概念教學(xué) 回歸本源

史傲麗

數(shù)學(xué)中概念是思維的基本形式，具有確定研究對(duì)象和任務(wù)的作用。概念課的教學(xué)應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、提煉過程。在概念的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展的過程中，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)理性，感受數(shù)學(xué)文化與背景。概念課的教學(xué)應(yīng)該是“過程教學(xué)”，而不是告知式的“結(jié)果教學(xué)”。概念要避免形式單調(diào)的引入，避免學(xué)生根據(jù)老師的講解進(jìn)行模仿記憶和再訓(xùn)練的模式。在教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)方差概念及公式的教學(xué)常常會(huì)陷入困境，仔細(xì)研究并實(shí)踐，和各位交流一下。

在中學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)中有兩類描述數(shù)據(jù)特征的概念，一類是描述數(shù)據(jù)集中程度的，如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；另一類是描述數(shù)據(jù)離散程度的，如極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。

一、引入方差

蘇科版教材是在學(xué)習(xí)了第一類描述數(shù)據(jù)集中程度的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念后，根據(jù)情況需要考慮數(shù)據(jù)的離散情況。如A組數(shù)據(jù)：9，10，11，9，12，9；B組數(shù)據(jù)：7，10，8，10，12，13。這兩組數(shù)據(jù)的離散程度大小怎樣比較？學(xué)生可以根據(jù)數(shù)據(jù)繪制圖直觀感知數(shù)據(jù)B比較散，也可以發(fā)現(xiàn)散是相對(duì)于前面學(xué)習(xí)過的描述數(shù)據(jù)集中程度的平均數(shù)。因?yàn)槠骄鶖?shù)是數(shù)據(jù)最集中的反映，“散”與“不散”是相對(duì)這個(gè)集中作比較的；若以0分作比較對(duì)象，兩組數(shù)據(jù)對(duì)0來說都較“散”了，則很難作判斷。

由于s2A

在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生感受到：為什么要引入方差概念，也就是是數(shù)學(xué)知識(shí)繼續(xù)發(fā)展的必要性；怎樣引入方差，涉及具體解決方法；在引入方差過程中為什么要與平均數(shù)作差，為什么對(duì)差作平方，又為什么對(duì)平方后的和要除以n等等，弄清了這些問題，概念的來龍去脈就清晰了，同時(shí)不斷讓學(xué)生面臨問題，尋找解決問題的方法，不斷完善方法，解決問題。

二、方差概念的理解

1.方差單位的理解

在教學(xué)過程中，學(xué)生很難理解方差單位是原單位的平方。如原單位是kg，方差單位為kg2。其實(shí)方差單位是沒有意義的，我們計(jì)算方差是想用數(shù)量來反映數(shù)據(jù)的離散程度，重點(diǎn)不是單位，而是離散程度大小，因此在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)說明。但可以引導(dǎo)學(xué)生去解決為了使得描述數(shù)據(jù)的離散程度方差s2更有實(shí)際意義，可以引入標(biāo)準(zhǔn)差s的概念，即。標(biāo)準(zhǔn)差不但能從量上反映這批數(shù)據(jù)的離散度，而且能使單位與原單位一致，同時(shí)也避免了由于方差中的平方后可能夸大或縮小了數(shù)據(jù)離散的程度。學(xué)生可以充分感受到標(biāo)準(zhǔn)差引入的合理性和必要性。

2.方差與極差的區(qū)別

極差是一批數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，簡(jiǎn)潔明了地描述了這批數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍。說明了極差也能反映一批數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)大小。但是很粗糙。因?yàn)闃O差僅反映這批數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值的離散度，并不能準(zhǔn)確反映這批數(shù)據(jù)離散的整體情況。而“方差”充分利用每個(gè)數(shù)據(jù)的作用，削弱極端數(shù)據(jù)的作用，整體反映這批數(shù)據(jù)的離散程度。

3.比較離散程度與平均數(shù)的關(guān)系

在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)教材中的習(xí)題的兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是相同的。在平均數(shù)不等的時(shí)候是否可以比較數(shù)據(jù)的離散程度？這是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)疑問。其實(shí)每批數(shù)據(jù)的離散程度都是相對(duì)這批數(shù)據(jù)的平均數(shù)的，所以平均數(shù)不一定要相同。在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)兩批數(shù)據(jù)的平均數(shù)差異較大時(shí)，先考慮平均數(shù)的作用。當(dāng)兩批數(shù)據(jù)平均數(shù)相等或很接近時(shí)，用方差來刻畫其離散度，根據(jù)離散度來進(jìn)行選擇。

“方差”是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念，注重概念的本源，每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有其豐富的知識(shí)背景，舍棄這些背景直接拋給學(xué)生會(huì)讓學(xué)生感到迷茫。數(shù)學(xué)概念是隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展而不斷發(fā)展的，“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”，這需要我們教師理解數(shù)學(xué)概念，并能創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生經(jīng)歷一遍發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的過程，這樣學(xué)生在獲得概念的同時(shí)也培養(yǎng)了創(chuàng)新精神。