隨機波動HJM框架下可違約債券市場波動結構的實證研究

蘇云鵬，楊寶臣

天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津300072

1 引言

隨著中國金融市場的發(fā)展和完善，可違約債券得到迅猛發(fā)展，在溝通投資者與企業(yè)間投融資渠道、提高資本市場效率以及分散資本市場非系統(tǒng)性風險等方面的作用越來越重要。此外，由2008年金融危機可以看到，可違約債券和信用衍生品的定價以及風險管理對于保證金融穩(wěn)定和經(jīng)濟安全具有十分重要的影響。

作為固定收益證券，可違約債券的定價和風險管理的核心在于經(jīng)違約風險調(diào)整后的利率期限結構，也即違約利率期限結構。而利率期限結構的Heath-Jarrow-Morton(HJM)模型框架［1］通過將漂移項表示為波動項的函數(shù)，使模型僅依賴于波動結構(即波動因子的個數(shù)、形式及相關性結構的設定)，非常適合風險因子的刻畫以及信用產(chǎn)品和衍生品的定價及風險管理，且模型設定具有靈活而廣義的優(yōu)點，因而在可違約債券及其衍生品的定價和風險管理中得到廣泛應用。

HJM框架的本質屬性決定了其模型僅依賴于波動結構的設定，而Chiarella等［2］的研究也表明，波動結構對可違約債券及其衍生品的價格和收益率的分布具有決定性作用。因此，對中國可違約債券市場波動結構進行深入分析，有助于明確中國可違約債券市場的主要風險源及其結構，對于可違約債券及其衍生品的定價和風險管理具有重要意義。

2 相關研究評述

Jarrow等［3］和Duffie等［4］通過將違約風險引入HJM框架，構建可違約HJM模型對可違約債券進行定價。在此模型框架下，Sch?nbucher［5］通 過 引 入 多 次 違 約 機制，并在無違約利率期限結構模型基礎上加入違約風險模塊，得到相應的違約利率期限結構模型;Maksymiuk等［6］在零回收率以及違約與無風險利率水平不相關假設下給出遠期利率信用利差的HJM漂移項限制條件，并指出在此情形下初始信用利差期限結構與初始違約強度期限結構一致;Pugachevsky［7］又將以上遠期利率信用利差的HJM漂移項限制條件進一步推廣至違約與無風險利率水平存在相關的情形;Chiarella等［8］在可違約HJM框架下，分別以Cox過程及其隨機強度過程刻畫違約事件和信用利差的變動，給出可違約債券和信用違約互換期權的數(shù)值定價方法。

然而，HJM框架下利率的動態(tài)特性一般是非馬爾科夫的，也即具有路徑依賴性，這會大大增加模型估計以及金融產(chǎn)品定價和風險管理的復雜程度，在加入違約風險模塊后更是如此，從而限制了模型的實際應用。鑒于此，Chiarella等［9］和Berndt等［10］通過將波動結構設定為違約遠期利率與時間的確定性函數(shù)，對可違約HJM框架進行有限維馬爾科夫仿射實現(xiàn)。然而，F(xiàn)ouque等［11］和Trolle等［12］通過實證研究表明，可違約債券收益率曲線具有隨機波動特性，對可違約債券及其衍生品的定價具有重要影響。因此，Chiarella等［2］將隨機波動引入可違約HJM框架，利用數(shù)值模擬方法對隨機波動、相關系數(shù)和違約強度等模型參數(shù)對可違約債券價格和收益率分布的影響進行分析，發(fā)現(xiàn)波動因子形式及相關性結構的設定(也即波動結構的設定)對可違約債券及其衍生品的價格和收益率的分布具有決定性作用。

中國對于可違約債券市場的研究主要集中于定價模型的構建。一方面，通過放寬模型設定對現(xiàn)有模型進行改進，如在簡化模型框架下分別通過引入隨機違約強度［13］、違約相關性［14］、隨機回收率［15］、違約回復率［16］、利率與違約強度的相關性設定［17］等，構建相應的可違約債券定價模型。另一方面，通過引入額外風險因子對現(xiàn)有模型進行擴展，如在簡化模型框架下分別將流動性風險［18］和宏觀經(jīng)濟風險因子［19］引入可違約債券定價。作為可違約債券收益率的重要組成部分，信用利差的建模也是可違約債券定價模型研究的一個重要方面，已有研究分別基于時間序列模型［20］、可違約HJM模型［21］、仿射模型［22］、混合模型［23］和隨機波動模型(SV模型)［24］對中國可違約債券市場信用利差進行建模分析。

