銑削建模中多種切削力模型的分析比較＊

楊毅青，張 斌，劉 強

（1.北京航空航天大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，北京100191；2.國防科技工業(yè)高效數(shù)控加工技術(shù)研究應(yīng)用中心，北京100191）

引 言

銑削是最為普遍的一種金屬切削加工方式。長期以來，人們對銑削加工過程中的動力學(xué)建模與仿真技術(shù)進行了大量的研究，以期對實際生產(chǎn)進行理論指導(dǎo)和工藝優(yōu)化。切削力模型的選擇與確定是銑削過程動力學(xué)仿真的基礎(chǔ)。目前，線性切削力模型是使用最為廣泛的一種，該模型中的六個切削力系數(shù)被視為與切削參數(shù)無關(guān)的固定常數(shù)［1］。線性切削力模型已被應(yīng)用于各種銑刀的切削力建模及顫振穩(wěn)定域仿真，并在實際中得到較好的驗證［1，2］。ALTINTAS將該模型應(yīng)用于平底立銑刀、球頭刀與鑲片刀等刀具的銑削動力學(xué)建模，切削力及顫振穩(wěn)定域 預(yù) 測 與 實 驗 吻 合 較 好［1］。INSPERGER［3］和DING［4］進一步完善了線性切削力模型下的銑削顫振穩(wěn)定域預(yù)測，分別提出了半離散法與全離散法。線性切削力模型的不足之處是，對刃口力與瞬時切削厚度無關(guān)的假定不完全準確［5］；此外，由于切削力被表示成與切削厚度成線性關(guān)系，無法獲取進給速度對顫振穩(wěn)定域瓣的影響［6］。因此，人們在線性切削力模型的基礎(chǔ)上對切削模型進行了拓展。

指數(shù)瞬時切削力模型是另一種較常見的模型，在該模型中切削力系數(shù)被表示成瞬時切削厚度的指數(shù)函數(shù)。張臣等研究了基于指數(shù)瞬時模型的球頭銑刀切削力建模方法［7］。WAN以圓柱螺旋立銑刀為例，提出了一種僅需進行一次實驗試切，即可根據(jù)瞬時切削力辨識指數(shù)瞬時模型系數(shù)的方法［8］。JENSEN建立了包含進給速度以及刀片幾何參數(shù)的面銑削指數(shù)瞬時加工模型，實驗結(jié)果表明顫振穩(wěn)定域的臨界切深隨著進給速度的增加而增加［9］。MUNOA研究了基于指數(shù)切削力模型的銑削顫振穩(wěn)定域預(yù)測，分析了進給速度對顫振穩(wěn)定域的影響［10］。與線性切削力模型相對，指數(shù)瞬時模型是一種非線性模型，不但能準確預(yù)測切削力，而且能預(yù)測進給速度對顫振穩(wěn)定域的影響。

相比以上兩種切削力模型，針對其他模型的研究工作相對較少。尹力等建立了以進給速度、切深、主軸轉(zhuǎn)速為自變量的銑削力系數(shù)多項式模型，并采用偏最小二乘回歸方法辨識出切削力系數(shù)［11］。梁睿君等研究了以每齒進給量為變量的二次多項式切削力系數(shù)模型，揭示了主軸轉(zhuǎn)速、進給速度與臨界穩(wěn)定切深之間存在非線性關(guān)系［12］。BUDAK研究了線性及指數(shù)平均切削力模型的切削力系數(shù)辨識及銑削建模技術(shù)，實驗對比表明線性模型的精度高于指數(shù)平均切削力模型［5］。綜合目前發(fā)表的文獻，尚沒有系統(tǒng)針對上述多種切削力模型在銑削動力學(xué)建模中的對比分析工作。據(jù)此，本文以圓柱螺旋立銑刀為例，圍繞線性切削力模型、指數(shù)瞬時切削力模型、指數(shù)平均切削力模型以及一般多項式切削力模型的銑削動力學(xué)建模技術(shù)，分別對其中所涉及到的切削力系數(shù)辨識、切削力及顫振穩(wěn)定域預(yù)測進行研究，并在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)總結(jié)各模型的優(yōu)點與不足。

