低滲透油藏水驅動態(tài)裂縫數(shù)學模型及數(shù)值模擬

范天一，宋新民,，吳淑紅,，李巧云,，王寶華,，李小波,，李華,，劉海龍

（1.北京大學地球與空間科學學院；2.中國石油勘探開發(fā)研究院；3.提高石油采收率國家重點實驗室）

低滲透油藏水驅動態(tài)裂縫數(shù)學模型及數(shù)值模擬

范天一1,2，宋新民2,3，吳淑紅2,3，李巧云2,3，王寶華2,3，李小波2,3，李華2,3，劉海龍2

（1.北京大學地球與空間科學學院；2.中國石油勘探開發(fā)研究院；3.提高石油采收率國家重點實驗室）

基于低滲透油田資料，提出了動態(tài)裂縫的概念并分析動態(tài)裂縫起裂、延伸、趨于閉合的演化過程，建立了可以描述裂縫形態(tài)及屬性動態(tài)變化的數(shù)學模型并編制油藏數(shù)值模擬軟件。數(shù)值模擬表明，注入壓力高于地層破裂壓力時動態(tài)裂縫隨即起裂，此后逐步向前延伸，與地層壓力和注入量呈周期性變化；實施溫和注水后，動態(tài)裂縫在較長時期內仍維持開啟，隨后裂縫整體迅速趨于閉合，說明動態(tài)裂縫受生產動態(tài)因素影響明顯。動態(tài)裂縫的存在使注入水沿著裂縫竄進，隨著動態(tài)裂縫的逐步延伸，注入水形成狹長的驅替范圍，造成水驅嚴重不均衡，加劇低滲透儲集層的非均質性，同時顯著影響各方向油井的含水上升規(guī)律。但動態(tài)裂縫對注采井間有效驅替系統(tǒng)的建立起著積極作用。圖7參11

低滲透油藏；注水開發(fā)；動態(tài)裂縫；三維三相滲流模型；油藏數(shù)值模擬；水驅規(guī)律

0 引言

低滲透油藏通常具有孔隙度和滲透率低、孔喉細小、孔隙結構復雜、存在啟動壓力梯度以及天然能量不足等特點[1]。因此，為克服啟動壓力梯度，及時補充天然能量，通常采用高壓注水、超前注水等方式開發(fā)。但由于儲集層物性差，導致注水井周圍地層壓力不斷升高。當壓力達到某一極限時，地層中產生微裂縫[2]，這些裂縫在特定的注水條件下不斷延伸，形成動態(tài)裂縫。動態(tài)裂縫的產生使油井存在暴性水淹的危險，影響油田的開發(fā)效果及剩余油的分布。

在目前的油藏數(shù)值模擬中，常用描述裂縫的數(shù)學模型有等效連續(xù)介質模型、離散裂縫模型、雙重介質模型等，這些模型可有效地模擬儲集層中的天然裂縫

以及壓裂裂縫等靜態(tài)裂縫，而對于動態(tài)裂縫，則難以準確描述。為此，本文建立了可描述裂縫形態(tài)及屬性動態(tài)變化的新模型，并通過與黑油模型[3-5]耦合，進一步模擬動態(tài)裂縫的演化過程，研究動態(tài)裂縫演化機理及其對油田開發(fā)的影響。

1 動態(tài)裂縫

1.1 動態(tài)裂縫概念的提出

鄂爾多斯盆地安塞油田、松遼盆地頭臺油田等低、特低滲透油田開發(fā)初期的地質資料顯示，儲集層中并無明顯裂縫發(fā)育，但隨著油田開發(fā)的不斷深入，生產動態(tài)資料表現(xiàn)出受裂縫影響的開發(fā)特征。新近研究[6]表明，造成上述現(xiàn)象的主要原因是受動態(tài)裂縫影響，即：在低滲透儲集層中，由于其吸水能力差，致注水井周圍形成憋壓，誘導裂縫產生并不斷延伸擴展。動態(tài)裂縫與天然裂縫、壓裂裂縫不同之處在于其形態(tài)及屬性隨時間不斷變化，且受注入壓力、注采比等開發(fā)因素影響明顯。