由以上分析可知，眾多實證研究業(yè)已表明，波動因子形式、相關性結構和隨機波動特征對可違約債券價格和收益率分布具有重要影響［2，11-12］。因此，對中國可違約債券市場實際波動結構進行深入分析，明確其與國外市場的異同，對于中國可違約債券定價模型的設定及風險管理政策的制定具有重要意義。然而，迄今為止中國對于可違約債券的研究主要集中于定價模型理論方面，對于可違約債券市場波動結構的系統(tǒng)實證研究則比較缺乏。

鑒于此，本研究基于可違約隨機波動HJM模型框架，在對模型馬爾科夫仿射實現(xiàn)基礎上引入基于無損卡爾曼濾波的極大似然估計法對模型進行估計，以解決模型馬爾科夫簡化后仍存在的非線性及潛在狀態(tài)變量問題，提高可違約利率模型的估計精度和債券定價準確性，進而在可違約隨機波動HJM框架下，基于AAA級企業(yè)債券價格數(shù)據(jù)，從波動因子的個數(shù)和設定、相關性結構和貢獻度3個方面對中國可違約債券市場的波動結構進行系統(tǒng)研究，以期明確驅動中國可違約債券市場的主要風險因子以及其相關性結構和風險貢獻度，為中國可違約債券及其衍生品的定價和風險管理提供參考。

3 違約利率期限結構的構建和初步分析

基于研究數(shù)據(jù)可得性，本研究選取2003年2月27日至2009年12月15日每周二的國債和AAA級企業(yè)債券日收盤價作為樣本(遇節(jié)假日順延)，基于遺傳算法的擴展Nelson-Siegel模型分別利用選取的國債數(shù)據(jù)和企業(yè)債券數(shù)據(jù)構建無風險利率期限結構和違約利率期限結構模型。表1給出樣本期初始無風險利率期限結構和初始違約利率期限結構的擴展Nelson-Siegel模型參數(shù)估計值和債券價格估計誤差。

為了研究違約利率期限結構在時間和期限上的波動特性，本研究選取1年、5年、10年、15年和20年期違約利率時間序列進行分析，結果見圖1。

由圖1可知，自2007年3月美國次貸危機爆發(fā)開始，中國違約利率期限結構在整體水平迅速上升的同時出現(xiàn)負期限溢價現(xiàn)象，并隨著美國次貸危機對中國經(jīng)濟影響的深化而愈發(fā)嚴重。這主要因為金融危機的發(fā)展引起全球資本市場信用緊縮，造成融資成本上升，同時還使公司財務壓力和違約風險增大，從而推高了信用利差和違約利率期限結構的整體水平。而投資者出于對宏觀經(jīng)濟前景的擔憂，拋出短期債券并購進長期債券以鎖定未來收益，從而引起可違約債券所隱含的無風險利率期限結構出現(xiàn)負期限溢價現(xiàn)象。

到了2008年9月，隨著中國應對金融危機各項措施的出臺，違約利率期限結構整體水平陡然下降，同時負期限溢價狀況也得到了很大改善。央行通過降低基準利率并向資本市場大量注入流動性，降低了企業(yè)的融資成本，而中央財政通過支持企業(yè)信用擔保、清理收費項目等措施減輕企業(yè)負擔，大大降低了企業(yè)債券的信用風險，從而使違約利率期限結構整體上大幅下降。而以上宏觀調(diào)控政策的出臺及其效果的逐漸顯現(xiàn)極大地促進了市場信心的提升，投資者不再集中于長期債券，從而使違約利率期限結構的負期限溢價狀況得到很大改善。

