基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演方法研究

王保麗，印興耀，丁龍翔，2，張廣智，孫瑞瑩

1 中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，青島 266580

2 廣州海洋地質(zhì)調(diào)查局，廣州 510075

1 引言

地震反演的實(shí)質(zhì)是將地震觀測(cè)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為儲(chǔ)層參數(shù)，用反演的儲(chǔ)層參數(shù)信息進(jìn)行地下目的儲(chǔ)層的預(yù)測(cè)，從而為油田的勘探開(kāi)發(fā)提供技術(shù)支持（Bosch，2010；Doyen，2007）.其中，確定性反演和隨機(jī)反演是地震反演的兩大類(lèi)別（楊曉春等，2001；Sams和Saussus，2010）.與確定性反演方法相比，以地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)為基礎(chǔ)、以測(cè)井資料為條件數(shù)據(jù)的隨機(jī)反演方法能夠模擬地震頻帶以外的信息，具有比常規(guī)確定性反演更高的分辨率（Francis，2005；Moyen和Doyen，2009；Helgesen，2000；Sancevero，2005；Sams和Saussus，2008），因此，受到了國(guó)內(nèi)外地球物理學(xué)家的廣泛關(guān)注與研究.

在國(guó)外，Bortoli等（1992）首先提出了基于序貫高斯模擬和單道匹配最優(yōu)原則的隨機(jī)反演方法，該方法能夠在橫、縱向變差以及井位置處測(cè)井資料的約束下，有效地融入地震頻帶以外的測(cè)井信息，提高反演解的分辨率.Haas和Dubrule（1994）發(fā)展了單道模擬的隨機(jī)反演方法，捕獲了超出地震帶寬的頻率信息.單道模擬方法雖然可以獲得高分辨率的反演結(jié)果，但是計(jì)算效率低，限制了其在實(shí)際資料中的應(yīng)用.Debeye（1996）、Sams（1999）和 Contreras（2005）等通過(guò)引入模擬退火和馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）技術(shù)，用點(diǎn)擾動(dòng)的方式取代了單道反復(fù)模擬，擴(kuò)展了隨機(jī)反演算法.Srivastava和Sen（2010）提出了基于分形初始模型的隨機(jī)反演方法，該方法能夠反演出縱橫波阻抗等多個(gè)參數(shù)數(shù)據(jù)體.以上方法仍然沒(méi)有解決計(jì)算耗時(shí)的問(wèn)題.在國(guó)內(nèi)，近年來(lái)，地球物理學(xué)家也在隨機(jī)反演方面做了很多研究.黃捍東等（2009）研究了以測(cè)井、地質(zhì)信息作為約束條件的非線性隨機(jī)反演方法.張世鑫等（2010）針對(duì)目的儲(chǔ)層薄互層發(fā)育的特點(diǎn)，運(yùn)用隨機(jī)反演方法成功實(shí)現(xiàn)了儲(chǔ)層的精細(xì)預(yù)測(cè).Huang等（2012）研究指出隨機(jī)反演在薄儲(chǔ)層地震反演中具有更大的優(yōu)勢(shì)，并對(duì)隨機(jī)反演中關(guān)鍵參數(shù)的優(yōu)選及其效果進(jìn)行了分析.楊鍇等（2012）將測(cè)井、井間地震與地面地震數(shù)據(jù)同時(shí)用于介質(zhì)參數(shù)的隨機(jī)反演，大大降低了模擬出的介質(zhì)參數(shù)的不確定性，提高了反演精度.

盡管高分辨率的隨機(jī)反演工作在實(shí)際資料應(yīng)用中已取得了一定的進(jìn)展，但仍普遍存在計(jì)算耗時(shí)的問(wèn)題.鑒于此，本文針對(duì)常規(guī)隨機(jī)反演計(jì)算效率低，占用內(nèi)存大的問(wèn)題，用傅里葉滑動(dòng)平均（Fast Fourier Transform－Moving Average，F(xiàn)FT－MA）模擬方法進(jìn)行頻率域的快速模擬（Pardo－Igúzquiza，1993；Ravalec和Noetinger，2000；Oliver，1995），并利用逐步變形算法（Gradual Deformation Method，GDM）（Hu，2000；Hu和Ravalec，2004；Ravalec和 Noetinger，2002）確保反演解的快速收斂，構(gòu)建了基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演方法.模型試算與實(shí)例分析表明，與常規(guī)隨機(jī)反演相比，該方法能夠在保證高分辨反演結(jié)果的情況下，確保反演解的快速收斂，大大提高隨機(jī)反演的計(jì)算效率.