1.2 動態(tài)裂縫的演化

研究油田地質、生產資料發(fā)現(xiàn)，動態(tài)裂縫不僅在微裂縫發(fā)育的低滲透油藏中極為發(fā)育，在微裂縫不發(fā)育的區(qū)塊也同樣存在。當注水井注入壓力達到天然閉合縫的開啟壓力或者地層的破裂壓力時，動態(tài)裂縫便會起裂。起裂后在較低的延伸壓力下向前延伸，延伸方向通常為最大主應力方向。通過監(jiān)測壓裂注水井發(fā)現(xiàn)，動態(tài)裂縫可在原有壓裂裂縫的基礎上繼續(xù)延伸。此外，當?shù)貙訅毫档蜁r，動態(tài)裂縫會趨于閉合。例如安塞油田某區(qū)塊實施溫和注水等措施后，地層壓力明顯降低，油井水淹情況得到明顯改善，換油率顯著提高，說明已形成的動態(tài)裂縫發(fā)生閉合。

綜上，把動態(tài)裂縫的演化分為起裂、延伸、趨于閉合3個階段，其演化過程十分緩慢，通常持續(xù)幾年甚至幾十年，貫穿整個油藏的開發(fā)過程。動態(tài)裂縫的演化受地層壓力、應力、巖性以及流體性質等因素的共同影響，其中地層壓力是主控因素。

2 動態(tài)裂縫的數(shù)學模型

2.1 動態(tài)裂縫形態(tài)表征

根據(jù)油藏實際情況，可把動態(tài)裂縫的高度看成是一個常量，而動態(tài)裂縫的寬度較小，流體在裂縫橫斷面上的流動可以忽略，因此，把動態(tài)裂縫模型簡化成其在長度上的演化。裂縫半長可表示為：

動態(tài)裂縫的延伸由地層壓力決定。數(shù)值模擬時首先指定動態(tài)裂縫的延伸方向，然后逐個判斷該方向網格當前時間步的地層壓力是否超過臨界壓力（裂縫起裂、延伸及閉合的臨界壓力）。如圖1所示，n+1時刻與n時刻相比，動態(tài)裂縫向前延伸一個網格長度。動態(tài)裂縫長度的變化由以下準則判斷。

①p≥pc，裂縫向前延伸，裂縫半長為：

②p≤pmin，裂縫前端閉合，裂縫半長：

③pmin

圖1 動態(tài)裂縫延伸示意圖

2.2 動態(tài)裂縫滲透率模型

在動態(tài)裂縫演化過程中，其屬性也發(fā)生動態(tài)變化，在油藏數(shù)值模擬中，需考慮的最關鍵因素是滲透率的變化。動態(tài)裂縫的滲透率隨地層壓力的變化而變化。許多學者通過室內實驗和工程實踐研究了巖石應力應變與滲透率的關系：姜振泉等[7]對充水條件下巖石三軸壓縮荷載實驗的研究結果表明，巖石發(fā)生破裂時，其滲透率表現(xiàn)出突然增大的突跳現(xiàn)象，突跳前后滲透率的最高值與最低值相差1～2甚至3～4個數(shù)量級；此外，王海洋等[8]對巖石應力敏感性實驗的研究結果表明，巖石滲透率隨有效應力的增加不斷下降，其下降速度逐步減緩最后趨于定值；當有效應力不斷下降時，巖石滲透率隨之上升，由緩變快，變化趨勢與有效應力增加階段相反，但滲透率只能恢復到初始值的50%～80%。根據(jù)上述巖心實驗結果，以及有效應力與地層壓力的關系[9]：

建立了動態(tài)裂縫滲透率隨地層壓力變化的關系（見圖2）。當?shù)貙訅毫χ鸩缴仙龝r，初始階段滲透率為一定值；當?shù)貙訅毫_到動態(tài)裂縫的起裂壓力時，動態(tài)裂縫產

生，滲透率發(fā)生突跳；爾后，隨地層壓力的繼續(xù)升高，滲透率逐步上升，上升速度由緩變快（見圖2中Ki→A→B→C段）。地層壓力上升階段滲透率的函數(shù)為：