圖1 各期限違約利率走勢圖Figure 1 Defaultable Interest Rates for Different Terms to Maturity

值得注意的是，2009年下半年中國違約利率期限結構的整體水平又開始逐步上升，并伴隨一定程度的負期限溢價現(xiàn)象。這主要是因為受通脹及加息預期、股市資金分流、監(jiān)管部門加大對商業(yè)銀行監(jiān)管和調(diào)控力度、市場對城投債償還機制及能力產(chǎn)生隱憂等因素影響，可違約債券發(fā)行利率快速上升，從而提高了違約利率期限結構的整體水平。與此同時，雖然經(jīng)濟開始企穩(wěn)回升，但基礎尚不穩(wěn)固，未來經(jīng)濟形勢仍不明朗，因此大多數(shù)投資者仍持觀望態(tài)度，更傾向于購進中、長期債券，使中、長期債券收益率低于短期債券收益率，從而引起負期限溢價現(xiàn)象。

為確定描述中國可違約債券市場波動所需的波動因子個數(shù)，本研究對以上構建的違約利率期限結構進行主成分分析，結果見表2。

由表2可知，各期限違約利率的變動可由前3個主成分進行解釋，且解釋比例達到0.994，表明中國可違約債券市場主要由3個波動因子驅動，因此可利用三因子可違約HJM模型對中國違約利率期限結構的動態(tài)特性進行刻畫。

由圖1可知，各期限違約利率時間序列均呈現(xiàn)明顯的波動聚集特征，故本研究對其分布分別進行正態(tài)性檢驗和ARCH效應檢驗，結果見表3。

由表3可知，在0.050顯著性水平下各期限違約利率時間序列均具有顯著的ARCH效應，使違約利率序列不服從正態(tài)分布，從而可能影響可違約債券及其衍生品定價精度和風險管理效果。實證研究表明，利率波動中的ARCH效應主要來源于波動率的水平依賴和隨機波動特征［25-26］，因此在構建中國違約利率期限結構模型時有必要納入波動率的水平依賴和隨機波動特征。

表2 違約利率期限結構的主成分分析結果Table 2 Result of Principal Component Analysis for Term Structure of Defaultable Interest Rates

表3 各期限違約利率分布特征Table 3 Distribution Features of Defaultable Interest Rates with Different Terms to Maturity

4 可違約隨機波動HJM模型框架的構建

其中，T為到期日，ω為路徑信息，u為積分變量，f(0，T)為無違約遠期利率的初始時刻取值，αf(u，T，ω)為無違約遠期利率的漂移項函數(shù)，σf(u，T，ω)為無違約遠期利率的擴散項函數(shù)，Wf(u)為無違約遠期利率依賴的維納過程，λ(0，T)為信用利差的初始時刻取值，αλ(u，T，ω)為信用利差的漂移項函數(shù)，σλ(u，T，ω)為信用利差的擴散項函數(shù)，Wλ(u)為信用利差依賴的維納過程。

上文對于中國違約利率期限結構的分析表明，有必要將波動率的水平依賴和隨機波動特征納入違約利率期限結構模型。此外，實證研究表明無風險利率和信用利差的波動率還具有隱性隨機波動特征，對于可違約債券及其衍生品的收益率分布和風險管理具有重要影響［9-12］。鑒于此，本研究假設σf(t，T，ω)和σλ(t，T，ω)不僅依賴于相應狀態(tài)變量水平，還受隨機波動過程V(t)驅動。同時，為對模型進行有限維馬爾科夫仿射實現(xiàn)，將以上三者設定為

此時，由Chiarella等［2］研究中的命題3.2可知，無違約短期利率r(t，ω)、短期信用利差λ(t，ω)和隨機波動過程V(t)分別服從如下隨機微分方程，即

其中，θf(t，ω)=f2(0，t)+kff(0，t)，θλ(t，ω)= λ2(0，t)+kλλ(0，t)，f(0，t)為初始收益率曲線，λ(0，t)為初始信用利差曲線，f2(0，t)為初始收益率曲線的斜率，λ2(0，t)為初始信用利差曲線的斜率，aij為矩陣 Ω的第i行第j列元素，φi(t)為向量φ(t)的第 i個元素，η1、η2、η3和S3為輔助狀態(tài)變量，服從以下隨機過程，即

