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    旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的自由振動與穩(wěn)定性*

    2015-12-14 13:36:04任勇生代其義張興琦
    振動工程學(xué)報 2015年1期
    關(guān)鍵詞:鋪層傳動軸薄壁

    任勇生,代其義,張興琦

    (山東科技大學(xué)機械電子工程學(xué)院,山東 青島266590)

    引 言

    在包括能源、航空和汽車在內(nèi)的許多工業(yè)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi),廣泛地存在著一類旋轉(zhuǎn)柔性細長結(jié)構(gòu),它的轉(zhuǎn)動角速度矢量與其結(jié)構(gòu)的縱軸保持平行,在能量傳動過程中發(fā)揮著無可替代的重要作用,力學(xué)上通常將其稱之為旋轉(zhuǎn)軸。例如燃氣輪發(fā)電機傳動軸、航空發(fā)動機傳動軸以及汽車后輪驅(qū)動軸等等。

    纖維復(fù)合材料由于比強度和比剛度高、抗疲勞和減振性能好,在直升機尾傳動軸[1]以及汽車傳動軸[2]的結(jié)構(gòu)設(shè)計中已經(jīng)顯示出廣闊的應(yīng)用前景。采用輕質(zhì)纖維復(fù)合材料取代傳統(tǒng)的金屬材料不僅可以減輕結(jié)構(gòu)的重量,同時還能夠減少噪聲、提高結(jié)構(gòu)的抗振性能[3]。然而由于纖維復(fù)合材料力學(xué)性能的各向異性,加之軸的設(shè)計一般采取薄壁結(jié)構(gòu)形式,因此在軸向拉伸、橫向彎曲以及扭轉(zhuǎn)變形之間,存在著顯著的彈性耦合。精確地分析復(fù)合材料軸的振動特性是對其穩(wěn)定性評估和參數(shù)優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)的基于各向同性假定的金屬材料軸的動力學(xué)模型與分析方法顯然已經(jīng)不再適合于各向異性復(fù)合材料傳動軸,因此,需要建立更為先進的模型來指導(dǎo)復(fù)合材料軸的動力學(xué)設(shè)計。

    迄今為止,在實心梁(Euler-Bernolli梁和Timshenko梁)理論、圓柱殼理論和薄壁梁理論的框架下,人們已經(jīng)提出了復(fù)合材料軸的一些動力學(xué)分析模型。文獻[4]將Timoshenko梁理論和Donnell薄殼理論結(jié)合在一起,建立旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的剛度矩陣并采用有限元方法導(dǎo)出系統(tǒng)的運動方程,由此計算了薄壁復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速。文獻[5]基于等效模量梁理論(Equivalent modulus beam theory,EMBT)對復(fù)合材料軸進行了動力學(xué)建模,并且將臨界轉(zhuǎn)速的理論結(jié)果與實驗結(jié)果進行了對比。文獻[6]分別基于EMBT和分層梁理論(Layerwise beam theory,LBT)建立復(fù)合材料軸的動力學(xué)模型,研究發(fā)現(xiàn)對于非對稱鋪層方式,采用兩種模型得到的臨界轉(zhuǎn)速存在偏差。文獻[7]依據(jù)殼的一階近似理論推出了薄壁復(fù)合材料傳動軸的運動微分方程。并且應(yīng)用該模型分析計算了不同類型的復(fù)合材料傳動軸的臨界轉(zhuǎn)速。文獻[8]采用Timoshenko梁理論建立了復(fù)合材料傳動軸的動力學(xué)方程。該模型考慮了陀螺效應(yīng)和彎扭耦合的影響。文獻[9]根據(jù)Timoshenko梁理論和Hamilton原理推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料錐形軸的動力學(xué)方程。研究發(fā)現(xiàn)錐度比對軸的固有頻率有顯著影響。文獻[10]基于一階剪切梁理論提出了一個復(fù)合材料軸系統(tǒng)的有限元動力學(xué)模型,該模型除了軸還包含了剛盤以及軸承。文獻[11]和[12]基于Rehfied的復(fù)合材料薄壁梁理論[13],建立了復(fù)合材料軸的振動微分方程,研究了矩形截面軸和圓形截面軸的固有頻率和穩(wěn)定性特性,其中包括橫向剪切的影響。

