具有收獲率和2個(gè)功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的多個(gè)正周期解

姚曉潔

(廣西科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，來賓546100)

在捕食系統(tǒng)中功能函數(shù)起著非常重要的作用，因?yàn)楣δ芎瘮?shù)不僅與食餌有關(guān)，而且反映了捕食者的捕食能力.1965年，Holling［1］對(duì)不同類型的生物種群提出了3 種不同類型的功能函數(shù):Holling-Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型，它們都是單調(diào)函數(shù). 隨后，Arditi 和Ginzburg［2］提出了比率模型，它體現(xiàn)了捕食者之間的相互干擾，其缺陷是存在一種低密度狀態(tài)時(shí)的異常行為. 之后，Beddington［3］和DeAngelis 等［4］提出了Bedding-Deangelis 功能反應(yīng)，它與比率模型有一些相似的特征，但避免了種群在低密度狀態(tài)時(shí)的異常行為.關(guān)于具有收獲率和功能反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng)具有多個(gè)周期解問題，近些年獲得了有意義的結(jié)果［5－11］，其中，文獻(xiàn)［10］利用重合度理論和一些分析技巧，獲得了如下具有時(shí)滯和Beddington-DeAngelis 功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)至少存在8個(gè)正周期解的充分條件. 以上這些文獻(xiàn)都是針對(duì)生物種群具有單個(gè)功能反應(yīng)的，而對(duì)具有多個(gè)不同功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)有多個(gè)正周期解的相關(guān)研究卻很少報(bào)道，因此，本文研究如下具有收獲率和2個(gè)功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)

其中，xi(t)(i =1，2，3)分別表示3個(gè)種群各自的種群密度，hi(t)分別表示xi(t)各自的收獲率;ai(t)，bi(t)，di(t)，ki(t)，fi(t)，hi(t)，c(t)，α(t)，β(t)，γ(t)，m(t)，τ1(t)，τ2(t)均為R+上的連續(xù)函數(shù)，其中i=1，2，3;θi＞0 (i=1，2，3)為常數(shù).

借助文獻(xiàn)［9］的思想方法，本文獲得了系統(tǒng)(2)存在8個(gè)正周期解的充分條件，豐富了相關(guān)結(jié)果.

1 準(zhǔn)備知識(shí)

對(duì)任何ω－連續(xù)函數(shù)f(t)，定義

設(shè)X 和Z 是實(shí)Banach 空間，L:Dom L?X→Z為線性映射，N:X ×［0，1］→Z 為連續(xù)映射，如果dim Ker L=codim Im L ＜+∞，且Im L 在Z 中是閉的，則稱L 為零指標(biāo)的Fredholm 映射. 若L 是指標(biāo)為零的Fredholm 映射，且存在連續(xù)投影P:X→X 及Q:Z→Z 使得Im P =Ker L，Im L =Ker Q =Im(I－Q)，則:(I－P)X→Im L 可逆，設(shè)其逆映射為KP. 設(shè)Ω 為X 中有界開集，如果QN(Ω ×［0，1］)有界且KP(I－Q)N:Ω ×［0，1］→X 是緊的，那么稱N 在Ω×［0，1］上是L－緊的.由于Im Q 與Ker L同構(gòu)，故存在同構(gòu)映射J:Im Q→Ker L.

引理1［12］(Mawhin 延拓定理) 設(shè)L 是指標(biāo)為零的Fredholm 映射，且N 在Ω ×［0，1］是L－緊的.如果:

(i)對(duì)任意的λ (0，1)，方程Lx=λN(x，λ)的解滿足x ?Ω;

(ii)QN(x，0)≠0，?x ?Ω∩Ker L;

(iii)deg{JQN(x，0)，Ω∩Ker L}≠0，則方程Lx=N(x，1)在Dom L∩Ω內(nèi)至少有一個(gè)解.

考慮方程h(x)=b－axα－c/x，x (0，+∞).

引理2［9］假設(shè)a，b，c，α 是正常數(shù)且滿足b ＞(1 +α)a1/(1+α)(c/α)α/(1+α)，則存在0 ＜x－＜x+，使得h(x－)=h(x+)=0;h(x)＞0，x (x－，x+);h(x)＜0，x (0，x－)∪(x+，+∞);h'(x－)＞0，h'(x+)＜0.

記

本文假設(shè):

再記

仿照文獻(xiàn)［9］的引理3.3 的證明，容易得到:

引理3 假設(shè)(A1)～(A3)滿足，則下列結(jié)論成立:

引理4［13］假設(shè)x≥0，y≥0，p ＞1，q ＞1，且則

2 周期解的存在性

定理1 假設(shè)(A1)～(A3)滿足，則系統(tǒng)(2)至少存在8個(gè)正ω－周期解.

證明 令yi(t)=exi(t)(i=1，2，3)，則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

取X=Z={y=(y1，y2，y3)TC(R，R3):y(t +ω)=y(t)，i=1，2，3}，對(duì)y X 或y Z，定義則X 和Z 在此范數(shù)下是Banach空間. 記

定義

易知P、Q 是連續(xù)投影且Im P=Ker L，Ker Q=Im L=Im(I－Q)，從而，廣義逆KP:Im L→Ker P∩Dom L 存在且為

于是

這里

利用Lebegegu 收斂定理和Arzela－ Ascoli 定理，對(duì)任意的有界集Ω?X，容易證明N 在上是L－緊的.

根據(jù)引理1，只需尋找8個(gè)合適的有界開集即可.考慮方程Ly=λN(y，λ)，λ (0，1)，即

假設(shè)(y1(t)，y2(t)，y3(t))T是式(4)對(duì)某個(gè)λ (0，1)的ω－周期解. 選擇ξi，ηi［0，ω］(i =1，2，3)，使得

顯然，有y'i(ξi)=0，y'i(ηi)=0 (i=1，2，3).結(jié)合式(4)可得

由式(8)可得a1(η1)－b1(η1)eθ1y1(η1)＞0，即

從而

即

同理，由式(10)可得

再由式(5)得

結(jié)合式(11)可得

結(jié)合引理3 的條件(i)可得

同理，由式(8)得

由式(6)類似討論可得

結(jié)合引理3 的條件(i)可得

同理，由式(9)可得

由式(7)類似討論可得

結(jié)合引理3 的條件(i)可得

同理，由式(10)可得

再由式(5)可得

結(jié)合引理3 的條件(iii)可得

同理，由式(8)可得

類似討論，由式(6)可得

結(jié)合引理3 的條件(iii)可得

同理，由式(9)可得

由式(7)，類似討論得

結(jié)合引理3 的條件(iii)可得

同理，由式(10)可得

顯然，Ωi(i =1，2，…，8)是X 上的開集，且Ωi∩Ωj=?(i，j=1，2，…，8，i≠j)，則Ωi(i=1，2，…，8)滿足引理1 的條件(i). 現(xiàn)在證明引理1 的條件(ii)也成立，即證若u ?Ωi∩Ker L =?Ωi∩R3，QN(u，0)≠0 (i =1，2，…，8).用反證法. 假設(shè)QN(u，0)=0，即

容易得到式(27)有8個(gè)不同的解:

由于Ker L=ImQ，取J=I，根據(jù)引理3 的條件(ii)直接計(jì)算可得

這說明引理1 的條件(iii)成立. 故根據(jù)引理1知，系統(tǒng)(3)至少存在8個(gè)不同的ω－周期解

結(jié)合引理4 和定理1，立即可得:

推論1 假設(shè)下面條件滿足:

則系統(tǒng)(2)至少存在8個(gè)不同的正ω－周期解.

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