需要注意，輔助狀態(tài)變量η1、η2、η3和S3刻畫了模型狀態(tài)變量r(t，ω)和λ(t，ω)的歷史路徑信息，而以上輔助狀態(tài)變量表達式中不含有隨機驅動項(即局部確定性變量)，因此通過將這些輔助狀態(tài)變量引入模型狀態(tài)空間，即可對(6)式～(8)式所定義的三因子可違約隨機波動HJM模型進行有限維馬爾科夫仿射實現(xiàn)，使其具有很好的解析特性，從而為下文利用基于無損卡爾曼濾波的極大似然估計法對模型進行估計，進而對中國可違約債券市場的波動結構進行實證研究提供便利。

5 中國可違約債券市場的波動結構分析

基于上文構建的可違約隨機波動HJM模型，利用3.1節(jié)的違約利率期限結構數(shù)據(jù)，對中國可違約債券市場的波動結構進行系統(tǒng)分析，明確市場的主要風險源及其結構，從而為中國可違約債券的定價和風險管理提供參考和依據(jù)。

5.1 隨機波動效應分析

表4 模型估計結果Table 4 Parameter Estimates of Models

由表4可知，兩種設定下的違約利率期限結構模型絕大部分參數(shù)估計值在統(tǒng)計上顯著，表明本研究采用的基于無損卡爾曼濾波的極大似然估計法有效。此外，隨機波動過程的引入大幅提高了模型的數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度，模型的對數(shù)似然值由HJMl模型的830.365大幅提高至HJMs模型的1 808.974。對HJMs模型相對于HJMl模型的優(yōu)越性進行似然比檢驗，結果顯示似然比統(tǒng)計量LRsv=1 957.219，在0.050水平下顯著，表明隨機波動的引入顯著提高了模型對于違約利率期限結構的數(shù)據(jù)擬合優(yōu)度，可以更好地刻畫違約利率期限結構的波動特性。

為進一步考察隨機波動的引入對可違約債券定價精度的影響，本研究基于以上模型參數(shù)估計值，計算兩種模型設定下各期限可違約債券價格的估計值，其誤差統(tǒng)計量見表5。

表5 各期限可違約債券價格估計誤差統(tǒng)計量Table 5 Pricing Error Statistics for Defaultable Bonds with Different Terms to Maturity

由表5可知，HJMs模型對于各期限可違約債券價格估計值的均方根誤差(RMSE)均明顯小于HJMl模型。此外，估計誤差序列的Jarque-Bera統(tǒng)計量和ARCH LM統(tǒng)計量表明，隨機波動的引入還顯著改善了估計誤差的分布特征。各期限可違約債券價格估計誤差序列的ARCH LM統(tǒng)計量由HJMl模型的5.600以上顯著降至HJMs模型的3左右，在0.050顯著性水平下不再顯著，表明隨機波動設定解釋了違約利率波動的ARCH效應和尖峰厚尾分布特征，從而使可違約債券價格估計誤差分布更趨向于正態(tài)分布，這從估計誤差序列的Jarque-Bera統(tǒng)計量由HJMl模型的165以上銳減至HJMs模型的6左右即可看出。

綜上，本研究設定的三因子可違約隨機波動HJM模型通過引入隨機波動因子，刻畫了中國違約利率期限結構的隨機波動特征，大幅改善了可違約債券定價精度和誤差分布特征，可作為分析中國可違約債券市場波動結構的可靠模型框架。