2 方法原理

2.1 FFT－MA非條件譜模擬方法

FFT－MA方法可進(jìn)行快速的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)模擬，計(jì)算效率高，且不受網(wǎng)格大小限制，是一種非條件模擬方法.其基本公式為

式中，y表示模擬值，m表示模擬的均值，g表示協(xié)方差矩陣C的共軛根，是g的共軛，＊為卷積符號(hào)，z表示滿(mǎn)足模擬網(wǎng)格大小的隨機(jī)高斯白噪.

該方法實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵之一是協(xié)方差矩陣C的構(gòu)建，其中一維協(xié)方差矩陣C（h）和變差函數(shù)之間滿(mǎn)足C（h）＝σ2－γ（h），σ2為模擬的方差，γ（h）為變差函數(shù)，h為空間距離.

2.2 條件化處理

由于FFT－MA譜模擬是一種非條件模擬，不能滿(mǎn)足硬數(shù)據(jù)（已知井?dāng)?shù)據(jù)）.為解決該問(wèn)題，本文采用克里金條件化方法（Francis，2006a，2006b）對(duì)其進(jìn)行了條件化處理：

圖1是FFT－MA譜模擬條件化處理的示意圖，首先求取硬數(shù)據(jù)點(diǎn)處數(shù)值（藍(lán)色圓圈）的克里金得到待條件化點(diǎn)處的克里金值ydk（x）（紅色圓圈），然后再求取硬數(shù)據(jù)點(diǎn)處的非條件模擬值（橙色三角）的克里金得到待條件化點(diǎn)處的克里金值yusk（x）（綠色三角），yusk（x）與ydk（x）的差值再加上待條件化點(diǎn)處的非條件模擬值yus（x），就可以得到待條件化點(diǎn)處的條件化模擬值ycs（x）.

2.3 GDM算法尋優(yōu)

從式（1）中可以看出，F(xiàn)FT－MA譜模擬的關(guān)鍵問(wèn)題是高斯白噪z的更新，傳統(tǒng)的隨機(jī)反演通常采用反復(fù)模擬的方式來(lái)尋找最優(yōu)結(jié)果，不但計(jì)算效率

其中，zpropose（t）為更新后的白噪，zcurrent為當(dāng)前待更新的白噪，znew為加入的新的白噪.當(dāng)t＝0時(shí)，zpropose＝zcurrent，當(dāng)t從0變化為π／2時(shí)，zpropose＝znew，即逐步替換為新的白噪，設(shè)置合適的變形參數(shù)t，便能夠搜索zcurrent和znew之間的參數(shù)空間，每次加入一個(gè)znew便構(gòu)成一個(gè)新的搜索鏈，通過(guò)多個(gè)鏈的搜索最終可以找到目標(biāo)函數(shù)的最小值.

需要指出的是，高斯白噪z的存在使FFT－MA算法具有隨機(jī)性，但由于協(xié)方差結(jié)構(gòu)C不改變，所以這種擾動(dòng)不會(huì)影響數(shù)據(jù)的空間變差結(jié)構(gòu).低，而且不能保證每次的模擬結(jié)果都比上一次更接近實(shí)際地震記錄.因此，需要尋找一種合適的優(yōu)化算法來(lái)改善反演解的收斂問(wèn)題.

本文在FFT－MA算法擾動(dòng)模擬的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入GDM不斷更新模擬結(jié)果，使每次的模擬結(jié)果都比上一次結(jié)果更逼近實(shí)際地震數(shù)據(jù)，從而加快反演的求解速度.

