一類奇異積分算子及交換子在變指數(shù) Herz空間上的有界性

李露露，陶雙平

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院，蘭州 730070)

給定一個(gè)開集E?Rn和一個(gè)可測(cè)函數(shù)q(x):E→［1，∞)，則變指數(shù)Lebesgue空間Lq(·)(E)定義為:

并賦予范數(shù):

當(dāng)q(x)=q0是常數(shù)時(shí)，Lq(·)(E)就是經(jīng)典的Lq0(E)。

歸功于Kováˇcik和Rákosn r'k在文獻(xiàn)［1］中建立了變指數(shù)函數(shù)空間的一些基本性質(zhì)，在最近20多年中，關(guān)于算子在變指數(shù)函數(shù)的有界性研究有了很大的突破，詳見文獻(xiàn)［2-11］。其中最令人欣喜的結(jié)論之一是建立了Hardy-Littlewood極大算子在變指數(shù)的Lebesgue空間中的有界性。最近，Cruz-Uribe-SFOFiorenza-Martell-Pérez在文獻(xiàn)［3］中論證了調(diào)和分析中的許多經(jīng)典算子在變指數(shù)的Lebesgue空間中的有界性結(jié)論，諸如sharp極大算子、乘子算子、平方函數(shù)算子、數(shù)次積分算子等。

令Ω是零次奇次的，在單位球Sn-1上無窮可微的，且滿足則奇異積分算子T定義為:

由算子T和一個(gè)函數(shù)b生成的交換子［b，T］定義為:

文獻(xiàn)［3］和［12］分別證明了式(1)定義的算子T和當(dāng)b∈BMO時(shí)式(2)定義的交換子［b，T］在變指數(shù)的Lebesgue空間中是有界的。本文考慮T和［b，T］在變指數(shù)的Herz空間中的有界性。通過在經(jīng)典的Hardy空間中研究乘子的性質(zhì)得到了經(jīng)典的Herz空間，參見文獻(xiàn)［13-15］。

1 預(yù)備知識(shí)

在這部分，將回顧一些定義并介紹一些證明中用到的一些引理。給定一個(gè)函數(shù)f∈L1loc(E)，則Hardy-Littlewood極大算子M定義為:

定義 1［12］

1)集合Ρ(Rn)表示由所有的可測(cè)函數(shù)q:E→［1，∞)組成，并且滿足

2)集合Β(Rn)表示由所有的可測(cè)函數(shù)q(x)∈Ρ(Rn)組成，并且滿足Hardy-Littlewood極大算子M在 Lq(·)(E)上是有界的。

定義 2［16］令 α∈R，0≤λ ＜ ∞，0 ＜p ＜ ∞，并且 q(x)∈Ρ(Rn)，則奇次的 Herz空間定義為

下面給出變指數(shù)的一些性質(zhì)。Cruz-Uribe，SFO等在文獻(xiàn)［4］以及Nekvinda在文獻(xiàn)［10］中各自獨(dú)立地證明了下面的充分條件。

引理1［4］若E是一個(gè)開集，如果q(·)∈Ρ(E)滿足不等式:

其中C＞0是與x，y無關(guān)的常數(shù)，則有q(·)∈B(E)。

引理2［3］令q(x)∈Ρ(Rn)，則下面的條件互相等價(jià):

① q(x)∈B(Rn);

② q'(·)∈B(Rn);

④ 對(duì)若干1＜q＜p-∈B(Rn);

引理 3［3］若 q(x)∈B(Rn)，則對(duì)任意的 f∈Lp(·)(Rn)，存在一個(gè)常數(shù) C，使得

引理 4［12］若 q(x)∈B(Rn)，并且 b∈BMO(Rn)，則對(duì)任意的 f∈Lp(·)(Rn)，存在一個(gè)常數(shù) C，使得

下面的引理描述了廣義的 H?lder’s inequality和Lq(·)(E)的對(duì)偶空間。詳細(xì)的證明見文獻(xiàn)［1］。

引理5［1］若q(·)∈B(E)，則下面的事實(shí)成立。

1)(廣義的 H?lder’s inequality)對(duì)所有的 f∈Lq(·)(E)和所有的 g∈Lq'(·)(E)，有

其中rp=

2)對(duì)所有的 f∈Lq(·)(E)，有

引理6［16］若q(x)∈B(Rn)，則存在一個(gè)正常數(shù)δ∈(0，1)和C＞0，對(duì)Rn中的所有的球B和所有的可測(cè)子集S?B，有

引理7［16］若q(x)∈B(Rn)，則存在一個(gè)正常數(shù)C＞0，使得對(duì)Rn中的所有的球B，有

引理 8［17］令 b∈BMO(Rn)，m∈N，i，j∈Z 并且 i＜ j。則有:

2 主要結(jié)論及其證明

令q(·)∈Ρ(Rn)，滿足引理1中的條件(3)和(4)。q'(·)也滿足同樣的條件。特別的，由引理2可知 q(·)，q'(·)∈B(Rn)。因此，運(yùn)用引理 6，當(dāng) q(·)，q'(·)∈B(Rn)，設(shè) 0 ＜ δ1，δ2＜1，對(duì) Rn中的所有的球B和所有的可測(cè)子集S?B，有

全文中的δ1和δ2的定義如上所述。

本文的主要結(jié)論如下:

定理 1 若 q(x)∈B(Rn)，0 ＜ p≤∞ ，-nδ1＜ α ＜ -nδ2，則T 在上是有界的。

定理 2 若 b∈BMO(Rn)q(x)∈B(Rn)，0 ＜ p≤∞，-nδ1＜ α ＜ -nδ2，則［b，T］在(Rn)和(Rn)上是有界的。

下面給出定理1的證明。因?yàn)榉瞧娲蜨erz空間上的證明類似于奇次Herz空間上的證明，所以只給出奇次空間上的證明。設(shè) f∈(Rn)，并記

則有

由引理3可知，算子T在Lp(·)(Rn)上是有界的，則

下面估計(jì) E1。注意到當(dāng) x∈Ak，j≤k-2，y∈Aj時(shí)，有由于Ω是有界的，因此，由引理5有

若0 ＜p≤1，則有

下面估計(jì)E3。注意到當(dāng)x∈Ak，j≥k+2，當(dāng)y∈Aj時(shí)，有因此，由引理5，有

類似于E1的估計(jì)，有

若0 ＜p≤1，則有

這樣完成了對(duì)定理1的證明。

下面證明奇異積分交換子［b，T］在變指數(shù)Herz空間是有界的。類似定理1的證明，僅僅給出奇次情況下的證明。設(shè)，并記

則有

由引理4 可知，算子［b，T］在 Lp(·)(Rn)上是有界的，則

下面估計(jì) U1。注意到當(dāng) x∈Ak，j≤k-2，y∈Aj時(shí)，有由于Ω是有界的，因此，由引理5，有

下面估計(jì) U3。注意到當(dāng) x∈Ak，j≥k+2，y∈Aj時(shí)，有因此，由引理5，有

這樣完成了對(duì)定理2的證明。

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