具有收獲項和Hassell－varley 功能反應的捕食時標系統(tǒng)多重周期解

王 暉

( 內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)學學院，內(nèi)蒙古 通遼028000)

同理可得:

1 記號與機型引理

近年來，為整合統(tǒng)一微分方程和差分方程，人們對時標動力學方程有了一些研究成果［1－2］．1990 年德國數(shù)學家Stefan Hilger 在他的博士論文中建立了時標理論，其目的是為了整合和統(tǒng)一連續(xù)分析和離散分析［3－5］．目前在時間測度上研究捕食系統(tǒng)周期解已得到不少結(jié)果［6－8］．然而，目前關(guān)于時標動力學方程多周期解的研究成果還很少．特別地，關(guān)于具有多收獲項的時標動力學系統(tǒng)多重周期解的相關(guān)結(jié)果就更少了［9］．很多學者對具有不同類型功能性反應的捕食者－食餌系統(tǒng)進行了深入的研究，但對于Hassell－varley 型功能反應的研究尚不多見［10－11］．具有Hassell－varley 型功能反應的捕食者－食餌系統(tǒng)的一般形式為:

其中γ 稱為Hassell－varley 系數(shù)，該模型反映了形成群體的捕食者之間的相互關(guān)系．對于某些構(gòu)成群體的陸地捕食者，可設(shè)，而對于某些構(gòu)成群體的水生捕食者，設(shè)更合適些．若γ=1，即捕食者沒有形成群體，則該模型變?yōu)楸嚷市筒妒痴撸仇D系統(tǒng)．

受上述文獻［9，11］的啟發(fā)，本文考慮在時間測度上研究具有Hassell－varley 型功能反應和收獲項的捕食系統(tǒng):

多周期解的存在性問題，其中ai(t)，bi(t)，ci(t)，hi(t)(i=1，2)，m(t)是連續(xù)的有界嚴格正ω 周期函數(shù)，T為任一時標，γ∈(0，1］．

當T=Z時，系統(tǒng)(1)變?yōu)殡x散的捕食系統(tǒng)(3):

為了方便敘述，先引入Ganiness 和Mawhin 的重合度理論中的延拓定理．

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L:DomL?X→Z為線性映射，N:X→Z為連續(xù)映射．如果dimKerL=codimImL＜+∞，且ImL為Z中的閉子集，則稱L為指標為零的Fredholm 映射．如果L是指標為零的Fredholm 映射且存在連續(xù)投影P:X→X及Q:Z→Z，使得ImP=KerL，KerQ=ImL，x=KerL⊕KerP和Z=ImL⊕ImQ，那么L的限制LP是DomL∩KerP到ImL上的一一映射，故LP可逆．設(shè)其逆映射為KP:ImL→DomL∩KerP．設(shè)Ω 為X中的有界開集，若與都是緊的，則稱N在Ω上是L－緊的．由于ImQ和KerL同構(gòu)，故存在同構(gòu)映射J:ImQ→KerL．

引理1［12］(Mawhin 嚴拓定理) 若Ω?X是一個有界開集，且L是指標為零的Fredholm 映射，N:X→Z在上是－緊的．假設(shè):

(a)對任意的λ∈(0，1)，當x∈?Ω∩DomL時，Lx≠λNx;

(b)對任意的x∈?Ω∩KerL時，QNx≠0;

(c)degJQN，Ω∩KerL，0

{

}≠0．

那么算子方程Lx=Nx在Ω∩DomL內(nèi)至少存在一個解．

引理2［12］設(shè)t1，t2∈Iω，t∈T，若g是T→R的ω－周期函數(shù)，則:，那么對于函數(shù)

引理3［13］令x≥0，y≥0，z≥0 且，有下列的結(jié)論成立:

1)函數(shù)f(x，y，z)和g(x，y，z)關(guān)于變量x∈(0，+∞)分別是單調(diào)增加和單調(diào)減少的;

2)函數(shù)f(x，y，z)和g(x，y，z)關(guān)于變量y∈(0，+∞)分別是單調(diào)減少和單調(diào)增加的;

3)函數(shù)f(x，y，z)和g(x，y，z)關(guān)于變量z∈(0，+∞)分別是單調(diào)減少和單調(diào)增加的．

其中g(shù)∈Crd(T)是周期為ω 的實函數(shù)．

2 多周期解的存在性

容易看出lω是Banach 空間，令，不難得出和都是的閉線性子空間

定理1 假設(shè)下列條件:

成立，那么系統(tǒng)(1)至少存在4 個ω－周期正解．

證明 令X=Z=lω，定義

映射．不難發(fā)現(xiàn)P，Q是連續(xù)投影且使得ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I－Q)，并且L的逆映射KP:ImL→KerP∩DomL是存在的，即:

設(shè)Ω 是X中的有界開集，顯然QN和KP(I－Q)N都是連續(xù)的．因為X是Banach 空間，所以由Arzala－ascoli 定理，容易證明在Ω 上是緊的，而且是有界的，因此N在Ω 上是L－緊的．

考慮算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，即:

對系統(tǒng)(4)從k到k+ω 積分，得:

由式(5)～(6)得:

由于x=(x1(t)，x2(t))∈X，故存在ξi，ηi∈Iω，使得:

由式(5)可得:

從而得

由式(7)和(9)得:

由式(6)可得:

從而有

由式(8)和(12)，得:

由式(5)可得:

從而有

解得

由式(7)和(16)可得:

由式(5)，(11)和(13)可得:

從而有:

從而得:

從而有:

由式(8)和(21)可得:

再由式(6)可得:

從而有:

由式(8)和(23)可得:

由此可得:

從而得:

其中:

根據(jù)引理3［13］不難驗證

由式(16)，(17)和(19)可知，對任意的t∈Iω，有:

由式(21)，(22)和(24)可知，對任意的t∈Iω，有:

顯然Ωi(i=1，2，3，4)是X中的有界開集，且Ωi∩Ωj=φ，i≠j，i=j=1，2，3，4，則Ωi(i=1，2，3，4)滿足引理1［12］中條件(a)．

下面證明引理1［12］中條件(b)成立．也就是說，當x∈?Ωi∩KerL=?Ωi∩R2(i=1，2，3，4)，x=(x1，x2)T是R2中的常值向量，那么QNx≠0．如若不然，不防設(shè)x∈?Ωi∩KerL=?Ωi∩R2(i=1，2，3)，此時x=(x1，x2)T是R2中的常值向量，且當x∈?Ωi(i=1，2，3，4)時，有:

類似式(25)～(28)的證明，不難得到:

于是可得:x∈Ω1∩R2或x∈Ω2∩R2或x∈Ω3∩R2或x∈Ω4∩R2．這與x∈Ωi∩R2(i=1，2，3，4)相矛盾，因此引理1［12］中的條件(b)成立．

定義映射Φ:DomL×［0，1］→X:

當條件(H1)，(H2)成立時，代數(shù)方程:

其中:

由引理3［13］不難驗證:

同理可得:

至此驗證了引理1［12］中的全部條件．因此系統(tǒng)(1)至少有4 個周期正解．

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