自適應(yīng)卡爾曼濾波在大壩形變預(yù)報中的應(yīng)用分析

李洪亮 時榮 鐘雙

（1.河南省測繪產(chǎn)品質(zhì)量監(jiān)督站 河南鄭州 450003；2.河南省遙感測繪院 河南鄭州 450003；3.河南省基礎(chǔ)地理信息中心 河南鄭州 450003；）

1 引言

大壩形變主要受到水壓、溫度和時效等環(huán)境因素影響[1]，其中，水壓和溫度具有日周期變化[2]，時效則綜合反映了壩體和基巖在多種因素影響下的不可逆形變，是描述大壩長期形變量的重要參考。對大壩位移值隔天采樣，可消除水壓和溫度的影響，而時效具有緩變性，在短時間內(nèi)可建立速度項的運(yùn)動模型，利用卡爾曼濾波可以動態(tài)估計與預(yù)報。

卡爾曼濾波是遞推線性最小方差估計的最優(yōu)估計，整個遞推過程由函數(shù)方程，觀測噪聲、狀態(tài)噪聲以及新息決定，在大壩形變監(jiān)測中，觀測噪聲和過程噪聲受到環(huán)境因素影響，處在不斷變化中，而標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波中，這兩者由先驗(yàn)給定，隨著濾波的進(jìn)行是固定不變的，這顯然不能反映大壩形變的動態(tài)特性，因而標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波不是最優(yōu)的。本文主要從新息序列的兩條統(tǒng)計特性出發(fā)，引入調(diào)節(jié)因子[3]和方差補(bǔ)償[4]分別實(shí)時修正觀測噪聲和過程噪聲，充分利用觀測數(shù)據(jù)的隱含信息，構(gòu)造自適應(yīng)卡爾曼濾波模型，最后對兩組大壩數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，比較標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波和自適應(yīng)卡爾曼濾波方法的預(yù)報精度，并給出了對比分析。

2 大壩形變預(yù)報中的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波模型

在大壩長期形變監(jiān)測中，時效項是最主要的形變量，在不發(fā)生特殊情況下，如地震、山體滑坡，時效項一般呈線性緩變，因而可以對其建立速度項的運(yùn)動模型，設(shè)觀測點(diǎn)的狀態(tài)向量為為位移，v為速度，則其狀態(tài)模型為:

觀測值是用儀器（如GPS，機(jī)器人全站儀）測得的當(dāng)期大壩形變位移量Y，那么有如下觀測方程:

上式中，τ為時間間隔，Q為狀態(tài)過程噪聲，R為觀測噪聲，在建立了上述狀態(tài)模型和觀測模型后，就可以進(jìn)行卡爾曼濾波求得每一期的狀態(tài)?？柭鼮V波過程如下:

圖1:卡爾曼濾波計算過程

只有在當(dāng)前位移和速度估計精確的情況下，才能得到更高精度的形變預(yù)報?？柭鼮V波是一個狀態(tài)遞推的過程，所有歷史信息均被隱含地保留下來，充分顧及了狀態(tài)時間上的相關(guān)性以及所有信息的融合。

3 自適應(yīng)卡爾曼濾波的構(gòu)造

在卡爾曼濾波中，過程噪聲Q表征了狀態(tài)轉(zhuǎn)移的不確定性，這種不確定性會隨著時間的變化而變化，由于大壩形變受到各種因素影響，這些因素并非一成不變，這導(dǎo)致在大壩形變模型中，各時刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移的不確定度是時變的，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況動態(tài)地變化。另一方面，觀測噪聲R也存在同樣的情況，它應(yīng)根據(jù)當(dāng)前觀測條件實(shí)時的變化。在標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波中，過程噪聲Q和觀測噪聲R是事先給定的，在濾波過程中固定不變，從直觀上講，這難以符合實(shí)際動態(tài)變化情況，尤其在形變突變的情況下，不能很好地自適應(yīng)描述該過程，導(dǎo)致預(yù)報精度較低。在多期觀測掌握了足夠的數(shù)據(jù)后，從數(shù)據(jù)處理角度來看，是可以對觀測值和狀態(tài)的隨機(jī)過程參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)后估計的。

