輪換平均值不等式及其應(yīng)用

●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)●李盛(衢州市第一中學(xué)浙江衢州324000)●汪水林(衢州市第二中學(xué)浙江衢州324000)

輪換平均值不等式及其應(yīng)用

●李世杰(衢州市教育局教研室浙江衢州324002)●李盛(衢州市第一中學(xué)浙江衢州324000)●汪水林(衢州市第二中學(xué)浙江衢州324000)

本文提出了輪換平均的概念，建立了關(guān)于輪換平均的一個不等式，該不等式是算術(shù)-幾何平均值不等式的一個隔離.作為其應(yīng)用，得到了一系列的新不等式，最后給出輪換平均值不等式的加權(quán)推廣.

1 輪換平均的定義

定義設(shè)ai＞0，pi≥0，pn+i=pi(其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n＞1)，，我們把

稱為關(guān)于a1，a2，…，an的輪換平均.

2 主要結(jié)論

一般地，如下的輪換平均值不等式成立:

定理1設(shè)ai＞0，pi≥0，pn+i=pi(其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n＞1)，，則有G≤L≤A，即

證明1)先證右邊的不等式.利用算術(shù)－幾何平均值不等式，結(jié)合，得

這就證明了式(1)右邊的不等式.

2)由加權(quán)算術(shù)－幾何不等式知

上述各式相乘得

至此知式(1)左邊的不等式也成立.

定理1證畢.

注1)不等式(1)說明:輪換平均值L是n元算術(shù)－幾何平均值不等式的一個隔離.

2)當(dāng)n=2時，由定理1可得以下結(jié)論.

若a1＞0，a2＞0，p1≥0，p2≥0，p1+p2=1，則

3)不等式(2)具有如下的幾何意義.

設(shè)A(a1)，B(a2)，AM=BQ，，則

說明對稱的定比分點坐標積可以隔離算術(shù)-幾何平均值不等式.

圖1

4)不等式(1)等號成立的條件不唯一，當(dāng)a1=a2=…=an時左、右邊2個等號同時成立.

對于不等式(2)，還可以將條件a1＞0，a2＞0改進為“a1，a2是任意實數(shù)”，即為如下定理2.

定理2若p1≥0，p2≥0，p1+p2=1，則

3 應(yīng)用

對p1取一些特殊值，可得一系列對算術(shù)平均值與幾何平均值進行隔離的新不等式.

代入不等式(3)得如下結(jié)論3.

結(jié)論3若a1＞0，a2＞0，p≥1，則

4)當(dāng)a1＞a2時，取，則，從而

代入不等式(3)得如下結(jié)論4.

結(jié)論4若a1＞0，a2＞0，則

5)當(dāng)a1＞a2時，取，則，從而

代入不等式(3)得如下結(jié)論5.

結(jié)論5若a1＞0，a2＞0，則

6)當(dāng)a2＞a1時，取，則，從而

代入不等式(3)得如下結(jié)論6.

結(jié)論6若a1＞0，a2＞0，則

注因為結(jié)論4～6中的不等式關(guān)于a1，a2是對稱的，所以條件a1＞a2或a2＞a1可省略.

從上可見，從定理1的一個特例:一個加權(quán)的簡單不等式(2)出發(fā)，通過選取不同的p1，p2值，就可以得到許多新的不等式.同樣地，對于二元以上的輪換平均值不等式，通過選取不同的pi值，也可以得到許多新的不等式，限于篇幅，不再展開論述.

4 加權(quán)推廣

定理3設(shè)ai＞0，pi≥0，pn+i=pi(其中i=1，2，3，…，n，n∈N，n＞1)，，qi＞0(其中i=1，2， 3，…，n，n∈N，n＞1)，，則

證明在不等式(1)中用qiai替換ai(其中i=1，2，3，…n)，得

［1］匡繼昌.常用不等式［M］.3版.濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004:348-375.