圖2 動態(tài)裂縫滲透率與地層壓力的關系

當?shù)貙訅毫χ鸩綔p小時，裂縫滲透率逐步下降，下降速度由快變緩，變化趨勢與地層壓力上升階段相反，最后趨于定值（見圖2中C→D→Kmin段）。Kmin通常高于裂縫的初始滲透率而略低于裂縫起裂時的滲透率，此時對應的地層壓力即為動態(tài)裂縫的閉合壓力。地層壓力下降階段滲透率的函數(shù)為：

另外，周文等[10]關于裂縫開啟及閉合壓力的實驗研究結果顯示，裂縫閉合時的地層壓力比開啟壓力略小，且由于應力敏感等因素，地層壓力下降階段滲透率下降幅度比地層壓力上升階段滲透率上升幅度大。由此，根據(jù)前人對地層壓力上升、下降過程中巖石滲透率變化規(guī)律的研究，建立了動態(tài)裂縫滲透率模型：

2.3 運動方程

根據(jù)動態(tài)裂縫滲透率模型，并考慮裂縫中流體重力的影響，即可建立裂縫中流體的多相滲流運動方程：

3 考慮動態(tài)裂縫的低滲透油藏數(shù)學模型

3.1 基本假設

①油藏中流體為油、氣、水3相；②烴類只有油、氣兩個組分，不考慮油組分向氣相的揮發(fā)，而氣組分可以以溶解氣的方式存在于油相內；③油藏中氣體的溶解和逸出是瞬間完成的，即認為油、氣兩相瞬時達到相平衡狀態(tài)；④油、水兩相互不相溶；⑤氣相不溶于水相中；⑥油藏中的滲流為等溫滲流。

3.2 數(shù)學模型

在黑油模型的基礎上加入描述裂縫中流體滲流的方程組用以模擬動態(tài)裂縫的演化。由裂縫中流體的運動方程（6）—（8）式，結合質量守恒方程并考慮裂縫系統(tǒng)與基質系統(tǒng)的流體交換即可得到裂縫系統(tǒng)三維三相滲流基本微分方程：

由于動態(tài)裂縫滲透率為地層壓力的函數(shù)，因此，可根據(jù)當前網格地層壓力來判斷動態(tài)裂縫所處的演化狀態(tài)，并計算出相應的滲透率值。同樣，考慮流體交換，建立基質系統(tǒng)三維三相滲流基本微分方程：

其中，σm通?？捎蒏azemi公式計算[11]：

（9）—（14）式即為考慮動態(tài)裂縫的低滲透油藏滲流基本微分方程，再加上輔助方程以及邊界條件、初始條件便構成了考慮動態(tài)裂縫的低滲透油藏的數(shù)學模型。

4 數(shù)值模擬結果及討論

4.1 動態(tài)裂縫演化與壓力和注入量的關系

采用有限差分法將上述數(shù)學模型離散，并進行全隱式處理以增加方程組求解過程中的穩(wěn)定性，編制了油藏數(shù)值模擬軟件。以1口注水井1口采油井的注采單元為例，研究動態(tài)裂縫的演化。模擬參數(shù)取自安塞油田的實際數(shù)據(jù)：基質孔隙度14%，基質滲透率2.99×10?3μm2，裂縫孔隙度1%，裂縫初始滲透率與基質相同，油水黏度分別為4.9 mPa·s和0.5 mPa·s，油藏溫度44.2 ℃，油藏初始壓力9.6 MPa，最大注入壓力26.2 MPa，裂縫起裂壓力20.7 MPa，裂縫閉合壓力18.9 MPa，井距300 m，注水井最大注入量4 m3/d，油井最大產液量4 m3/d。注水井初期為定壓注水，生產600 d時改變生產制度，實施溫和注水，注入量降至1 m3/d。采油井生產制度不變，共生產1 000 d。模擬采用31×31×1的網格系統(tǒng)，網格長度、寬度及高度均為10 m，基本時間步長為10 d。