GDM算法的核心思想是將一個(gè)高斯白噪的局部或整體加入另一個(gè)高斯白噪的對(duì)應(yīng)部分，其結(jié)果仍是一個(gè)高斯白噪.具體可以表示為：

3 算法測(cè)試與分析

3.1 FFT－MA譜模擬與序貫高斯模擬的對(duì)比

為驗(yàn)證FFT－MA譜模擬的計(jì)算效率，本文基于相同的硬數(shù)據(jù)和變差，分別進(jìn)行了條件化FFT－MA譜模擬和序貫高斯模擬，其結(jié)果如圖2所示.條件化FFT－MA譜模擬比序貫高斯模擬的分辨率高.圖3是二者的計(jì)算效率對(duì)比，可以看出，F(xiàn)FT－MA譜模擬的時(shí)間從154.84s降至11.20s，速度提高了14倍.因此，與序貫高斯模擬相比，頻率域的FFT－MA譜模擬方法不但分辨率高，而且能夠有效解決計(jì)算耗時(shí)、耗內(nèi)存的問(wèn)題.

3.2 FFT－MA擾動(dòng)模擬特性分析

由方程（1）可知，F(xiàn)FT－MA譜模擬的最終結(jié)果受協(xié)方差C和高斯白噪z的影響，其中模擬的隨機(jī)性來(lái)自于加入的隨機(jī)高斯白噪z.圖4是一個(gè)50點(diǎn)的模擬，采用球狀變差模型，變程值為10，在更新第25點(diǎn)的z值時(shí)，模擬結(jié)果在相關(guān)長(zhǎng)度10以?xún)?nèi)均發(fā)生了擾動(dòng).圖5和圖6分別是網(wǎng)格大小均為80×60時(shí)的點(diǎn)和線擾動(dòng)的情況，圖5是對(duì)位置（30，5）的點(diǎn)擾動(dòng)，圖6是對(duì)第11列的線擾動(dòng)，從圖5和圖6最右邊的兩者殘差圖可以看出，在相關(guān)半徑內(nèi)，模擬結(jié)果均發(fā)生了擾動(dòng).

模擬分析結(jié)果表明，局部（一個(gè)點(diǎn)或者一條線）高斯白噪z值的擾動(dòng)，會(huì)引起FFT－MA譜模擬結(jié)果的局部擾動(dòng).正由于FFT－MA譜模擬的這種特性，在對(duì)實(shí)際地震數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬時(shí)，通過(guò)對(duì)z值在某道位置的擾動(dòng)，可以產(chǎn)生相應(yīng)道位置處的模擬波阻抗的擾動(dòng)，因此，可以對(duì)實(shí)際地震數(shù)據(jù)按道進(jìn)行模擬，實(shí)現(xiàn)模擬模型的連續(xù)修改，最終達(dá)到與實(shí)際地震記錄的匹配.

圖1 條件化處理示意圖Fig.1 Sketch map of conditional process

圖2 條件化FFT－MA譜模擬與序貫高斯模擬的結(jié)果對(duì)比圖Fig.2 Simulation results comparison of conditional FFT－MA spectrum simulation with sequential Gauss simulation

圖3 條件化FFT－MA譜模擬與序貫高斯模擬的計(jì)算效率對(duì)比圖Fig.3 Computational efficiency comparison of conditional FFTMA spectrum simulation with sequential Gauss simulation

圖4 點(diǎn)（25）擾動(dòng)前后模擬結(jié)果對(duì)比圖Fig.4 Comparison of simulation results before and after point（25）disturbance

圖5 點(diǎn)（30，5）擾動(dòng)前后模擬結(jié)果對(duì)比圖Fig.5 Comparison of simulation results before and after point（30，5）disturbance

圖6 線（第11列）擾動(dòng)前后模擬結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of simulation results before and after line（Line 11）disturbance

4 基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演

根據(jù)以上所述的方法原理，本文建立了基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演方法，其基本步驟為：在進(jìn)行地質(zhì)統(tǒng)計(jì)模擬時(shí)，首先通過(guò)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算測(cè)井曲線的變差函數(shù)和協(xié)方差，以確定測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)特征，然后利用方程（1）和（2）重構(gòu)出滿(mǎn)足指定空間結(jié)構(gòu)的條件化的譜模擬結(jié)果，最后采用逐步變形算法不斷更新模擬結(jié)果，確保模擬結(jié)果與實(shí)際地震數(shù)據(jù)的匹配.圖7表示其具體反演流程.

4.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

為使隨機(jī)模擬的地震波阻抗與實(shí)際地震數(shù)據(jù)達(dá)到最佳匹配，本文將目標(biāo)函數(shù)定義為：

其中，下標(biāo)i為各個(gè)地震、模型參數(shù)的采樣點(diǎn)，w為加權(quán)系數(shù)，g為正演算子，msim為模擬波阻抗，dobs為實(shí)際地震記錄，Nobs為采樣點(diǎn)數(shù)，m0是先驗(yàn)估計(jì)的阻抗，v是加權(quán)系數(shù)，α是正則化系數(shù).

