構(gòu)造多項(xiàng)式解答競(jìng)賽題

●盧學(xué)謙(泰安市第一中學(xué)山東泰安271000)●盧健(萊城區(qū)羊里中學(xué)山東萊蕪271118)

構(gòu)造多項(xiàng)式解答競(jìng)賽題

●盧學(xué)謙(泰安市第一中學(xué)山東泰安271000)●盧健(萊城區(qū)羊里中學(xué)山東萊蕪271118)

多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.恰當(dāng)?shù)馗鶕?jù)題目的特點(diǎn)構(gòu)造多項(xiàng)式，然后用一些簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式理論解答競(jìng)賽題，往往能起到非常重要的作用.例如，2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試中的第2題就構(gòu)造了一個(gè)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式，其解答令人叫絕，嘆為觀止.本文通過(guò)一些實(shí)例進(jìn)行探究，供讀者參考.

1 在組合題中的應(yīng)用

例1設(shè)a1，a2，…，a2011;b1，b2，…，b2011為互不相等的實(shí)數(shù)，將它們按如下方法填入一張2 011×2 011的方格表中，即在位于第i行與第j列的交叉處的方格中填入數(shù)ai+bj.已知表中任一行各數(shù)的乘積皆是2 011，證明:表中任一列各數(shù)的乘積也是2 011.

證明第i行的各數(shù)乘積為(ai+b1)(ai+b2)…(ai+b2011)=2 011(其中i=1，2，…，2 011)，從而a1，a2，…，a2011是多項(xiàng)式

的2 011個(gè)相異根，因此該多項(xiàng)式又可表示為

取x=-bk(其中k=1，2，…，2 011)，則由式(1)得

左邊恰是表中第k列各數(shù)之積，k=1，2，…，2 011.

(1994年中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

證明構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=(1+x)2n+1.一方面，需證等式右邊顯然是f(x)的n次項(xiàng)系數(shù).另一方面，

當(dāng)n-k為偶數(shù)時(shí)，(1+x)(1+x2)n-k中xn-k的系數(shù)為;當(dāng)n-k為奇數(shù)時(shí)，(1+x)(1+x2)n-k中xn-k的系數(shù)為，從而對(duì)k=0，1，…，n，在中xn的系數(shù)總是，故f(x)的n次項(xiàng)系數(shù)為.

例3證明:對(duì)任意正整數(shù)n，二項(xiàng)式系數(shù)Cmn(其中0≤m≤n)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2的冪.

證明將n用二進(jìn)制表示為n=2α1+2α2+…+2αk(其中α1≥α2≥…≥αk)，從而

右邊的多項(xiàng)式恰含2k個(gè)項(xiàng)，它們的系數(shù)為1(奇數(shù)).即(1+x)n的展開(kāi)式中，恰有2k項(xiàng)系數(shù)，為奇數(shù).

2 在數(shù)論題中的應(yīng)用

證明注意到m=2·3·4·…2 010+1·3·4·…·2 010+…+1·2·3·4·…·2 009為集合M={1，2，…，2 010}中每次取2 009個(gè)元素的乘積之和，故可考慮以1，2，…，2 010為根的多項(xiàng)式

將其展開(kāi)后，設(shè)

其中g(shù)(x)=(a1x2008+a2x2007+…+a2009)x.因?yàn)? 011為質(zhì)數(shù)，所以當(dāng)x∈M時(shí)，2 011|(x2010-1)(據(jù)費(fèi)爾馬小定理).又因?yàn)? 011|(2 010!+1)(據(jù)威爾遜定理)，且當(dāng)x=1，2，…，2 010時(shí)，f(x)=0，所以當(dāng)x=1，2，…，2 010時(shí)，皆有2 011|g(x)，因此g(x)的所有系數(shù)皆是p=2 011的倍數(shù).令ai=pbi，i=1，2，…，2 009，有

(其中p=2 011).由式(3)知，f(2 011)=2 010!;在式(4)中取x=2 011有

由式(5)，得2 0112|a2009;由式(3)知a2009就是f(x)展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)，即為m，因此可得2 0112|m (注意:本題中的2 011可改為任意奇質(zhì)數(shù)p).

例5對(duì)于集合A={a1，a2，…，am}，記P(A)=a1a2…am.設(shè)A1，A2，…，An(其中)是集合{1， 2，…，2 010}的所有99元子集，求證:2 011|.

證明構(gòu)造多項(xiàng)式f(n)=(n-1)(n-2)…(n-2 010)-n2010-2 010!(其中n∈N+).注意2 011為素?cái)?shù)，由威爾遜定理知2 010!≡-1(mod 2 011)，又由費(fèi)爾馬定理知當(dāng)2 011=n時(shí)，n2010≡1(mod 2 011)，因此對(duì)于每個(gè)n∈N+，

1)當(dāng)2 011=n時(shí)，f(n)≡(n-1)(n-2)…(n-2 010)≡0(mod 2 011);

2)當(dāng)2 011|n時(shí)，f(n)≡(n-1)(n-2)…(n-2 010)-2 010!≡2 010!-2 010!≡0(mod 2 011)，即f(n)≡0(mod 2 011)在mod 2 011意義下有2 011個(gè)解，而f(n)是一個(gè)2 009次多項(xiàng)式，對(duì)于每個(gè)n∈N+都有2 011|f(n)，故f(n)的各項(xiàng)系數(shù)都能被2 011整除.

3 在代數(shù)題中的應(yīng)用

例62 011個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，……，x2011滿足方程組，n=1，2，…，2 011.試計(jì)算的值.

解構(gòu)造2 011次多項(xiàng)式

根據(jù)條件，當(dāng)x分別取1，2，…，2 011時(shí)，皆有f(x)=0，因此有常數(shù)c，使

解當(dāng)n=1時(shí)，顯然解為x1=1.以下不妨設(shè)n≥2，此時(shí)構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)

而另一方面，結(jié)合原方程組可得

對(duì)照可得f(1)=0，這說(shuō)明x1，x2，…，xn中有一個(gè)為1，不妨設(shè)xn=1，則剩下的未知數(shù)x1，x2，…，xn－1滿足方程組(其中k=1，2，…，n).以此類(lèi)推，可得所有的xi=1(其中k=1，2，…，n)，從而原方程組的解為x1=x2=…=xn=1.

［1］厲軍萍.巧用構(gòu)造法證明不等式競(jìng)賽題［J］.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(6):32-36.

［2］何豪明.解一道競(jìng)賽題的“通性通法”［J］.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(12):44-45.