四軸飛行器的數(shù)學模型

王震宇，熊家新，陳純，劉麗

（長春理工大學 機電工程學院，長春 130022）

伴隨著經濟的發(fā)展和進步，四軸飛行器以其形體小、成本低、低環(huán)境要求、較強生存能力、省人、省物、安全方便等優(yōu)勢，成為各國高精尖技術的應用對象。要實現(xiàn)四軸飛行器的基本功能，那就要有完整的控制算法，因此需要建立四軸飛行器在低空下、近距離的數(shù)學模型，以便將四軸飛行器應用于需要它的復雜場合［1-3］。

1 四軸飛行器的飛行原理

1.1 升降控制

如圖1所示，同時提高四個電機轉速使飛行器上升，同時降低四個電機轉速使飛行器下降。因為同時提高或降低三個電機轉速會導致其姿態(tài)變化，所以一般不采取這種方式實現(xiàn)升降控制。

1.2 俯仰滾轉控制

從理論上講，四軸飛行器的結構是對稱的，所以俯仰與滾轉具有類似的控制原理。如圖1所示，提高電動機M2轉速時降低電動機M3轉速，四軸飛行器以M1、M4所在的軸為軸，從M2向M3方向旋轉。若M2為前進方向則四軸飛行器處于俯仰狀態(tài)，若M1為前進方向，則四軸飛行器處于滾轉狀態(tài)。平穩(wěn)飛行狀態(tài)四軸飛行器四個電機等速轉動，當某個電機轉速增大時，機翼下部壓強增大，促使機體做剛體旋轉運動，沿前進方向是俯仰，與其垂直則是滾轉運動。

1.3 偏航控制

四軸飛行器的偏航控制要比俯仰與滾轉控制難度高些，想要平穩(wěn)的改變四軸飛行器的航向，就要同時改變四個電機的轉速。如圖2所示，M1、M2、M3、M4為四軸飛行器的四臺控制電機，在M1、M4逆時針轉動并且M2、M3順時針轉動時，降低M1、M4轉速時提高M2、M3轉速，由轉動慣量的慣性矩平衡原理，主機體就會按逆時針方向旋轉。反方向改變轉速，主機體會按順時針方向旋轉。四軸飛行器飛行時表現(xiàn)為航向改變。

圖1 四軸飛行器俯仰滾轉的控制圖

圖2 四軸飛行器偏航的控制圖

2 旋翼的等效空氣動力學模型

四軸飛行器在不同狀態(tài)下動力學的系數(shù)是不一樣的，如圖3（a）所示，垂直飛行時，氣流沿著旋翼軸向，如圖3（b）所示，前進飛行時，在旋翼旋轉平面和水平面成角αr，氣流流過旋翼旋轉平面不平行與軸向，而是斜穿過旋翼旋轉平面，由此可知飛行狀態(tài)不同四軸飛行器的氣動特性就不同。飛行狀態(tài)不同，四軸飛行器動力學系數(shù)就不同，模型也就不同，本文對四軸飛行器偏航時的旋翼受力做了簡化處理，由葉素理論：四軸飛行器在偏航飛行狀態(tài)，其旋翼上的力矩、力主要表現(xiàn)為，電機主軸的升力D、阻力E、側向力矩F和扭矩G。由文獻［2］得其求解的近似公式：

式中，p是空氣密度，Α=πR2表示旋轉面面積，Cr為旋翼拉力系數(shù)，CD為旋翼阻力系數(shù)，Co為旋翼扭矩系數(shù)，CR為力矩系數(shù)。旋翼的幾何性狀決定這些系數(shù)的大小，并且飛行姿態(tài)不同系數(shù)也會不同。ω為電機轉速，由公式可知電機轉速的平方與旋翼的力與力矩存在比例關系。根據(jù)控制的需要進行近似化，旋翼所受的升力為：

升力系數(shù)k由旋翼形狀、尺寸與安裝方式決定。

圖3 旋翼與氣流圖示

3 四軸飛行器控制模型的建立

在建立四軸飛行器模型之前，要選取適當?shù)目盏刈鴺讼?，這樣使建立四軸飛行器模型的過程相對簡單，有利于分析與求解，因為四軸飛行器的速度、姿態(tài)角的大小與方向等參數(shù)是與坐標系相對應的。所以選擇慣性導航中常用的兩種坐標系，如圖4所示，機體的XYZ坐標系與地面的xyz坐標系。前者是在四軸飛行器上固定的，X軸與前后方向的旋翼連線平行，經過四軸飛行器的幾何中心正向同其前進方同向，Y軸與左右方向的旋翼連線平行，也經過四軸飛行器的幾何中心并且垂直于X軸，Z軸平行于X軸、Y軸所在平面。后者是在三維空間中確定四軸飛行器位置的，四軸飛行器在哪里起飛哪里就是遠點坐標，以用來確定其位置、姿態(tài)、偏航角的變化。飛機在地面剛要起飛時，兩坐標系原點重合，相應的坐標軸重合。