圖1 銑削力分布示意圖Fig.1 Modeling of the milling force

1 銑削過程建模

1.1 基本理論

以圓柱螺旋立銑刀為例（如圖1（a）所示），將切削刃離散成若干微元。將每個微元上承受的切削力dF進行分解，可得切向力dFt、徑向力dFr與軸向力dFa（如圖1（b）所示）。微元分力的大小由刀具／工件材料性質(zhì)、瞬時切削厚度與微元高度決定。通過座標變換，將切向、徑向與軸向分力投影至機床坐標X，Y與Z方向，可得

式中 dFx，dFy與dFz分別為切削力微元在X，Y與Z方向上的切削力投影分量；j代表切削刃l(wèi)上的某一微元；φj，l為瞬時切入角。將任一時刻所有參與切削的微元上的力進行疊加，可得到銑刀沿X／Y／Z方向上的瞬時切削合力為

式中N為刀齒數(shù)，M為切削刃上所劃分的微元數(shù)目。

1.2 銑削力模型分類

式（1）中，切削刃微元所承受的切向力dFt、徑向力dFr與軸向力dFa可表述成下式

式中Ktc，Krc，Kac分別為切向、徑向、軸向力系數(shù)；Kte，Kre，Kae分別為切向、徑向、軸向刃口力系數(shù)；dz為切削刃微元高度；h＝csinφj，l為瞬時切屑厚度，c為每齒進給量。根據(jù)目前文獻，切削力模型主要包括線性、指數(shù)瞬時、指數(shù)平均以及一般多項式。各模型下的切削力系數(shù)表達式如表1所示。

表1 切削力模型分類Tab.1 Categories of the cutting force model

2 銑削力系數(shù)辨識

2.1 銑削力系數(shù)辨識算法研究

對所有切削力模型而言，切削力系數(shù)辨識是銑削過程建模技術(shù)的關(guān)鍵。通過計算刀具一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的平均銑削力FA，可對切削力系數(shù)進行辨識。由于切削力系數(shù)的大小取決于刀具、工件等物理屬性，不受切入、切出角的影響，為簡化推導(dǎo)過程，在以下辨識過程中均以槽銑加工（φst＝0，φex＝π）為例。

1）線性切削力模型

計算刀具旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的平均切削力FA（FA，q＝Bqc＋Aq，q＝x，y，z）

等式兩邊除以Nap，以c為變量采用最小二乘法進行擬合，具體推導(dǎo)過程可參考文獻［1］。辨識出的切削力系數(shù)計算公式如下

2）指數(shù)瞬時切削力模型

計算獲得X／Y／Z方向上的每齒平均銑削力為

等式兩邊除以Nap并取對數(shù)，得到以lnc為自變量的線性表達式（ln（FA，q／Nap）＝Bqlnc＋Aq，q＝x，y，z）。采用最小二乘法進行擬合，可獲得切削力系數(shù)計算公式如下

3）指數(shù)平均切削力模型

槽銑時，每轉(zhuǎn)的平均切削厚度hA＝2c／π。計算獲得X／Y／Z方向上的每齒平均銑削力為

等式兩邊除以Nap再取對數(shù)，得到以lnc為自變量的線性表達式（ln（FA，q／Nap）＝Bqlnc＋Aq，q＝x，y，z）。采用最小二乘法進行擬合，可得切削力系數(shù)計算公式如下

4）一般多項式切削力模型

計算獲得X／Y／Z方向上的每齒平均銑削力為

設(shè)已有m＋1組（m≥3）不同每齒進給量c（c0，c1，c2…cm）下的平均切削力數(shù)據(jù)，對X／Y／Z方向以｛c0c1c2c3｝為基函數(shù)分別進行最小二乘法曲線擬合。以X方向為例，由下方程組式可解得kx。