    變分漸進法(Variational asymptotic method,VAM)[14]是從二維殼能量函數(shù)出發(fā),采用漸進分析建立的一種精細的復(fù)合材料薄壁梁理論,與其他薄壁梁理論相比,它的主要特點在于其位移場表達式除了包含經(jīng)典的扭轉(zhuǎn)翹曲之外,同時還包含由于軸向拉伸以及橫向彎曲變形引起翹曲。VAM復(fù)合材料薄壁梁理論不僅適用于單閉室復(fù)合材料薄壁梁,而且也適用于含有多個閉室的復(fù)合材料薄壁梁。自上世紀90年代VAM復(fù)合材料薄壁梁理論問世以來,國外一些學(xué)者已經(jīng)將其成功地應(yīng)用于先進直升機復(fù)合材料葉片的結(jié)構(gòu)建模和動力學(xué)分析[15-16]。然而,迄今為止,作者還沒有見到將VAM復(fù)合材料薄壁梁理論用于復(fù)合材料軸動力學(xué)分析的研究報道。此外,大家也注意到,現(xiàn)有的VAM復(fù)合薄壁梁理論尚未考慮橫向剪切變形的影響。

    本文從VAM復(fù)合材料薄壁梁理論出發(fā)[14],提出了一個旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動力學(xué)分析模型,其中引入了橫向剪切變形的影響。基于Hamilton原理推導(dǎo)出復(fù)合材料傳動軸的振動偏微分方程組。采用Galerkin法求解得到耦合振動固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速的近似解,并且給出了算例驗證。采用本文建立的模型計算方法,計算和分析了周向均勻剛度配置(CUS)[12]復(fù)合材料傳動軸的動力學(xué)特性。通過數(shù)值計算揭示了鋪層角、旋轉(zhuǎn)速度、長徑比、徑厚比以及橫向剪切對復(fù)合材料傳動軸自由振動固有頻率和穩(wěn)定性的影響。

    1 振動微分方程的建立

    圖1表示長度為L的、繞其軸線以定常角速度Ω旋轉(zhuǎn)的封閉截面纖維復(fù)合材料薄壁梁。旋轉(zhuǎn)坐標系為(x,y,z),局部坐標系為(x,s,ξ),其中環(huán)向坐標s沿著薄壁梁中面切線逆時針方向,ξ沿著薄壁梁中面法線方向。

    圖1 圓截面復(fù)合材料薄壁軸Fig.1 Composite thin-walled shaft of a circular cross section

    從文獻[14]的位移場表達式出發(fā),進一步引入橫向剪切變形的影響,于是薄壁軸橫截面上的任意一點沿著x,y,z方向的位移假設(shè)如下

    式中U1(x,t),U2(x,t),U3(x,t)分別表示橫截面沿著x,y,z方向的剛體位移;φ(x,t),θy(x,t),θz(x,t)分別表示橫截面繞x軸的扭轉(zhuǎn)角以及繞y,z軸的扭轉(zhuǎn)角。y,z表示橫截面中心圍線上的點的坐標,是環(huán)向坐標s的函數(shù)。

    假定薄壁梁的翹曲函數(shù)g(s,x,t)具有如下形式上述等式右端的四項依次是與扭轉(zhuǎn)、軸向拉伸、繞z軸彎曲和y軸彎曲有關(guān)的翹曲分量,其中G(s)的物理意義為扭轉(zhuǎn)率,g1(s)的物理意義為軸向應(yīng)變,g2(s)和g3(s)的物理意義為沿y,z方向的彎曲曲率。

    在方程(1)和(2)中,θy(x,t),θz(x,t)可以表示如下

    根據(jù)文獻[14]幾何方程,由位移方程(1)可以導(dǎo)出橫截面正應(yīng)變γxx和面內(nèi)剪應(yīng)變γxs的表達式,并且依照文獻[17],對橫向剪應(yīng)變γxξ的表達式也作出假設(shè)。因此,考慮剪切變形的薄壁軸的幾何方程可以寫成如下

    定義薄壁軸內(nèi)力

    薄壁軸內(nèi)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系

    其中

    為了導(dǎo)出復(fù)合材料軸的振動方程,利用Hamilton原理

    式中U和T分別為應(yīng)變能和動能,分別由下式確定

    式中σxx,σxs,σxξ分別表示橫截面正應(yīng)力、面內(nèi)剪應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力;εxx=γxx,εxs=2γxs,εxξ=2γxξ是相應(yīng)的工程應(yīng)變。

