數(shù)值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用及優(yōu)勢

文林

摘要：量子力學(xué)一直以來都是高等物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。為了避免煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，提高學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)將數(shù)值計算作為一個虛擬實(shí)驗平臺引入到量子力學(xué)的教學(xué)中。

關(guān)鍵詞：量子力學(xué)；數(shù)值計算；諧振子

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）32-0278-02

一、引言

量子力學(xué)是研究微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，與相對論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)[1]。對于高等院校物理專業(yè)的學(xué)生，量子力學(xué)在基礎(chǔ)課程中占有核心地位。通過學(xué)習(xí)量子力學(xué)，可進(jìn)一步將學(xué)生對客觀物質(zhì)世界的感性認(rèn)識提升到理性認(rèn)識。因此，對于高校量子力學(xué)教師而言，形象、生動的課堂教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能完善和拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識，從而提高學(xué)生的思維水平和培養(yǎng)他們的科研能力。

對于大部分初學(xué)者，除了難以理解量子力學(xué)中一些與常理相悖的知識外，煩瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)使很多同學(xué)對量子力學(xué)望而生畏。如果高校教師繼續(xù)沿用傳統(tǒng)的解析推演、口述筆寫的教學(xué)方式，將加大學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度。此外，量子力學(xué)的授課內(nèi)容大部分屬于理論知識，受條件的限制，許多高校無法為學(xué)生開設(shè)實(shí)驗課程，這使得學(xué)生對抽象的量子力學(xué)現(xiàn)象缺乏客觀認(rèn)識。隨著計算機(jī)的不斷發(fā)展，很多教師將一些數(shù)值計算引入到了量子力學(xué)教學(xué)中，不僅有效地規(guī)避了煩瑣的數(shù)學(xué)解析推演，而且也能作為量子力學(xué)授課的理想實(shí)驗平臺，為學(xué)生形象地展示量子力學(xué)中的一些抽象且難以理解的量子現(xiàn)象和概念[2，3]。因此，為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)量子力學(xué)的難度，提高學(xué)生對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)鼓勵高校教師將計算機(jī)及數(shù)值計算搬進(jìn)量子力學(xué)的教學(xué)課堂。本文將通過具體的一些量子力學(xué)實(shí)例來說明數(shù)值計算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程中的優(yōu)勢。

二、數(shù)值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例

我們將以一維勢場中單個粒子的定態(tài)及含時演化為例來說明數(shù)值計算在量子力學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。為了簡單，我們以Matlab軟件作為數(shù)值計算的平臺。

例1：一維定態(tài)薛定諤方程的數(shù)值計算

在量子力學(xué)中，描述單個粒子在一維勢場V（x）中運(yùn)動的定態(tài)薛定諤方程如下：

- +Vxψx=Eψx （1）

這里我們假設(shè)m=？攸=1。原則上，通過從定態(tài)薛定諤方程中求解出波函數(shù)ψ（x），我們可以知道該粒子在勢場V（x）中運(yùn)動的所有信息。然而，方程（1）是否存在解析解，在很大程度上依賴于勢場V（x）的具體形式。對于較為簡單的勢場，例如大家熟知的無限深勢阱及諧振子勢阱，很容易解析求解方程（1）。相反，如果勢場V（x）的形式比較復(fù)雜，如周期勢或雙勢阱，則必須借助于數(shù)值計算。因此，當(dāng)學(xué)生學(xué)會利用數(shù)值計算求解無限深勢阱或諧振子勢阱中的定態(tài)薛定諤方程時，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復(fù)雜的勢場，從而避免了煩瑣的數(shù)學(xué)問題。

以下是基于Maltab軟件并利用虛時演化方法所編寫的計算定態(tài)薛定諤方程的程序：

clearall

N=100；x=linspace（-6，6，N+1）；dx=x（2）-x（1）；dt=0.001；dxdt=dt/dx^2；

V=0.5*x.^2；%諧振子勢函數(shù)

temp=1+dxdt+dt*V；

psi=rand（1，N+1）；%初始波函數(shù)

psi=psi/sqrt（sum（abs（psi）.^2）*dx）；%歸一化波函數(shù)