5.2 波動因子相關性結構分析

由表4 的HJMs模型參數(shù)ρ12、ρ13和ρ23估計值可知，無風險短期利率r(t，ω)、短期信用利差λ(t，ω)和隨機波動過程V(t)之間存在顯著相關關系，隨機波動過程V(t)與無風險短期利率r(t，ω)的相關系數(shù)高達0.856，而與短期信用利差λ(t，ω)相關系數(shù)為0.265，表明隨機波動過程V(t)對二者的波動具有重要影響，也就是說無風險短期利率和短期信用利差的動態(tài)特性具有顯著隨機波動特征。此外，值得注意的是，ρ23的估計值為0.549，表明無風險短期利率r(t，ω)與短期信用利差λ(t，ω)呈現(xiàn)顯著的正相關關系，這與Duffee［27］和Chen等［28］的結論恰恰相反，這主要是因為在中國和美國債券市場上，影響無風險利率和信用利差的主要因素不同。在美國債券市場上，影響無風險利率和信用利差的因素主要是經(jīng)濟增長(或經(jīng)濟周期)［27-30］。當經(jīng)濟下滑時，美聯(lián)儲往往會持續(xù)降息，并向市場大量注入流動性，這些經(jīng)濟刺激措施均會使無風險利率水平下降。與此同時，經(jīng)濟下滑使企業(yè)的現(xiàn)金流和盈利水平等受到負面沖擊，因此企業(yè)債券的信用風險加大，信用利差表現(xiàn)為上升。因此，在美國債券市場上信用利差與無風險利率呈負相關關系。而實證研究表明，在中國債券市場上，影響無風險利率和信用利差的因素主要是通貨膨脹和資金供給，其次才是經(jīng)濟增長。而且通貨膨脹對無風險利率和信用利差均為正向影響，資金供給對兩者均為負向影響［31］。通脹水平高漲時，投資者會要求更高的無風險利率和信用利差來補償通脹帶來的貨幣貶值損失;而市場資金充裕時，債券供求關系則會傾向賣方，從而使無風險利率和信用利差走低。因此，在中國債券市場上信用利差與無風險利率呈正相關關系。

5.3 波動因子貢獻度分析

本研究以15年期AAA級企業(yè)債券為例，基于三因子可違約隨機波動HJM模型對各波動因子的貢獻度及其變動進行分析，借以刻畫各因子的風險貢獻度及其波動。圖2給出15年期AAA級企業(yè)債券價格與估計值的對比。

在圖2中，樣本期內(nèi)15年期AAA級企業(yè)債券價格均值為46.600，而估計誤差均值為0.138，誤差比為0.296%，因此本研究構建的三因子可違約隨機波動HJM模型很好地刻畫了15年期可違約債券價格的動態(tài)特性，其隱含的違約短期利率rd(t，ω)的波動率變動情況見圖3。

在圖3中，樣本期內(nèi)15年期可違約債券價格所隱含的違約短期利率波動率均值為3.756%。在2003年2月27日至2005年2月16日，違約短期利率波動率持續(xù)增大，意味著違約短期利率的波動性持續(xù)上升;在2005年2月17日至2008年9月11日，違約短期利率波動率逐步減小，意味著違約短期利率的波動性持續(xù)平穩(wěn)下降;在2008年9月19日之后迅速降至一個歷史低點并保持至2009年5月25日，此段時間內(nèi)違約短期利率的運行比較平穩(wěn);此后，違約短期利率波動率又開始迅速震蕩上升，意味著違約短期利率的波動性開始迅速反彈。

由圖3可以看出，樣本期內(nèi)違約利率波動率的變動越來越劇烈且呈現(xiàn)明顯的波動聚集特征。因此，本研究對驅動違約利率波動率變動的隨機波動過程V(t)進行提取和分析，結果見圖4。

圖2 15年期企業(yè)債券價格和估計值Figure 2 Actual and Predicted Prices of 15-year Corporate Bond

圖3 違約短期利率波動率Figure 3 Volatility of Defaultable Short Rate

由圖4可知，樣本期內(nèi)違約利率波動率中所隱含的隨機波動過程V(t)呈現(xiàn)持續(xù)增大的趨勢，這就解釋了違約利率波動的變動加劇及波動聚集現(xiàn)象，同時也表明中國可違約債券收益率曲線具有越來越明顯的隨機波動特性。因此，在對可違約債券及其衍生品進行定價和風險管理時必須將違約利率期限結構的隨機波動特征納入考量。

由于隨機波動過程通過無風險利率和信用利差的波動率作用于違約短期利率，因此本研究只給出無風險短期利率和短期信用利差兩個因子對違約短期利率波動率的貢獻百分比變動情況，見圖5。為了與違約利率走勢進行對比，圖5還給出15年期AAA級企業(yè)債券收益率變動情況。

