一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動(dòng)方程的特征值問題

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一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動(dòng)方程的特征值問題

史娟榮1,2

(1.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽蕪湖241003；2.安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽蕪湖241002)

摘要：討論一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動(dòng)方程的特征值問題。首先，利用一個(gè)特殊的變換將原具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為便于討論的問題；其次，求得了用特殊函數(shù)表示的漸近解，并研究所得到解的性態(tài)，指出了該解為具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動(dòng)問題漸近解的一致有效性；再次，利用所給的邊界條件求出了原問題的特征函數(shù)和特征值；最后,用定理形式論述相應(yīng)的大參數(shù)問題的結(jié)果，并指出當(dāng)n=1時(shí)與前人討論的結(jié)果一致。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)向點(diǎn)；Langer變換；Airy函數(shù)；特征值

奇攝動(dòng)問題一直是國內(nèi)外學(xué)術(shù)界十分關(guān)注的研究對(duì)象。繼Nayfeh和de Jager等綜述了奇攝動(dòng)方法和理論[1-2]，許多學(xué)者從不同的角度研究了各種類型的奇攝動(dòng)問題，諸如Bartiert討論了一類反應(yīng)擴(kuò)散方程的整體解[3]，Guarguaglini等研究了一類偏微分方程的長期性態(tài)[4]，Mo等討論了一類邊值問題的奇攝動(dòng)[5]，Chen等研究了一類橢圓型方程的奇攝動(dòng)[6]，Mo等討論了各種情況下的奇攝動(dòng)問題的激波解[7-14]，莫嘉琪研究了一類大參數(shù)奇攝動(dòng)問題[15]，劉樹德等討論了各種奇攝動(dòng)邊界層和內(nèi)部層現(xiàn)象[16]，汪維剛等研究了一類非局部奇攝動(dòng)問題[17]，周倩等討論了幾類非線性奇攝動(dòng)問題[18-19]，王莉婕等研究了一類退化特征值的奇攝動(dòng)問題[20-21]。本文在文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上利用變量變換理論，研究如下一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動(dòng)方程的特征值問題：

其中：λ>>1為無量綱參數(shù)；n為正整數(shù)。

1　問題討論

為簡便起見，記q(x)=(1-x3)n，并對(duì)方程(1)作如下自變量和因變量的變換

其中φ(x),ψ(x)為待定函數(shù)。將式(2)代入式(1)

令

則式(4)可表示成

因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，q(x)=1-x3<0，可令

為使得當(dāng)x>1時(shí)，都有z>0，對(duì)于式(8)取正號(hào)，則

即

且通過Langer變換后，取δ=0時(shí)式(6)變?yōu)?/p>

方程(12)的通解可以用Airy函數(shù)來表示，其結(jié)果是其中：Ai(z)為Airy函數(shù)，Bi(z)為其相關(guān)函數(shù)；c1,c2為任意常數(shù)。綜合式(9)，(11)和(13)可得，方程(1)的漸近解為

其中d1,d2為任意常數(shù)。

2　特征函數(shù)和特征值

因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，z→∞，故

當(dāng)x→∞時(shí)y→0，則式(14)和(15)中的d2=0，有

由式（16）和邊界條件(1b)中的y(0)=0，有，則

而由式(9)可知

由式(17)可知，當(dāng)λ→∞時(shí)，z(0)→-∞，且

綜合式(17)~(19)可得

即

由此可求得

3　主要結(jié)果

定理方程(1)具有形如式(14)的一致有效的漸近解，其特征函數(shù)由式(16)給出，特征值由式(20)表示。

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責(zé)任編輯：丁吉海

AClass of Singularly Perturbed Eigenvalue Problem for Large Parameter with Turning Point of n-th Order

SHI Juanrong1,2

（1.Department of Mathematics,Anhui Normal University, Wuhu 241003, China;2.Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China）

Abstract:A class of possessing n-th order turning point eigenvalue problem of singular perturbation equation for large parameter is discussed. Firstly, substituting the original possessing n-th order turning point problem for large parameter is turned into studied problem; Secondly, the asymptotic solution using the characteristic function representation is obtained; Then the behavior of the received solution is studied, and this asymptotic solution of possessing n-th order turning point eigenvalue problem for large parameter is uniformly valid; And then, the characteristic functions and characteristic values for the original problem are solved by using the boundary conditions; Finally, the conclusion of corresponding large parameter problem is discussed using the theorem, and it is pointed out that it is the same with that of previous study when n is equal to one.

Key words：turning point; Langer transform;Airy function; eigenvalue

作者簡介：史娟榮(1981-),女,安徽宣城人,副教授，研究方向?yàn)閼?yīng)用微分方程。

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11202106)；安徽高校自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目(KJ2015A418)；國內(nèi)訪問學(xué)者項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)資助

收稿日期：2014-09-05

文章編號(hào)：1671-7872(2015)-03-0289-04

doi：10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.017

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

中圖分類號(hào)：O175.14