正規(guī)矩陣特征值擾動的新估計

燕巖軍，張秀萍

( 山西機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 長治046011)

設(shè)A，B是n×n階矩陣，B=A+E是矩陣A的擾動矩陣，其特征值分別為{λ1，λ2，…，λn}和{μ1，μ2，…，μn}．在這里用符號‖·‖2表示矩陣的譜范數(shù)或向量的Euclidean 范數(shù)，‖·‖F(xiàn)表示矩陣的Frobenius 范數(shù)，即F－范數(shù)，〈n〉表示1，2，…，n的一個排列．C［α|β］表示從C中任取α 行β 列得到的子矩陣，α，β?〈n〉．為書寫簡便，在這里用C［α］表示C［α|α］．CD，CL，CU分別表示矩陣C的對角矩陣，嚴(yán)格上三角矩陣和嚴(yán)格下三角矩陣，顯然有C=CD+CL+CU．C(i)表示矩陣C第i行．

若A，B均為正規(guī)矩陣，存在〈n〉的一個排列，參考文獻(xiàn)［1－6］中得出如下結(jié)論:

進(jìn)一步，當(dāng)A為正規(guī)矩陣，B是任意矩陣時，參考文獻(xiàn)［7，8］給出下列結(jié)果:

本文的主要目的是改進(jìn)這些結(jié)論．首先通過證明給出本文主要定理1，最后說明本文結(jié)論優(yōu)于以上結(jié)論．

1 主要結(jié)果

引理1［8］設(shè)A為n×n階正規(guī)矩陣，α 是〈n〉的一個子集，則:‖A［α'|α］‖F(xiàn)=‖A［α|α'］‖F(xiàn)．這里α'=〈n〉α．

引理2 設(shè)A為n×n階正規(guī)矩陣，則?i∈〈n〉，‖(AU)(i)‖F(xiàn)≤‖AL‖F(xiàn)，‖(AL)(i)‖F(xiàn)≤‖AU‖F(xiàn)．

證明 設(shè)i∈〈n〉，α={1，2，…，i}，則

同樣的方法即可得到第二個不等式‖(AL)(i)‖F(xiàn)≤‖AU‖F(xiàn)成立．證畢

設(shè)A為n×n階矩陣，為證明本文主要結(jié)論，這里假設(shè)存在一個酉矩陣U，使得:

其中:1≤s≤n，Ai是ni×ni階上三角矩陣，i=1，2，…，s．特別情況下，顯然當(dāng)s=n時，A是正規(guī)矩陣．

定理1 設(shè)A為n×n階正規(guī)矩陣，B=A+E有式(3)，則存在〈n〉的一個排列τ，使得:

證明 不失一般性，可以假設(shè):

其中:Δ=diag(Δ1，Δ2，…，Δs)，Δi是矩陣Bi的嚴(yán)格上三角部分，i=1，2，…，s，Λ 是矩陣B的對角部分．

設(shè)A=(Aij)s×s，E=(Eij)s×s同樣有式(3)且作分塊處理，顯然有Λ－A=E－Δ．所以得出:

這表明:

及:

因此有:

聯(lián)立式(7)，可以得出:

這里t=n1+n2+…+np+k．

根據(jù)式(6)，(9)結(jié)果，得到:

因為Λ－A=E－Δ，所以‖Λ－A‖F(xiàn)=‖E－Δ‖F(xiàn)．

由于Λ 和A均是正規(guī)矩陣，這樣根據(jù)式(1)及式(10)可知，必存在〈n〉的一個排列τ，使得:

2 結(jié)論

本文得到的定理1 顯然改進(jìn)了以往結(jié)論，這是因為擾動矩陣B也是正規(guī)矩陣的話，這時必將存在酉矩陣U，使得U*BU為對角矩陣，這種情況下，s=n，此時本文結(jié)論即為式(1)結(jié)論．另一方面式(2)是本文結(jié)論s=1 的特殊情況，因為任何矩陣都有酉矩陣等價于一個上三角矩陣．因此，本文結(jié)論改進(jìn)了文獻(xiàn)［2－8］中的結(jié)論，并優(yōu)于該結(jié)論．

［1］ 孫繼廣．矩陣擾動分析［M］．北京:科學(xué)出版社，2001．

［2］ 孫繼廣．關(guān)于Wielant－Hoffman 定理［J］．計算數(shù)學(xué)，1983(5):208－212．

［3］ 陳小山，黎穩(wěn)．關(guān)于特征值的Hoffman－Wielandt 型相對擾動界［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2003(3):396－401．

［4］ 孫繼廣．關(guān)于正規(guī)矩陣特征值的擾動［J］．計算數(shù)學(xué)，1984，6(3):334－336．

［5］ Hoffman A J，Wielandt H W．The variation of the spectrum of a normal matrix［J］．Duke Mathematics Journal，1953，20:37－39．

［6］ Sun J G．On the variation of the spectrum of a normal matrix［J］．Linear Algebra and its Applications，1996，246:215－223．

［7］ Sun J G．Matrix Perturbation Analysis［M］．(2nd edn)．Beijing:Science Press，2001．

［8］ Eisenstat S C．A perturbation bound for the eigenvalues of a singular diagonalizable matrix［J］．LinearAlgebra Appl，2006，416:742－744．