4.1.1 動態(tài)裂縫演化與地層壓力的關系

圖3為裂縫長度與裂縫內平均壓力的關系。生產開始時，注水井附近的地層壓力迅速升高，當超過動態(tài)裂縫的起裂壓力時，動態(tài)裂縫產生，隨后裂縫內平均壓力繼續(xù)緩慢上升。當裂縫前端壓力超過其延伸壓力時，裂縫向前延伸一定長度，裂縫內累積的能量迅速釋放，壓力瞬間降低，隨后隨著注入水的累積，裂縫內壓力再次緩慢上升，直到裂縫前端壓力再次超過其延伸壓力，動態(tài)裂縫再次向前延伸，如此反復。動態(tài)裂縫間歇式向前延伸的同時，裂縫內平均壓力也呈現(xiàn)出明顯的周期性變化（見圖3）。隨著動態(tài)裂縫長度的增加，裂縫內平均壓力總體呈下降趨勢。實施溫和注水后，裂縫內壓力迅速降低，但裂縫長度在較長時期內仍維持不變。當裂縫前端壓力降至閉合壓力以下時，動態(tài)裂縫前端開始閉合，裂縫一旦開始閉合，其整體閉合速度非?？?。

圖3 裂縫長度與裂縫內平均壓力的關系

4.1.2 動態(tài)裂縫演化與注入量的關系

圖4為裂縫長度與注入量的關系。動態(tài)裂縫起裂時，注入水瞬間充滿裂縫，在保持注入壓力恒定的情況下，注入量持續(xù)下降。裂縫向前延伸時，其吸水能力瞬間增大，注入量顯著提升，爾后隨著裂縫吸水逐漸飽和，注入量逐步下降，直到動態(tài)裂縫再次向前延伸，如此反復。動態(tài)裂縫間歇式向前延伸的同時，注入量也呈現(xiàn)出明顯的周期性變化（見圖4）。動態(tài)裂縫的產生，一定程度上增大了儲集層的吸水能力，彌補了低滲透油藏滲透率低的不足。隨著動態(tài)裂縫長度的增加，裂縫延伸對注入量的影響逐步減小，注入量起伏變緩，且由于整體地層壓力的升高，注入量整體呈下降趨勢。實施溫和注水后，動態(tài)裂縫在較長時期內不閉合，可維持較高的導流能力，隨后逐步趨于閉合，動態(tài)裂縫受生產動態(tài)因素影響明顯。

圖4 裂縫長度與注入量的關系

4.1.3 動態(tài)裂縫演化與井間壓力的關系

低滲透油藏由于滲流阻力大、壓力傳導能力差，通常在注采井間難以建立有效的驅替系統(tǒng)。由圖5可見，生產初期（10 d），注采井間壓力梯度較小，流體難以流動，出現(xiàn)注不進、采不出的現(xiàn)象。而動態(tài)裂縫

的發(fā)育顯著影響了注水井周圍壓力的傳播，相當于縮短了注采井間的距離。以生產600 d時注采井間地層壓力曲線為例，動態(tài)裂縫的延伸相當于把注采井間距離AC縮短至BC，因此，一定程度上解決了低滲透油藏由于存在啟動壓力梯度等因素而導致的難以建立有效驅替系統(tǒng)的問題。實施溫和注水后，裂縫中的壓力迅速下降，如圖5中生產800 d時注采井間地層壓力曲線所示，與生產600 d時的曲線相比，注水井附近壓力下降幅度大于裂縫前端壓力下降幅度（曲線拐點位置所對應的距離為動態(tài)裂縫延伸的長度），裂縫中壓力重新分布趨于平衡，動態(tài)裂縫整體趨于閉合。

圖5 注采井間壓力變化

4.2 動態(tài)裂縫影響下水驅規(guī)律

將本文建立的動態(tài)裂縫模型與單一介質模型、等效連續(xù)介質模型以及雙重介質模型對比，以1個反九點法面積注水單元為例，研究動態(tài)裂縫影響下面積井網的水驅規(guī)律。模擬采用61×61×1的網格系統(tǒng)，網格長度、寬度及高度均為10 m，基本時間步長為10 d，注水井注入量為15 m3/d，油井產液量為4 m3/d，其余參數(shù)設定與上節(jié)相同。