在分析四軸飛行器運動時，采用右手坐標系［7］，那么如圖4機體繞X軸旋轉角為正，設機體繞X軸、Y軸、Z軸的旋轉角分別α、β、γ，其中α是機體的Y軸與Z軸與地面的y軸與z軸的夾角，β是機體的X軸與Z軸與地面的x軸與z軸的夾角，γ是機體的X軸與Y軸與地面的x軸與y軸的夾角，三者分別是橫滾角、俯仰角、偏航角。根據(jù)文獻［7］可得到機載坐標系上的點到地面坐標系上的點的變換矩陣：

圖4 飛機橫滾示意圖

四軸飛行器控制模型的建立過程中，作出了一般性假設：四軸飛行器的質量是常數(shù)，且在其內部均勻分布；地面是慣性參考系，由于四軸飛行器在近距離、低高度飛行，所以地表近似為平面，重力加速度為常數(shù)g；不計地球自轉與公轉的影響；四軸飛行器的幾何形狀、機械結構、質量關于機載坐標平面XOZ對稱，重心與幾何中心重合；那么四軸飛行器的慣性矩陣為對角陣J。

忽略彈性形變與振動時，四軸飛行器在空間的運動為剛體運動，共有六個自由度，機載坐標系上的三個角運動和地面坐標系中沿軸線的三個線性運動。根據(jù)牛頓的第二定律，其動力學的方程向量表示式為：其中，作用在四軸飛行器機體上的合外力之和為F，其質量為m，其質心在地面坐標系的絕對速度為V，作用在四軸飛行器機體上的合外力矩之和為M，其在地面坐標系下絕對的動量矩為H。若在機載坐標系下，依據(jù)理論力學知識建立其運動方程，絕對導數(shù)在機載坐標系下為：

（1）線性運動方程

四軸飛行器在機載坐標系上質心的速度V→的分量為：

外力之和F在機載坐標系上的分量為：

將式（13）、（15）、（17）、（18）代入（11）整理得：

把地表坐標系的式（5）使用轉換矩陣T（α，β，γ）轉換到機載坐標系下并代入式（19），整理得：

式中ki是等效的阻力系數(shù)。

（2）角運動的方程

四軸飛行器在機載坐標系上角速度的分量表示為：

四軸飛行器機載角與機載角速度的關系：

解得機載角速度：

依據(jù)剛體的轉動定律與動量矩計算的方法，式（10）及（12）解得機體的力矩方程：

式中，Mx、My、Mz為機體上和力矩 M→在機載坐標軸上的分量。類似線性運動求解，可得到角運動的方程：

總結上述分析，得到四軸飛行器在低空近距離飛行時的運動方程：

4 仿真

本文建立了四軸飛行器仿真模型，用MATLAB的SIMULINK工具對其模型及控制器進行仿真。先用小擾動線性化方法處理式（28），根據(jù)G(s)=C(sI-A)-1B得到各通道的傳遞函數(shù)。由于時軸飛行器的模型的非線性與耦合性導致模型PID控制器參數(shù)參數(shù)選擇困難，我們借助Signal Constraint優(yōu)化工具箱來對PID控制器的參數(shù)進行自動調整［4］，仿真結構圖如圖5。

Kp為比例因子，K i為積分因子，Kd為微分因子，Transfer Function代表各個通道傳遞函數(shù)，系統(tǒng)的延時時間Transport Delay。在Simulink中的Output constraint優(yōu)化工具，迭代仿真結果與約束條件比較，自動調節(jié)PID控制器的三個因子，直到其滿足系統(tǒng)響應性能的指標要求。

俯仰通道傳遞函數(shù)：

圖5 SIMULINK仿真結構圖

圖6 俯仰通道的迭代計算過程的數(shù)據(jù)圖

把傳遞函數(shù)代入仿真系統(tǒng)并輸入階躍響應得Output Constraint自動尋優(yōu)工具的迭代曲線，通過優(yōu)化工具得到數(shù)據(jù)圖6所示，Iter為迭代的次數(shù)，F(xiàn)-count為函數(shù)總調用次數(shù)，加權約束Max constraint在系統(tǒng)的參數(shù)得到滿足的仿真過程中逐漸的減少。Step size為搜索算法步長。方向導數(shù)Ditectional derivative是在尋優(yōu)方向上迭代得到的曲線的變化率［6］。最后列是優(yōu)化過程信息。當條件滿足時提示（Successfully termination）成功收斂，且在Scope窗口輸出最優(yōu)曲線圖7，由于對狀態(tài)空間方程的小擾動線性化處理，所以控制曲線沒有出現(xiàn)超調與振蕩。

圖7 俯仰通道單位階躍響應圖

用SIMULINK工具尋得俯仰通道PID控制器參數(shù)：Kp=27.13，Ki=5.61，Kd=2.39。由圖7知PID控制器的俯仰通道的單位階躍響應的穩(wěn)態(tài)誤差為零，上升時間和調節(jié)時間都小，因此可判斷系統(tǒng)的動態(tài)特性良好。

5 結論

在建立了四軸飛行器的非線性的運動方程并線性化后，我們得到控制通道的傳遞函數(shù)，根據(jù)上述結果采用PID控制法設計各個通道的控制器，仿真結果經過一段時間都為1。這表明：四軸飛行器可以保持穩(wěn)定的懸停姿態(tài)、飛行狀態(tài)，所以本算法可以實現(xiàn)四軸飛行器控制，為四軸飛行器的進一步研究奠定了理論基礎。

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