其中，

保持A不變，同理對X，Z方向進行辨識，可解出ky，kz向量：

辨識后的切削力系數(shù)計算公式如下

2.2 辨識實驗

結(jié)合切削實驗，通過采集銑削過程中的X／Y／Z向切削力數(shù)據(jù)，對刀具／工件材料對的切削力系數(shù)進行辨識。實驗采用槽銑的方式，與公式推導(dǎo)中的條件保持一致。為最大限度降低實驗誤差，總共采集9組實驗數(shù)據(jù)，取主軸轉(zhuǎn)速n＝4 000r／min保持不變，分別改變進給速度（F＝200，400，600mm／min）與切深（ap＝0.5，1，1.5mm）的取值。實驗用機床為VMC0850B（如圖2所示），切削用測力儀為Kistler 9257B。實驗用刀具為KENNAMETAL圓柱螺旋立銑刀（ABDF1200A2AS），刀齒數(shù)為2，刀具直徑為12mm。工件材料為鋁合金7050。

圖2 切削實驗現(xiàn)場Fig.2 Experimental setup

分別應(yīng)用2.1節(jié)的算法對上述四種切削力模型的系數(shù)進行辨識，結(jié)果如表2所示。

表2 辨識后的鋁合金7050切削力系數(shù)Tab.2 Identified cutting force coefficients of Aluminum 7050

3 銑削力預(yù)測與實驗對比

基于上述四種切削力模型及辨識后的切削力系數(shù)，通過式（2）預(yù)測X／Y／Z向銑削力并與實驗結(jié)果進行對比（如圖3，4所示）。由圖可得，四種切削力模型的預(yù)測結(jié)果均與實驗較吻合。通過計算每種模型預(yù)測值相對實驗數(shù)據(jù)的平均誤差，對模型的預(yù)測精度作進一步分析。以鋁合金7050為例，由圖5可得，線性、指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)最為接近（各向最大誤差均小于8%），其次是一般多項式模型，指數(shù)平均模型的預(yù)測誤差相對最大。與實驗數(shù)據(jù)相比，線性、指數(shù)瞬時與一般多項式模型預(yù)測誤差的最小值均在Y方向，誤差值分別為0.25%，1.52%與1.58%；指數(shù)平均模型預(yù)測誤差的最小值在Z方向，最小誤差為5.05%。此外，由于螺旋立銑刀切削加工時的Z向銑削力數(shù)值較小，因而對線性、指數(shù)瞬時與一般多項式模型而言，X和Y方向的預(yù)測誤差均比Z向誤差大；但指數(shù)平均模型預(yù)測誤差的最大值發(fā)生在Y方向，最大誤差為16%。

4 銑削顫振穩(wěn)定域仿真與對比

根據(jù)再生顫振理論，采用頻域求解法預(yù)測各切削力模型下的顫振穩(wěn)定域圖，有關(guān)該方法的具體介紹可參考文獻［1］。頻域法求解的關(guān)鍵在于獲取式（10）中的方向系數(shù)矩陣α。本文推導(dǎo)過程中，對指數(shù)瞬時、一般多項式模型中的高階函數(shù)采用泰勒公式進行展開，詳見附錄。

圖3 四種切削力模型的三向銑削力仿真結(jié)果與實驗對比。工件材料鋁合金7050；刀具直徑D＝12mm，刀齒數(shù)N＝2；切削參數(shù)：n＝4000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，槽銑。Fig.3 Comparison of the simulated and experimental milling force in X／Y／Zdirections based on the proposed four cutting force models.Workpiece material：Aluminum 7050；tool diameter D＝12mm，teeth number N＝2；and cutting parameters：n＝4000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，slot milling.