本文采用了一種實(shí)時自適應(yīng)的卡爾曼濾波方法，以新息的統(tǒng)計特性為約束條件，充分利用隱含的歷史數(shù)據(jù)，不斷地調(diào)整過程噪聲Q和觀測噪聲R，使其能夠更好地反映當(dāng)前的形變動態(tài)過程和觀測手段的精度情況。

新息被定義為當(dāng)前實(shí)際觀測值與預(yù)報觀測值的差[5]，表述為:

利用線形流形的射影方法可推導(dǎo)出新息序列的兩條統(tǒng)計特性[5]:

1）新息序列正交性:

2）新息協(xié)方差陣:

新息是歷史信息與當(dāng)前信息的綜合表現(xiàn)，當(dāng)狀態(tài)模型和觀測模型的統(tǒng)計特性準(zhǔn)確時，新息滿足以上兩條統(tǒng)計性質(zhì)，同樣，由以上兩條性質(zhì)可反推模型的統(tǒng)計特性，即Q和R。由于新息是實(shí)時計算得到，因而模型的統(tǒng)計特性也能實(shí)時的自適應(yīng)修正。

下面討論如何根據(jù)新息實(shí)時修正Q和R。

3.1 調(diào)節(jié)因子修正R

卡爾曼濾波中，狀態(tài)的估計由當(dāng)前觀測值和預(yù)報狀態(tài)決定，兩者對狀態(tài)估計的貢獻(xiàn)分別由各自的協(xié)方差陣決定，即和R，當(dāng)大時，即預(yù)報狀態(tài)的不確定性大，此時更信任觀測值中的信息，反之，當(dāng)小時，預(yù)報狀態(tài)更準(zhǔn)。因此，可動態(tài)地調(diào)節(jié)的大小，間接地影響R對狀態(tài)估計的貢獻(xiàn)，從而間接地修正R，以使估計達(dá)到最優(yōu)。

可以證明，利用新息的兩條統(tǒng)計性質(zhì)，可得:

式中，新息ε有當(dāng)前觀測值根據(jù)(4)式計算得到，tr為矩陣求跡。

3.1 實(shí)時估計修正Q

將性質(zhì)（2）展開得到:

可以看出，如果知道新息和R的統(tǒng)計特性，就能求得Q的統(tǒng)計特性。

假定任意時間段修正的Q為對角陣，記:

記:

其中ηi+t為零均值隨機(jī)變量。令

由推導(dǎo)可得:

個以上方程后，就能用最小二乘求得Q的對角元素值。令:

可列得最小二乘方程:

當(dāng)n大于Q對角線元素個數(shù)時，有最小二乘解[6]:

在本文建立的速度模型中，Q為一維，因而不需要多期濾波結(jié)果，可以直接利用(12)式進(jìn)行計算，實(shí)時地修正。但為了抵制噪聲ηi+t的影響，可以利用多期結(jié)果進(jìn)行最小二乘求解，平滑其它噪聲干擾，使得Q的估計更加準(zhǔn)確。

4 大壩形變預(yù)報應(yīng)用分析

4.1 數(shù)據(jù)說明

本文使用兩組大壩數(shù)據(jù)來進(jìn)行試驗(yàn)分析，以驗(yàn)證在大壩形變預(yù)報中，自適應(yīng)卡爾曼濾波優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波。

第一組數(shù)據(jù)使用了我國中部地區(qū)某混凝土大壩上布設(shè)的水平形變監(jiān)測點(diǎn)，對其進(jìn)行了近一個月的連續(xù)水平形變監(jiān)測，觀測間隔為1天，共采集了28期的水平徑向原始觀測值，如圖2:

圖2:混凝土大壩的水平形變序列

第二組數(shù)據(jù)為隔河巖大壩壩軸線某監(jiān)測點(diǎn)在垂向上的形變序列，觀測間隔為1小時，共采集了約2個月的數(shù)據(jù)，如圖3:

圖3:隔河巖大壩的垂向形變序列

從上圖中可以看出，混凝土大壩的形變穩(wěn)定，趨勢比較平緩，因而可以在較長時間間隔連續(xù)觀測。而隔河巖大壩的形變有較多的突變點(diǎn)，變化復(fù)雜，需要在較短的時間間隔觀測才能反映其變化情況。