由圖5可知，各因子對于違約短期利率波動率的貢獻百分比隨時間的推移而發(fā)生明顯的波動，與違約利率走勢進行對比可以發(fā)現(xiàn)，在違約利率上行期間，無風險短期利率對違約短期利率波動率的貢獻較大，表明此時期利率風險對可違約債券定價的影響更大;在違約利率下行期間，短期信用利差對違約短期利率波動率的貢獻占優(yōu)，表明此時期信用風險對可違約債券定價的影響更大。這是因為，由前文結論可知，無風險短期利率與短期信用利差呈顯著的正相關關系，從而使違約利率與無風險利率同向變動。因此，違約利率上行時期無風險利率也上行，此時往往是經(jīng)濟向好、企業(yè)的現(xiàn)金流和盈利水平改善時期，故企業(yè)債券的違約概率降低，相對于信用風險來說，投資者在要求收益率時更加注重利率風險，使無風險短期利率對違約短期利率波動率具有更大的貢獻;反之，違約利率下行時期無風險利率也下行，此時往往是經(jīng)濟趨冷、企業(yè)的現(xiàn)金流和盈利水平變差時期，故企業(yè)債券的違約概率上升，投資者在要求收益率時更加注重信用風險，使短期信用利差對違約短期利率波動率具有更大的貢獻。

圖4 隨機波動過程Figure 4 Stochastic Volatility Process

圖5 各波動因子對違約短期利率波動率的貢獻百分比Figure 5 Contribution of Each Factor to the Volatility of Instantaneous Defaultable Short Rate

在樣本期內(nèi)進行平均，無風險短期利率對違約短期利率波動率的解釋部分為53.250%，短期信用利差的解釋部分為46.750%。

6 結論

基于中國可違約債券市場實際，本研究構建三因子可違約隨機波動HJM模型，并對其進行有限維馬爾科夫仿射實現(xiàn)。通過考察所建模型相對于可違約水平依賴波動HJM模型的優(yōu)越性，分析中國違約利率期限結構的隨機波動效應及其對可違約債券定價精度和誤差分布的影響。在此基礎上，基于三因子可違約隨機波動HJM模型對中國可違約債券市場波動結構進行系統(tǒng)研究，得到以下結論。

(1)樣本期內(nèi)中國可違約債券隱含的無風險利率和信用利差的波動率中含有顯著的隨機波動過程，且其數(shù)值呈持續(xù)增大的趨勢，從而引起違約利率波動的變動加劇和波動聚集現(xiàn)象，對于可違約債券的定價和收益率分布具有重要影響。因此，在對中國可違約債券及其衍生品進行定價和風險管理時，應充分考慮利率風險和信用風險的隨機波動特征，以減小定價偏差，改善對沖效果。

(2)作為中國可違約債券市場的3個主要波動因子，無風險短期利率、短期信用利差和隨機波動過程之間存在顯著的相關關系，無風險短期利率與短期信用利差呈顯著的正相關關系，這與美國債券市場情形存在差異，這主要由中國與美國債券市場上影響無風險利率和信用利差的主要因素存在差異所造成。因此，在對中國可違約債券及其衍生品進行定價和風險管理時應充分分析和把握中國市場實際，正確利用利率風險與信用風險的交互作用。

(3)中國可違約債券市場上各波動因子的風險貢獻度隨時間的推移發(fā)生明顯的波動。在經(jīng)濟向好時期，無風險短期利率波動因子對違約短期利率波動率的貢獻較大，表明此時期利率風險對可違約債券定價的影響更大;在經(jīng)濟趨冷時期，短期信用利差波動因子對違約短期利率波動率的貢獻占優(yōu)，表明此時期信用風險對可違約債券定價的影響更大。因此，對可違約債券及其衍生品的風險管理的重心應隨經(jīng)濟周期的變動進行相應調(diào)整，在不同經(jīng)濟周期階段突出相應的主要風險因子，從而使風險管理策略更加高效而有針對性，從而達到既改善風險管理效果又節(jié)省對沖成本的目的。

由于篇幅所限，本研究僅選取AAA級企業(yè)債券為樣本展開研究，對其他級別的企業(yè)債券和其他品種的可違約債券沒有涉及，可能會對結論的全面性和普適性造成一定影響。未來的研究可對其他級別的企業(yè)債券和其他品種的可違約債券展開分析，以期獲得更加全面的研究結論。

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