圖4 四種切削力模型的三向銑削力仿真結(jié)果與實驗對比。工件材料合金鋼40Cr；刀具直徑D＝16mm，刀齒數(shù)N＝2；切削參數(shù)：n＝3000r／min，F(xiàn)＝480mm／min，ap＝0.8mm，槽銑。Fig.4 Comparison of the simulated and experimental milling force in X／Y／Zdirections based on the proposed four cutting force models.Workpiece material：alloy steel 40Cr；tool diameter D＝16mm，teeth number N＝2；and cutting parameters：n＝3000r／min，F(xiàn)＝480mm／min，ap＝0.8mm，slot milling.

式中F（t）＝［FxFy］′，Δ（t）＝［ΔxΔy］′。

在獲取切削力系數(shù)及方向系數(shù)矩陣α后，顫振穩(wěn)定域圖的預(yù)測還需要獲取刀尖頻響函數(shù)。以本文所使用的螺旋立銑刀為例（如圖2所示），采用錘擊實驗進行測試。測試及分析軟件為Cutpro V9.0，沖擊力錘為PCB 086C03，加速度計為Kistler 8778A500，數(shù)據(jù)采集卡為NI 9233。測試獲得刀尖沿機床坐標X／Y方向的頻響函數(shù)如圖6所示。

以工件材料鋁合金7050為例，基于上述四種切削力模型所預(yù)測出的顫振穩(wěn)定域如圖7所示。由于基于線性切削力模型的銑削顫振穩(wěn)定域頻域求解方法的準確性已得到大量驗證［1，2，9］，本文省略了重復(fù)針對該方法預(yù)測精度的實驗驗證工作，僅將另外三種切削力模型的預(yù)測結(jié)果與線性模型進行對比。

以圖7（a）的半槽銑（c＝0.1mm）為例，線性切削力模型的極限切深值為5.6mm，指數(shù)瞬時與指數(shù)平均模型的預(yù)測值較接近，分別為4.2mm與4.0mm，一般多項式模型的預(yù)測值最小，為1.5mm。以圖7（b）槽銑（c＝0.075mm）為例，線性與指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測結(jié)果相近（極限切深值分別為1.9mm與1.7mm），而指數(shù)平均與一般多項式模型的預(yù)測極限值相對較低，均為1.2mm。綜合以上分析，一般多項式模型的顫振穩(wěn)定域預(yù)測精度與線性模型的差別最大，最大偏差超過50%。

此外，與線性切削力模型不同，由于指數(shù)瞬時、指數(shù)平均及一般多項式模型的方向系數(shù)矩陣α中包含了瞬時切削厚度h，因而可預(yù)測進給速度對顫振穩(wěn)定域瓣的影響。限于文章篇幅，在本文中不予討論。

圖5 四種切削力模型預(yù)測值相對實驗數(shù)據(jù)的平均誤差。工件材料鋁合金7050；刀具直徑D＝12mm，刀齒數(shù)N＝2；切削參數(shù)：n＝4 000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，槽銑。Fig.5 Average error between simulated and experimental milling force based on the proposed four cutting force models.Workpiece material：Aluminum 7050；tool diameter D＝12mm，teeth number N＝2；and cutting parameters：n＝4 000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，slot milling.

圖6 刀尖位移頻響函數(shù)Fig.6 Displacement frequency response function of the tool tip

圖7 基于四種切削力模型下的顫振穩(wěn)定域圖預(yù)測。工件材料鋁合金7050；刀具直徑D＝12mm，刀齒數(shù)N＝2Fig.7 Chatter stability prediction based on the proposed four cutting force models.Workpiece：Aluminum 7050；tool diameter D＝12mm，teeth number N＝2

5 結(jié) 論

（1）在銑削力預(yù)測部分，線性、指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)最為接近，其次是一般多項式模型，指數(shù)平均模型的預(yù)測誤差相對最大，以鋁合金7050為例，較實驗值的最大平均誤差為16%；