psi1=psi；

for k=1：10000000

%---------迭代法求解三對角方程---------

psi2=zeros（1，N+1）；

for m=1：100000000

for j=2：N

psi2（j）=（psi（j）+0.5*dxdt*（psi1（j+1）+psi1（j-1）））/temp（j）；

end

emax=max（abs（psi2-psi1））；psi1=psi2；

ifemax<1e-8

break

end

end

psi1=psi1/sqrt（sum（abs（psi1）.^2*dx））；emax=max（abs（psi-psi1））；psi=psi1；

ifemax<1e-6 %波函數(shù)收斂條件

break

end

end

作為例子，我們利用上述程序分別計算出諧振子和雙勢阱中的基態(tài)解。程圖1（a）中展示了諧振子的基態(tài)解，從中可以看出，數(shù)值計算的結(jié)果和精確解一致。對于V （x）= x +ae 的雙勢阱（這里a為勢壘高度，b為勢壘寬度），由于波函數(shù)滿足相同的邊界條件ψ（x→±∞）=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V （x）即可，其基態(tài)波函數(shù)展示在圖1（b）中。從圖1（b）中可以看出，隨著勢壘高度的增加，粒子穿過勢壘的幾率越來越低。由此可見，利用數(shù)值計算能形象地描述粒子在雙勢阱中的勢壘貫穿效應(yīng)，這降低了學(xué)生對該現(xiàn)象的理解難度，同時提高了教師的授課效率。

例2：一維含時薛定諤方程的數(shù)值計算

在量子力學(xué)中，描述單個粒子在一維勢場V（x）中運(yùn)動的含時薛定諤方程如下：

i =- +V（x）ψ（x，t） （2）

該方程為二階偏微分方程，對于一般形式的外勢V（x）很難嚴(yán)格求解該方程。因此，我們借助時間劈裂傅立葉譜方法進(jìn)行數(shù)值求解，其Matlab程序代碼如下：

clearall

N=200；L=20；dx=L/N；x=（-N/2：N/2-1）*dx；

K=2*pi/L；k=fftshift（-N/2：N/2-1）*K；

V=0.5*3*x.^2；

psi=exp（-（x-2）.^2）；psi=psi/sqrt（sum（abs（psi）.^2）*dx）；%歸一化初始波函數(shù)

t=linspace（0，10，1001）；dt=t（2）-t（1）；F=exp（-i*0.5*dt*k.^2/2）；

for j=1：length（t）；

%---------時間劈裂譜方法求解---------

psi=ifft（F.*fft（psi））；

psi=exp（-i*V*dt）.*psi；

psi=ifft（F.*fft（psi））；

U（j，：）=psi；

end

作為例子，我們分別選取了諧振子勢阱的基態(tài)波函數(shù)和非基態(tài)波函數(shù)作為時間演化的初始值。從圖2中可以看到，當(dāng)初始值為基態(tài)波函數(shù)時，波包的構(gòu)型并不會隨著時間的演化而發(fā)生形變，這說明粒子處于動力學(xué)穩(wěn)定的狀態(tài)。相反，當(dāng)我們將初始波函數(shù)的波包中心稍作挪動，則隨著時間的演化，波包將在勢阱中做周期性振蕩。我們可以讓學(xué)生利用數(shù)值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。此外，如果我們將初始波函數(shù)改為諧振子的激發(fā)態(tài)，并在初始時刻加上一個較小的擾動項，則可利用時間演化程序證明激發(fā)態(tài)在外界的一定擾動下而變得動力學(xué)不穩(wěn)定。因此，數(shù)值程序為我們提供了驗證理論結(jié)果的理想實(shí)驗平臺，有利于學(xué)生對抽象物理概念的理解。

三、結(jié)語

基于Matlab軟件，我們以量子力學(xué)中的定態(tài)和含時薛定諤方程為例來說明數(shù)值計算應(yīng)用于量子力學(xué)教學(xué)過程中的優(yōu)勢。數(shù)值計算不僅有效避免了煩瑣的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，而且也可當(dāng)作理想的實(shí)驗平臺來形象地展示量子力學(xué)中一些抽象的物理現(xiàn)象。高校教師借助于數(shù)值計算能拓展學(xué)生的物理專業(yè)知識，提高他們對量子力學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們利用數(shù)值計算做一些簡單的科學(xué)研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)卷I[M].第五版.北京：科學(xué)出版社，2014.

[2]張杰.吸收介質(zhì)的Mie散射光學(xué)特性研究[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2003，9（4）：53.

[3]張小偉，趙華.Matlab在量子力學(xué)教學(xué)中的簡單應(yīng)用[J].科技信息，2013，（24）.