    式中ρ表示材料密度,V表示變形后的梁上任意一點的速度矢量,它與變形梁任意一點的位置矢量:r=(y+u2)i+(z+u3)j+(x+u1)k之間滿足關(guān)系:。

    定義復(fù)合材料軸的軸力Fx,扭矩Mx,彎矩My和Mz,剪力Qy和Qz如下

    將式(6)代入式(11),并且利用幾何方程(4),得

    式中kij(i,j=1,…,6)為復(fù)合材料軸橫截面的剛度系數(shù),具體表達式由于篇幅所限,不再列出。

    通過比較可以發(fā)現(xiàn),在全部的36個剛度系數(shù)kij(i,j=1,…,6)中,其中的16個剛度系數(shù)kij(i,j=1,2,…,4)的表達式與文獻[14]中不計剪切變形的復(fù)合材料薄壁梁的剛度系數(shù)是一致的,而其余的20個剛度系數(shù)kij(i=1,2,…,6;j=5,6),kji(i=1,2,…,4;j=5,6)是由于計及剪切變形新增加的剛度系數(shù)。

    假設(shè)復(fù)合材料軸具有周向均勻剛度配置(CUS)構(gòu)型[12],即滿足

    θ(y)=θ(-y),θ(z)=θ(-z)

    式中θ表示由正向s軸進行度量的纖維鋪層角。

    將方程(9)和(10)代入(8),由 Hamilton原理可以導(dǎo)出運動方程如下

    如果在方程(13)中的第二、三、五、六個方程中,令U″2-θ′y=0,U″3-θ′z=0,U′2-θy=0,U′3-θz=0,則可以導(dǎo)出不考慮剪切的復(fù)合材料軸的運動方程,此處不再寫出。

    方程(13)中的第二、三、五、六個方程,構(gòu)成彎-剪耦合振動方程

    值得注意的是,在方程(14)中除了存在彈性變性產(chǎn)生的耦合,也存在由于剛性旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的耦合,包括與轉(zhuǎn)速一次方Ω相關(guān)的項,以及與轉(zhuǎn)速平方Ω2相關(guān)的項。此外,在方程(13)中的第一和第四兩個方程構(gòu)成拉-扭耦合振動方程,此類耦合問題不在本文中進行討論。

    2 自由振動方程求解

    假定彎曲位移U2(x,t),U3(x,t)和轉(zhuǎn)角θy(x,t),θz(x,t)具有下列形式

    式中U2j(t),U3j(t),Θyj(t)和Θzj(t)表示廣義坐標;αj(x)和ψj(x)表示軸的振型函數(shù)。

    將方程(15)代入(14),采用Galerkin近似求解方法,得

    式中M為質(zhì)量矩陣,C為旋轉(zhuǎn)陀螺效應(yīng)產(chǎn)生的阻尼矩陣,K為由彈性變形剛度與旋轉(zhuǎn)引起的剛度疊加而成剛度矩陣

    其中

    廣義坐標矢量表示為

    運動方程(16)可以進一步化為廣義特征值問題

    式中

    其中,0和I分別為零矩陣和單位矩陣。

    3 數(shù)值結(jié)果與討論

    3.1 模型驗證

    算例1 為了檢驗本文建立的復(fù)合材料軸模型及其近似計算方法的正確性,下面首先針對一個石墨/環(huán)氧復(fù)合材料軸的固有頻率特性,進行了數(shù)值方法的收斂性檢驗。軸的幾何尺寸和材料參數(shù)分別?。?2]:長度L=2.023m,截面半徑r=0.127m,單層厚度h=0.063 5mm,截面鋪層方式為[θ]6;復(fù)合材料的性能參數(shù)為E1=206.8GPa,E2=E3=5.17 GPa,G12=3.1GPa,G23=G13=2.55GPa,ν21=ν31=0.006 25,ν32=0.25,密度ρ=1 528.15kg/m3。引入了標準化因子ω0=138.85rad/s(表示非旋轉(zhuǎn)軸在纖維鋪層角θ=0°的第一階固有頻率),則無量綱的固有頻率和轉(zhuǎn)速分別為ω*=ω×2π/ω0,Ω*=Ω×2π/(60ω0)。其中固有頻率ω和轉(zhuǎn)速Ω的單位分別為Hz和r/min。

