1，xn]，讓2f（ξi）作為該矩形的底，即小矩形的底為2■，則第i個(gè)小窄條所受的側(cè)壓力Pi的近似值可表示為：

Pi≈ρgξi2■Δxi，i=1，2，3，…，n

第三步：“近似和”，由上面的討論可得半圓片一側(cè)所受的側(cè)壓力P的近似值為：P≈∑■■ρgξi2■Δxi.

第四步：“取極限”，Δxi越小，近似和也就越接近于精確值P，當(dāng)Δxi無限小時(shí)，即Δxi趨于零時(shí)，近似和就是精確值P.

取λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，則半圓形圓片一側(cè)所受的側(cè)壓力為：

P=■■ρgξi2■Δxi.

根據(jù)定積分的定義，上述極限即為函數(shù)f（x）=ρgx2■在區(qū)間[0，R]上的定積分，即

P=■■ρgξi2■Δxi=■ρgx2■dx.

綜上，我們得到了桶的一個(gè)端面上所受的壓力為

■ρgx2■dx=2ρg■x■dx=■R3.

通過對該題的求解，我們可以得到：當(dāng)所求物理量滿足一定條件（該物理量可以根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想來求解）時(shí)，那么該物理量可以表示為一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的定積分。事實(shí)上，我們可以把定積分簡單地理解為求和、求極限。

對于例1，可以利用“微元分析法”，得出該題的簡單求解方法，具體過程如下：

解：對于上面所建立的坐標(biāo)系，我們?nèi)榉e分變量，且x∈[0，R]在該區(qū)間上取任一小區(qū)間[x，x+dx]，如圖1-2，用點(diǎn)x處的壓強(qiáng)來近似地表示該小區(qū)間上任一處的壓強(qiáng)，因此相應(yīng)于該小區(qū)間的窄條上各處的壓強(qiáng)可近似地表示為ρgx，該窄條的面積可近似地表示為：

2ydx=2■dx.

因此該窄條一側(cè)所受的水壓力的近似值，即桶的一個(gè)端面上所受水壓力的微元表達(dá)式為：

dp=2ρgx■dx

因此，所求的壓力為：

P=■2ρgx■dx=■R3.

（二）曲線積分的應(yīng)用——變力沿曲線做功問題

例2 有一質(zhì)量為4kg的質(zhì)點(diǎn)，在力F=（2xy，3x2）（SI單位）的作用下，沿曲線x2=9y從點(diǎn)（0，0）運(yùn)動到（3，1），求力F在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動過程中所做的功。[4]

討論：該題為變力沿曲線做功問題，且所求的量可以通過“大化小，常帶變，近似和，求極限”來解決，因此可以利用“微元分析法”來求解。由于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路徑為曲線弧，故選取微元為弧元素ds.該題的具體求解過程如下：

解：對于曲線弧x2=9y，x∈[0，3]，在該弧上取弧元素ds，P（x，y）為ds上的任一點(diǎn)，P點(diǎn)處沿x軸增加方向的切向量的方向余弦為：cosα，cosβ.

可以得到：力F在x軸、y軸方向上的分量所做功的微元表達(dá)式分別為：2xycosβds，3x2cosαds.

所以所求功為：

W=■2xycosβds+■3x2cosαds=

■2xydx+3x2dy=18J.

該題是曲線積分的一個(gè)典型的應(yīng)用，涉及到了兩類曲線積分的概念及其聯(lián)系。事實(shí)上，此題也可以直接在x軸、y軸分別取微元dx、dy，進(jìn)而直接應(yīng)用對坐標(biāo)的曲線積分，得到所求功的表達(dá)式為：endprint

■2xydx+3x2dy.