（2）在銑削顫振穩(wěn)定域預(yù)測部分，線性、指數(shù)瞬時模型的預(yù)測值較為接近，其次是指數(shù)平均模型，一般多項式模型的預(yù)測值與線性模型的差別最大，最大偏差超過50%；

（3）綜合銑削力與顫振穩(wěn)定域預(yù)測結(jié)果，線性、指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測精度高于指數(shù)平均與一般多項式模型。指數(shù)平均模型由于同時忽略了刃口力系數(shù)以及切屑厚度的瞬時變化，在部分情況下所預(yù)測的切削力幅值有可能保持恒定（如四齒銑刀、槽銑），與實驗結(jié)果差距較大；

（4）相對線性模型，指數(shù)瞬時、指數(shù)平均及一般多項式模型均可預(yù)測進給速度對顫振穩(wěn)定域的影響，缺點是在計算方向系數(shù)矩陣時，對以瞬時切削厚度為底數(shù)的冪函數(shù)采用了泰勒公式進行展開，忽略了高階多項式，從而對穩(wěn)定域瓣的預(yù)測結(jié)果造成一定影響。

［1］ ALTINTAS Y. Manufacturing Automation ［M］.Cambridge：Cambridge University Press（the Second Edition），2012.

［2］ 劉強，李忠群.數(shù)控銑削加工過程仿真與優(yōu)化——建模、算法與工程應(yīng)用［M］.北京：航空工業(yè)出版社，2011.LIU Qiang，LI Zhongqun.Simulation and Optimization of CNC Milling Process－Modeling，Algorithms and Applications［M］.Beijing：Aviation Industry Press，2011.

［3］ INSPERGER T，STEPAN G.Updated semi－discretization method for periodic delay－differential equations with discrete delay［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，2004，61（1）：117—141.

［4］ DING Y，ZHU L M，ZHANG X J，et al.A full－discretization method for prediction of milling stability［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2010，50（5）：502—509.

［5］ BUDAK E.Mechanics and dynamics of milling thin walled structures［D］.The University of British Columbia，1994.

［6］ FAASSEN R P H，WOUW N V D，OOSTERLING J A J，et al.Prediction of regenerative chatter by modelling and analysis of high－speed milling［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2003，43（14）：1 437—1 446.

［7］ 張臣，周儒榮，莊海軍，等.基于Z－map模型的球頭銑刀銑削力建模與仿真［J］.航空學(xué)報，2006，27（2）：347—352.ZHANG Chen，ZHOU Rurong，ZHUANG Haijun，et al.Modeling and simulation of ball－end milling forces based on Z－map Model［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2006，27（2）：347—352.

［8］ WAN M，ZHANG W H，DANG J W.A Novel cutting force modeling method for cylindrical end mill［J］.Applied Mathematical Modelling，2010，34（3）：823—836.

［9］ JENSEN S A，SHIN Y C.Stability analysis in face milling operations，part 2：experimental validation and influencing factors［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，1999，121（4）：606—614.

［10］MUNOA J，ZATARAIN M，BEDIAGA I，et al.Stability study of the milling process using an exponential force model in frequency domain［A］.CIRP －2nd International HPC Conference［C］.Vancouver，2006.

［11］尹力，劉強.基于偏最小二乘回歸（PLSR）方法的銑削力模型系數(shù)辨識研究［J］.機械科學(xué)與技術(shù)，2005，24（3）：269—272.YIN Li，LIU Qiang.Study on the identification of the milling force parameter model based on partial least square regression and application［J］.Mechanical Science and Technology，2005，24（3）：269—272.

［12］梁睿君，葉文華，黃翔.銑削加工3維穩(wěn)定性預(yù)測［J］.四川大學(xué)學(xué)報（工程科學(xué)版），2011，43（3）：219—224.LIANG Ruijun，YE Wenhua，HUANG Xiang.Threedimensional stability predication for milling processes［J］.Journal of Sichuan University （Engineering Science Edition），2011，43（3）：219—224.