4.2.1 含水飽和度變化規(guī)律

圖6為動態(tài)裂縫模型與單一介質模型含水飽和度分布模擬結果比較。動態(tài)裂縫起裂后，注入水沿著裂縫竄進，隨著動態(tài)裂縫的逐步延伸，注入水形成狹長的驅替范圍，使裂縫方向采油井含水率迅速上升，與單一介質模型生產相同時間含水飽和度分布明顯不同（見圖6）。動態(tài)裂縫的存在，加劇了低滲透儲集層的非均質性，造成了水驅的嚴重不均衡，使動態(tài)裂縫方向上的油井存在暴性水淹的危險，并在一定程度上改變了注入水的平面波及系數(shù)，顯著影響剩余油的分布。

圖6 動態(tài)裂縫模型與單一介質模型含水飽和度分布比較

圖7 不同模型油井含水率曲線對比

4.2.2 油井含水上升規(guī)律

在相同注采條件下，考慮動態(tài)裂縫的影響并采用不同模型進行模擬，結果見圖7。由圖7可見，雙重介質模型計算得到的含水上升速度無論是沿裂縫方向還

是垂直裂縫方向均最快。應用等效連續(xù)介質模型（將動態(tài)裂縫等效為注水井周圍一條大裂縫）時，注入水主要沿裂縫竄進，而垂直裂縫方向采油井受效不明顯。采用動態(tài)裂縫模型計算時，裂縫方向采油井見水后含水率迅速上升，但是由于動態(tài)裂縫生長過程緩慢，見水時間比雙重介質模型以及等效連續(xù)介質模型較晚，而垂直裂縫方向油井受動態(tài)裂縫影響較小，見水時間相對較晚，含水率上升速度相對較慢。在低滲透油藏中，產生動態(tài)裂縫的井組沿裂縫方向油井與垂直裂縫方向油井的生產動態(tài)資料反映出的含水上升規(guī)律均與本文模型的結果較為一致，因此認為該模型可以很好地模擬動態(tài)裂縫。

5 結論

通過對低滲透油田資料的整理分析，提出了動態(tài)裂縫的概念，總結了動態(tài)裂縫的起裂、延伸及趨于閉合的演化規(guī)律，認為地層壓力是主控因素。

建立了可以表征動態(tài)裂縫形態(tài)的數(shù)學模型，同時建立了表征動態(tài)裂縫屬性的動態(tài)滲透率模型，并給出了考慮動態(tài)裂縫的低滲透油藏基本微分方程，在油藏數(shù)值模擬中實現(xiàn)了對動態(tài)裂縫的演化以及其屬性動態(tài)變化的模擬。

運用數(shù)值模擬方法闡明了動態(tài)裂縫的演化機理，模擬初期地層壓力迅速提升達到地層的破裂壓力，動態(tài)裂縫隨即起裂。此后逐步向前延伸，延伸速度逐步減緩，其延伸與地層壓力和注入量呈周期性變化。實施溫和注水后，動態(tài)裂縫在較長時期內仍維持開啟，隨后裂縫整體迅速趨于閉合，表明動態(tài)裂縫受生產動態(tài)因素影響明顯。

動態(tài)裂縫的存在使注入水的驅替范圍變得狹長，造成了水驅的嚴重不均衡，加劇了低滲透儲集層的非均質性，同時顯著影響了各方向油井的含水上升規(guī)律。但是，動態(tài)裂縫對注采井間有效驅替系統(tǒng)的建立起著積極作用，因此，其在低滲透油藏的開發(fā)過程中有著雙重作用。