4.2 建立模型

根據(jù)第二章，可以建立大壩形變的狀態(tài)模型(1)式和觀測模型(2)式，在濾波估計出當(dāng)前狀態(tài)后，利用(3)式可進(jìn)行下一時刻的形變預(yù)報。對于混凝土大壩，從圖2中可以發(fā)現(xiàn)第二期的速度有突變，因此略去第一期觀測值，以二三期觀測值計算初值，從第三期開始進(jìn)行濾波處理并預(yù)報，而隔河巖大壩以一二期觀測值計算初值，從第二期開始進(jìn)行濾波處理并預(yù)報。

其初始狀態(tài)如下:

對于兩組數(shù)據(jù)，其它參數(shù)均設(shè)為一致，如下:

另外，狀態(tài)噪聲取加速度[1,7,8]，其先驗(yàn)值設(shè)為，測量噪聲先驗(yàn)值設(shè)為R=0.1mm，對于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，在濾波過程中，兩者不變，對于自適應(yīng)卡爾曼濾波，兩者隨濾波動態(tài)情況實(shí)時調(diào)整。

4.3 結(jié)果分析

對每一期大壩形變數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波后，得到當(dāng)前最優(yōu)的形變位移和形變速度，并且以此預(yù)報下一期的形變位移。為了比較預(yù)報的精度，以實(shí)際測得的形變位移為參考，計算預(yù)報形變位移的誤差。兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波和自適應(yīng)卡爾曼濾波的預(yù)報誤差如下:

圖4:混凝土大壩的形變預(yù)報誤差比較

圖5:隔河巖大壩的形變預(yù)報誤差比較

從圖中可以明顯看出，自適應(yīng)卡爾曼濾波的預(yù)報誤差整體小于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波的預(yù)報誤差。在第一組數(shù)據(jù)中，自適應(yīng)卡爾曼濾波預(yù)報誤差基本在零均值附近上下抖動，未見明顯趨勢，而標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波抖動幅值較大，具有明顯的趨勢項，這是由于當(dāng)形變比較劇烈，位移發(fā)生突變后，卡爾曼濾波不能迅速進(jìn)行調(diào)整，有一定的滯后性，嚴(yán)重影響了后幾期的預(yù)報，尤其在第7期到第13期之間，這種影響十分明顯，但是自適應(yīng)卡爾曼濾波能夠很好地自適應(yīng)形變的動態(tài)變化，做出迅速的調(diào)整，消除當(dāng)前突變的影響，及時恢復(fù)預(yù)報精度。該特點(diǎn)在第二組數(shù)據(jù)中尤為明顯，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波在形變位移突變后，出現(xiàn)幾期的預(yù)報誤差都較大的聚集情況，表明卡爾曼濾波不能抑制該影響，造成后續(xù)短期內(nèi)預(yù)報的系統(tǒng)偏差。相反，自適應(yīng)卡爾曼濾波只在突變處的預(yù)報誤差會稍微偏大（即圖中只有一個離散點(diǎn)），而后能迅速恢復(fù)預(yù)報精度。

下面計算了2組數(shù)據(jù)2種方法的統(tǒng)計精度，精度提高百分比以及可信度。其中，統(tǒng)計精度為預(yù)報誤差的RMS；精度提高百分比是以兩種方法的預(yù)報誤差之差大于量測中誤差0.1mm的（差值小于0.1mm的預(yù)報值，可認(rèn)為是偶然誤差引起，不能判定精度優(yōu)勢），比較兩種方法預(yù)報更為準(zhǔn)確的數(shù)量；可信度是以三倍測量中誤差作為極限誤差，預(yù)報誤差低于該極限誤差的數(shù)量。

表1 兩種方法的精度指標(biāo)比較

表中SKF表示標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，AKF表示自適應(yīng)卡爾曼濾波，1和2表示數(shù)據(jù)組號。從表中可以定量地比較得到，自適應(yīng)卡爾曼的各項指標(biāo)均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，約有46.4%和22.7%的預(yù)報值精度高于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波，其可信度分別增加了28.6%和7.5%，預(yù)報性能提高明顯。

5 結(jié)束語

自適應(yīng)卡爾曼濾波不僅綜合了標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波的所有優(yōu)點(diǎn)，而且還能自適應(yīng)地根據(jù)當(dāng)前信息對自身模型做出修正，克服了標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波過于依賴先驗(yàn)知識和過去信息且對突變敏感的缺點(diǎn)，在大壩形變監(jiān)測中取得了較好的結(jié)果。

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