    表1表示兩端簡支軸的前六階固有頻率隨振型函數(shù)個數(shù)N的變化情況,結(jié)果表明,本文提出的近似計算方法具有很好的收斂性,例如,為了獲得前三階固有頻率,振型函數(shù)的個數(shù)只需取N=6就可得到較高精度的結(jié)果(注:其中“-”表示大于保留最大模態(tài)個數(shù)N的高階頻率,由于已經(jīng)超出了方程組(16)的階數(shù),所以沒有結(jié)果顯示)。

    表1 模態(tài)個數(shù)對于固有頻率的影響(Ω*=0,θ=30°)Tab.1 Effect of model number Non natural frequencies(Ω*=0andθ=30°)

    表2表示不計剪切變形的懸臂復(fù)合材料軸的固有頻率計算結(jié)果的對比,其中計算參數(shù)和無量綱化方法同文獻[18]。由表2可以看出,本文結(jié)果與文獻[18]結(jié)果符合得很好。

    表2 不計剪切的懸臂復(fù)合材料軸的固有頻率結(jié)果對比Tab.2 Comparison of the natural frequencies of a cantilevercomposite shaft without shear deformation

    圖2表示兩端簡支復(fù)合材料軸的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線,其中考慮了剪切變形的影響。從圖2可以看到,由于旋轉(zhuǎn)的復(fù)合材料軸存在陀螺效應(yīng),所以固有頻率在轉(zhuǎn)速Ω*≠0展示了分叉現(xiàn)象。其次,從圖2還可以看到,針對四種不同的鋪層角,本文結(jié)果與文獻[12]的結(jié)果非常相近。

    圖2 不同鋪層角的復(fù)合材料軸固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線Fig.2 The natural frequency of a simply supported composite shaft versus rotating speed for different ply angles

    3.2 自由振動與穩(wěn)定性分析

    算例2 在下面的數(shù)值計算中,選取復(fù)合材料軸的幾何尺寸為:長度L=1.67m,截面半徑r=0.063 5m,單層厚度h=0.132 1mm,截面鋪層方式為[θ]8,軸的兩端具有簡支邊界條件。彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)的具體表達式見文獻[8]和[9]。復(fù)合材料的性能參數(shù)如表3所示。

    表3 復(fù)合材料性能參數(shù)Tab.3 Mechanical properties of composite material

    圖3表示復(fù)合材料軸的第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明,當(dāng)轉(zhuǎn)速為0時,每個鋪層角只對應(yīng)于單獨的一個固有頻率,這是由于對于圓形截面軸而言,它在豎直(Z軸向)和水平方向(Y軸向)彎曲模態(tài)頻率是相同的。隨著轉(zhuǎn)速的增加,由于旋轉(zhuǎn)陀螺效應(yīng),固有頻率曲線分叉為上下兩支,上支隨固有頻率增加而增加,下支隨固有頻率增加而減少。分別稱為上固有頻率(Upper natural frequency,UNF)和下固有頻率(Lower natural frequency,LNF),它們分別對應(yīng)于慣性坐標系下的正進動頻率和反進動頻率。當(dāng)LNF隨轉(zhuǎn)速的增加而減小至0時,所對應(yīng)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速Ω*c;從圖中還可以看出,無論是對于一階模態(tài)還是二階模態(tài),臨界轉(zhuǎn)速都隨著鋪層角的增加而增加,最大的臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的鋪層角θ為90°。這主要是由于當(dāng)纖維鋪設(shè)角沿軸的軸向鋪層時,軸的彎曲剛度變?yōu)樽畲蟆?/p>

    表4給出不計剪切和計入剪切時的復(fù)合材料軸的第一階臨界轉(zhuǎn)速和第二階臨界轉(zhuǎn)速的計算結(jié)果,由此可以看出,不計剪切的臨界轉(zhuǎn)速高于計及剪切的臨界轉(zhuǎn)速,并且兩者的差別隨著鋪層角的增加而增加;在相同鋪層角下,計及剪切和不計剪切的第二階臨界轉(zhuǎn)速的相對誤差要高于相應(yīng)的第一階臨界轉(zhuǎn)速的相對誤差。例如在鋪層角θ為90°時,這一誤差由2.40%增加到9.43%。因此,在預(yù)測鋪層角較大時的高階臨界轉(zhuǎn)速時,剪切變形的影響尤其就顯得十分重要。

    圖3 不同鋪層角復(fù)合材料軸的第一階固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線Fig.3 The first natural frequency of a composite shaft versus rotating speed for different ply angles