圖7 基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演流程圖Fig.7 Flow chart of the Fast Stochastic Inversion based on FFT－MA spectrum simulation

一般地震波阻抗反演的目標(biāo)函數(shù)是N維的，本文通過(guò)引入逐步變形算法，將反問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)最佳參數(shù)t的搜索，從而變成了一維問(wèn)題，簡(jiǎn)化了問(wèn)題的求解，提高了運(yùn)算效率.因此，即使采用迭代的思想也可達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的快速求解.

4.2 目標(biāo)函數(shù)的求解

假設(shè)一次新的znew的產(chǎn)生即一個(gè)新鏈，每個(gè)鏈上有m個(gè)t值，如果在狀態(tài)tn下得到的目標(biāo)函數(shù)J的數(shù)值相對(duì)狀態(tài)tn－1下降了，即J（tn）＜J（tn－1），則跳出最優(yōu)t的搜索，然后將下一個(gè)鏈的zcurrent更新為當(dāng)前狀態(tài)tn下所得的zpropose（公式3），如果目標(biāo)函數(shù)不降低，則保持該鏈的zcurrent不變，帶入下一個(gè)鏈的計(jì)算，如此反復(fù)迭代直至目標(biāo)函數(shù)滿(mǎn)足收斂條件.

具體步驟可描述為：

①：生成新的znew，與上一步產(chǎn)生的zcurrent組合產(chǎn)生一條新的鏈；

②：搜索鏈上的t值，如果存在tn，停止搜索t，將下個(gè)鏈的zcurrent更新為該鏈上tn時(shí)的zpropose，轉(zhuǎn)到①；

③：搜索該鏈上的t值，如果目標(biāo)函數(shù)一直不下降，zcurrent保持不變，轉(zhuǎn)到①；

④：重復(fù)①—③直到目標(biāo)函數(shù)滿(mǎn)足收斂條件.

5 模型試算及結(jié)果分析

5.1 模型試算

為驗(yàn)證算法的有效性，本文首先采用8000個(gè)鏈（即8000次迭代）對(duì)單道數(shù)據(jù)進(jìn)行了數(shù)值試算，t的取值范圍為0到π／2，間隔為π／20，所得單道反演結(jié)果如圖8所示，從圖中可看出，模型波阻抗與反演波阻抗吻合比較好.圖9是其合成地震記錄和實(shí)際地震記錄的對(duì)比圖，可以看出，模型波阻抗與反演波阻抗吻合非常好.圖10是歸一化目標(biāo)函數(shù)的單道收斂效果，可以看出，達(dá)到迭代次數(shù)時(shí)，歸一化后的目標(biāo)函數(shù)值為0.0379，即下降了96.3%，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，迭代次數(shù)為1000多次時(shí)即能夠使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到很好的收斂，從而使運(yùn)算時(shí)間大大縮短.

本文還對(duì)圖11所示的二維模型進(jìn)行了測(cè)試分析，該模型在第250個(gè)采樣點(diǎn)位置處有兩個(gè)薄層.具體反演時(shí)，從該模型中抽取5道作為偽井，將模型波阻抗的合成地震記錄作為實(shí)際地震記錄.圖12為反演結(jié)果，其中圖12a為稀疏脈沖反演方法所得剖面，圖12b為本文方法所得剖面.與確定性稀疏脈沖方法相比，本文方法能夠得到與初始波阻抗（圖11）更加相似的結(jié)果，薄層的可辨識(shí)性得到提高，尤其在黑色橢圓標(biāo)出區(qū)域，基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演可以明顯識(shí)別出兩個(gè)薄層，而稀疏脈沖反演只能識(shí)別出一個(gè)層.因此，利用本文提出的基于FFTMA譜模擬的快速隨機(jī)反演方法，能夠有效融合測(cè)井資料的高頻信息，提高地震反演分辨率，識(shí)別薄層，為復(fù)雜薄互儲(chǔ)層的識(shí)別提供技術(shù)支持.從模型合成地震記錄與由反演結(jié)果所得合成記錄的相關(guān)系數(shù)對(duì)比圖（圖13）可以看出，大部分相關(guān)系數(shù)都大于0.95，體現(xiàn)出二者良好的相關(guān)性.