符號注釋：

Bg，Bo，Bw——氣相、油相、水相地層原油體積系數(shù)，無因次；f1(p)，f2(p)——地層壓力上升及下降階段滲透率函數(shù)；g——重力加速度，m/s2；H——由某一基準面起算的深度，m；i——裂縫前端所在網格；iw——注水井所在網格；j——動態(tài)裂縫所在網格；Kc——動態(tài)裂縫起裂或延伸滲透率，μm2；Kf——裂縫滲透率，μm2；Ki——動態(tài)裂縫初始滲透率，μm2；Km——基質系統(tǒng)滲透率，μm2；Kmax——動態(tài)裂縫最大滲透率，μm2；Kmin——動態(tài)裂縫最小滲透率，μm2；Krg，Kro，Krw——氣相、油相、水相相對滲透率，μm2；L——動態(tài)裂縫半長，m；Lx，Ly，Lz——基質巖塊的長、寬、高，m；n——時間步；p——裂縫所在網格地層壓力，MPa；pc——動態(tài)裂縫起裂或延伸的臨界壓力，MPa；pi——初始壓力，MPa；pmax——最大地層壓力，MPa；pmin——動態(tài)裂縫閉合的臨界壓力，MPa；Qg，Qo，Qw——氣相、油相、水相產量，t；Rs——溶解氣油比，m3/t；Sg，So，Sw——氣相、油相、水相飽和度，%；t——時間，d；vg，vo，vw——氣相、油相、水相滲流速度，m/s；α1，α2——地層壓力上升、下降階段應力敏感因子，無因次；β1，β2——地層壓力上升、下降階段滲透率系數(shù)，無因次；Δx——x方向網格步長，m； μg，μo， μw——氣相、油相、水相黏度，mPa·s；ρg，ρo，ρw——氣相、油相、水相密度，g/cm3；σ——上覆巖層應力，MPa；σ′——有效應力，MPa；σm——基質巖塊的幾何因子；φ——孔隙度，%；Φg，Φo，Φw——氣相、油相、水相流動勢，MPa/m。下標：f——裂縫；m——基質。

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（編輯 郭海莉）

A mathematical model and numerical simulation of waterflood induced dynamic fractures of low permeability reservoirs

Fan Tianyi1,2,Song Xinmin2,3,Wu Shuhong2,3,Li Qiaoyun2,3,Wang Baohua2,3,Li Xiaobo2,3,Li Hua2,3,Liu Hailong2
(1.School of Earth and Space Sciences,Peking University,Beijing 100871,China; 2.PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development,Beijing 100083,China; 3.State Key Laboratory of Enhanced Oil Recovery,PetroChina Research Institute of Petroleum Exploration & Development,Beijing 100083,China)

Based on abundant data of low permeability oilfields,dynamic fractures were conceptualized and their evolution,including cracking,extending and closing,were analyzed.A new model that describes the dynamic changes of fracture shape and properties was established and a software module was developed.The simulation results show that dynamic fractures cracked once the injection pressure was higher than the formation fracture pressure,and then extended continually,which showed a periodic variation relationship with the formation pressure and the injection volume.After the moderate injection,dynamic fractures remained the open status in a relatively long time,but then the whole fractures tended to close quickly,and these phenomena indicate that the dynamic fractures were significantly affected by the production condition.The presence of dynamic fractures provides a channel for the injection water.With the gradual extension of dynamic fractures,the injection water forms a narrow range of displacement,which leads to the severe imbalance of water flooding,aggravates the heterogeneity of low permeability reservoirs,and significantly affects the water cut rising rules of wells in all directions.However,dynamic fractures also show a positive effect on the establishment of an effective displacement system between the injection wells and the production wells.

low permeability reservoir; waterflood development; dynamic fractures; three-dimensional three-phase flow model; reservoir simulation; waterflood performance

北京市“陸相沉積油藏數(shù)值模擬系統(tǒng)研制”（z121100004912001）；中國石油天然氣股份有限公司“新一代油藏數(shù)值模擬軟件”（2011A-1010）

TE348

A

1000-0747(2015)04-0496-06

10.11698/PED.2015.04.11

范天一（1985-），女，山東泰安人，北京大學與中國石油勘探開發(fā)研究院聯(lián)合培養(yǎng)在讀博士研究生，主要從事油藏數(shù)值模擬方面的研究工作。地址：北京市海淀區(qū)頤和園路5號，北京大學地球與空間科學學院，郵政編碼：100871。E-mail: fanty0501@163.com

2014-08-25

2015-06-19