    表4 計及剪切與不計剪切復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速Tab.4 The critical speed of a composite shaft with and without shear deformation

    圖4和5分別表示靜止和旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的前兩階固有頻率隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明,在靜止?fàn)顟B(tài)下,軸的第一階、第二階模態(tài)所對應(yīng)的UNF曲線和LNF曲線是重合的,它們都隨著鋪層角的增加而增加,這與前面的結(jié)論是一致的。另一方面,相對于第一階固有頻率,第二階固有頻率隨鋪層角的增加而增加的趨勢更為明顯;在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的前兩階固有頻率隨鋪層角的變化趨勢和在靜止?fàn)顟B(tài)的變化趨勢是相同的,只不過此的UNF曲線和LNF曲線是分開的。

    圖4 復(fù)合材料軸前兩階固有頻率隨鋪層角變化曲線(Ω=0)Fig.4 The first two natural frequency of a simply supported composite shaft versus ply angle(Ω=0)

    圖6 復(fù)合材料軸的前兩階固有頻率隨長徑比的變化曲線(Ω=2 000r·min-1,θ=90°)Fig.6 The first two natural frequencies of a composite shaft versus ratio of length over radius(Ω=2 000 r·min-1,θ=90°)

    圖6和7分別表示復(fù)合材料軸的前兩階旋轉(zhuǎn)固有頻率隨長徑比和徑厚比的變化曲線。由圖6可以看出,固有頻率隨著長徑比的增加而減?。挥蓤D7可以看出,固有頻率隨著徑厚比的增加而增加。

    圖7 復(fù)合材料軸的前兩階固有頻率隨徑厚比的變化曲線(Ω=2 000r·min-1,θ=90°)Fig.7 The first two natural frequencies of a composite shaft versus ratio of radius over thickness(Ω=2 000r·min-1,θ=90°)

    圖8和9分別表示具有不同鋪層角的復(fù)合材料軸的前兩階臨界轉(zhuǎn)速隨長徑比和徑厚比的變化曲線。由圖8和9可以看出,臨界轉(zhuǎn)速隨著長徑比的增加表現(xiàn)為減小的趨勢,而隨著徑厚比的增加表現(xiàn)為增加的趨勢。

    圖8 復(fù)合材料軸前兩階臨界轉(zhuǎn)速隨長徑比的變化曲線Fig.8 The first two critical speeds of a composite shaft versus ratio of length over radius

    圖9 復(fù)合材料軸兩階臨界轉(zhuǎn)速隨徑厚比的變化曲線Fig.9 The first two critical speeds of a composite shaft versus ratio of radius over thickness

    4 結(jié) 論

    本文基于復(fù)合材料薄壁梁理論建立了旋轉(zhuǎn)軸的動力學(xué)模型。結(jié)構(gòu)的位移場采用VAM模型進行描述,并且在其中引入了橫向剪切變形的影響;采用Hamilton原理導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)軸的控制方程并采用Galerkin法對數(shù)學(xué)模型進行數(shù)值求解,獲得旋轉(zhuǎn)軸耦合振動的固有頻率及其臨界轉(zhuǎn)速的近似分析解。本文模型的正確性通過收斂性分析以及與文獻結(jié)果對比,得到了驗證。采用本文建立的模型與計算方法,研究了旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的自由振動與動力穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果表明:(1)當(dāng)復(fù)合材料軸的鋪層角或者徑厚比增加時,固有頻率隨之增加;當(dāng)復(fù)合材料軸的長徑比增加時,固有頻率隨之減小,在軸的剛性旋轉(zhuǎn)作用下,固有頻率分叉為UNF和LNF曲線,其中UNF隨轉(zhuǎn)速的增加而增加,LNF隨轉(zhuǎn)速的增加而降低;(2)不計剪切變形的臨界轉(zhuǎn)速高于計入剪切變形的臨界轉(zhuǎn)速,并且兩者的差別隨著鋪層角的增加而增加,在相同鋪層角下,計及剪切和不計剪切的低階臨界轉(zhuǎn)速的之間相對誤差要高于相應(yīng)的高階臨界轉(zhuǎn)速之間的相對誤差;(3)復(fù)合材料軸的臨界轉(zhuǎn)速隨著鋪層角或者徑厚比的增加而增加;隨著長徑比的增加而減小。本文提出的模型可以為復(fù)合材料軸的動力學(xué)研究與設(shè)計,提供一種可供選擇的分析理論與方法。

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