（三）曲面積分的應(yīng)用——阿基米德原理的證明

阿基米德原理：浸沒在液體中的物體所受的浮力等于該物體排開的同體積液體的重力，浮力的方向鉛直向上。[4]

例3 證明阿基米德原理。

對于該原理的證明，文獻(xiàn)[4]給出了很完整的證明過程。本文利用高斯公式，參考文獻(xiàn)[5]中的解題思想，嚴(yán)格按照“微元分析法”解決物理問題的步驟，給出該原理的另一證明思路。

證明：建立坐標(biāo)系，取液面為xoy坐標(biāo)面，鉛直向上的方向?yàn)閦軸，由于物體表面各點(diǎn)處均有壓強(qiáng)，因此我們選取積分元為曲面元dS，積分區(qū)域?yàn)槲矬w表面∑，在dS上取點(diǎn)M（x，y，z），由于z軸方向鉛直向上，所以z≤0.物體表面在該點(diǎn)處所受的壓強(qiáng)大小為-ρgz.

設(shè)∑在M處的外法線向量的方向余弦為：cosα，cosβ，cosγ.則dS所受壓力在x軸、y軸、z軸上的分量的微元表達(dá)式分別為：-ρgzcosαdS，-ρgzcosβdS，-ρgzcosγdS.

記物體所所受液體的壓力在x軸、y軸、z軸上的分量分別為：Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z.

于是可得：Fx=■-ρgzcosαdS；Fy=■-ρgzcosβdS；Fz=■-ρgzcosγdS.

（其中，Ω為物體所占有的空間區(qū)域，V為物體的體積。）

利用高斯公式可得結(jié)果：

Fx=■■dxdydz=0；

Fy=■dxdydz=0；

Fz=■■dxdydz=-ρgV

事實(shí)上，物體左右兩側(cè)受液體水平方向的壓力等值、反向、共線，因此，物體所受水平方向上的合力為零。因此物體所受的合力為F=-ρgV.該力大小等于物體的重力，方向鉛直向上。

在該題的證明過程中，我們可以把坐標(biāo)原點(diǎn)選取在xoy坐標(biāo)面的任一處，因此在建立坐標(biāo)系時(shí)無須確定坐標(biāo)原點(diǎn)。曲面積分的求解一般是轉(zhuǎn)化成定積分來計(jì)算，但在該題中，積分曲面不能夠具體地表示出來，因此曲面積分無法轉(zhuǎn)化成定積分。但可以利用高斯公式把曲面積分轉(zhuǎn)化成三重積分，轉(zhuǎn)化后的三重積分的被積函數(shù)是1，根據(jù)三重積分的定義[3]，可得該三重積分的值恰好是積分區(qū)域的體積。

二、結(jié)論

本文以具體的物理問題為例，分析了積分方法在大學(xué)物理中的應(yīng)用。當(dāng)所求物理量可以根據(jù)“大化小，常帶變，近似和，求極限”的思想來解決時(shí)，那么該物理量可以簡單地表示為一積分表達(dá)式，即該物理量可以利用微元分析法來求解。事實(shí)上，大學(xué)物理中的很多公式都是抽象的數(shù)學(xué)公式的具體化；而數(shù)學(xué)公式大都是抽掉了具體物理意義的數(shù)量關(guān)系。因此，在解決實(shí)際物理問題時(shí)，必須在掌握數(shù)學(xué)知識的同時(shí)明確物理概念，將數(shù)學(xué)與物理緊密地聯(lián)系起來。

另外，本文還總結(jié)了利用微元分析法求解物理問題的一般步驟：（1）建立方便的坐標(biāo)系。對于一個(gè)具體的物理問題，建立坐標(biāo)系的原則是使得計(jì)算過程較簡便。（2）確定積分區(qū)域。對于不同的問題，積分區(qū)域可能是：數(shù)軸上的區(qū)間；平面域；空間域；曲線??；曲面域。（3）寫出微元表達(dá)式。把積分區(qū)域分割為許多小區(qū)域，寫出小區(qū)域上待求物理量的近似值。（4）寫出積分表達(dá)式并求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]梁小佳.微積分在大學(xué)物理中的應(yīng)用探究[J].甘肅高師學(xué)報(bào)，2010，15（2）：78-80.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[4]毛駿健，顧牡.大學(xué)物理（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下冊）[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.endprint