5.2 實(shí)例分析

實(shí)際資料來(lái)自國(guó)內(nèi)某老油田，該工區(qū)目的層段為河流相沉積，河道發(fā)育，儲(chǔ)集層砂巖縱橫向變化大、連通性差、油水關(guān)系復(fù)雜.工區(qū)目的層段砂體發(fā)育，縱向上砂巖與泥巖呈互層分布.

本次試算使用的地震資料共有157道，如圖14所示，縱向上采樣率2ms，從1.1s到1.3s，提取的子波主頻為30Hz，采用了三口井，分別位于10、88、142地震道位置處.

圖15顯示了實(shí)際資料的反演結(jié)果，其中圖15a為稀疏脈沖反演方法所得結(jié)果，圖15b為本文方法所得結(jié)果，通過(guò)對(duì)比可以看出，雖然圖15a所示反演結(jié)果基本滿(mǎn)足反演要求，但縱向分辨率低，對(duì)薄互儲(chǔ)層展示效果不好，不能真實(shí)反映地下地質(zhì)情況，因此難以滿(mǎn)足油田生產(chǎn)需求.圖15b所示反演結(jié)果的縱向分辨率明顯提高，砂泥巖互層得到很好的區(qū)分，砂體橫向連續(xù)性也比較合理.從圖中黑色橢圓標(biāo)出的位置可以看出，在1.25s目的層附近的兩個(gè)薄層得到了很好的區(qū)分，1.2s附近的薄單砂體也能夠清晰地分辨，驗(yàn)證了本文提出的基于譜模擬的快速隨機(jī)反演方法在薄儲(chǔ)層識(shí)別中的優(yōu)勢(shì)以及本文研究方法的有效性.

圖8 單道波阻抗反演結(jié)果與模型對(duì)比圖Fig.8 Comparison of impedance inversion result with model data

圖9 反演結(jié)果合成記錄與實(shí)際地震記錄的對(duì)比圖Fig.9 Comparison of Synthetic seismic data of inverted impedance and model data

圖10 歸一化目標(biāo)函數(shù)的收斂效果圖Fig.10 Convergence effect of normalized objective function

6 結(jié)論

圖11 波阻抗模型Fig.11 Impedance model

地震隨機(jī)反演是一種可有效提高反演分辨率的方法，但存在計(jì)算效率低的問(wèn)題，本文構(gòu)建的基于FFT－MA譜模擬快速隨機(jī)反演方法，不僅能夠有效融合測(cè)井資料的高頻信息，獲得高分辨率反演結(jié)果，而且能夠借助FFT－MA在頻率域的快速模擬和GDM算法的快速優(yōu)化更新，一方面加快隨機(jī)反演的速度，有效提高反演的運(yùn)算效率，另一方面使反演解得到快速收斂.模型試算和實(shí)例分析表明，快速隨機(jī)反演方法不但可以提高計(jì)算效率，而且能夠得到與模型吻合的反演結(jié)果，比稀疏脈沖反演方法更有效的識(shí)別出薄層.另外，由于新方法不受序貫因素的影響，因此，可以在今后的研究中對(duì)該方法進(jìn)行并行運(yùn)算，將儲(chǔ)層分為多個(gè)部分同時(shí)進(jìn)行反演，進(jìn)一步提高計(jì)算效率.

圖12 波阻抗反演結(jié)果 （a）稀疏脈沖反演，（b）基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演方法Fig.12 Impedance inversion results of （a）Sparse Impulse Inversion and （b）Fast Stochastic Inversion based on FFT－MA spectrum simulation

圖13 模型合成記錄與反演合成記錄的相關(guān)系數(shù)對(duì)比圖Fig.13 Correlation coefficient comparison of model synthetic with inversion synthetic

圖14 實(shí)際地震資料Fig.14 Real Seismic data

圖15 波阻抗反演結(jié)果 （a）稀疏脈沖反演；（b）基于FFT－MA譜模擬的快速隨機(jī)反演方法Fig.15 Impedance inversion results of（a）Sparse Impulse Inversion and（b）Fast Stochastic Inversion based on FFT－MA spectrum simulation

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