（2+1）維擴(kuò)展Zakharov-Kuznetsov方程的對稱、約化和精確解

李 康，劉希強(qiáng)

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059）

0 引言

近些年來，為了求解非線性數(shù)學(xué)物理方程精確解，提出了大量的行之有效的求解方法，如Jacobi橢圓函數(shù)法、齊次平衡法、G’/G展開法、Hirota雙線性方法、雙曲函數(shù)法等等[1-7]。本文考慮方程

的擴(kuò)展，Zakharov-Kuznetsov方程(簡稱ZK方程)是著名的KdV方程在二維空間的推廣形式，它是應(yīng)用漸進(jìn)多尺度技術(shù)在磁場中發(fā)現(xiàn)的一種磁等離子波，在物理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。長期以來許多學(xué)者對有關(guān)它們的課題進(jìn)行了廣泛的研究[9-11]。

本文借助李群理論求出方程(1)的對稱，然后進(jìn)行約化并利用Riccati輔助方程[12]以及雅可比橢圓函數(shù)法等求出方程(1)的某些精確解。

1 方程(1)的對稱

首先，考慮一個單參數(shù)李群的無窮小變換：

其中ε是無窮小參數(shù)。上述變換群的向量場可以表示如下：

其中,,ξητ和φ是待定的系數(shù)函數(shù)。由李群理論，得到三階延拓：

其中 Δ = ut+ α ux+ β uux+ γ uxxx+ λ uxyy。利用李群法，可得：

其中 ci(i = 1 ,2,3,4,5)是任意常數(shù)。由上述結(jié)果得到方程(1)的不變?nèi)荷稍?/p>

不變?nèi)旱娜w生成元構(gòu)成一個五維李代數(shù)，并有下列一組基：

利用Vi(i=1,…,5)得到方程(1)的單參數(shù)群gi(i=1,…,5)如下：

由(3)中的單參數(shù)群 gi(i=1,…,5)可以得到方程(1)的解的表達(dá)式為：

其中ε是參數(shù)，f是方程(1)的任意已知解。由(2)可知方程(1)的對稱為

2 方程(1)的相似約化和精確解

為了求出方程(1)的相似約化和精確解，必須解相應(yīng)的特征方程組，方程(1)對應(yīng)的對稱的特征方程組為

通過解特征方程組(4)得到了方程(1)的不變量和對應(yīng)的相似約化方程。

表1 方程(1)的經(jīng)典相似約化Table 1 The classic similarity reduction of equation (1)

情況1

下面利用 G '/ G展開方法求解方程(5)。做行波變換，將 f ( ξ ,η) = f( ζ ),ζ = k ξ + l η ，代入到(5)式中得到

通過平衡(6)式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)，可得(6)式應(yīng)有滿足下式的解

其中 ai(i=0,1,2)為待定常數(shù)， G =G(ξ)滿足二階線性常微分方程

將(7)式代入(6)式，并利用(8)式，令（ '/G G）的同次冪項(xiàng)的系數(shù)為零，可得

其中 λ ,γ, k ,l,a0是任意常數(shù)，因此(7)式可表示為

將(8)式的解代入(9)式可得方程(1)的三種形式的行波解：

情況2 同情況1類似，省略。

情況3

利用Riccati輔助方程求解方程(11)。通過平衡(11)式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)，可得(11)式應(yīng)有滿足下式的解

其中ai(i=0,1,2)為待定常數(shù)，φ滿足(13)式Riccati方程。將(12)(13)式代入(11)式，令v的同次冪項(xiàng)的系數(shù)等于零，可得

則原方程的解為

則原方程的解為

則原方程的解為

則原方程的解為

則原方程的解為

為了得到方程(14)更多的解，這里選用雅可比橢 圓 函 數(shù) 求 解 。 做 行 波 變 換 f( ξ ,η) = f(ζ)，ζ=kξ +lη得到

設(shè)方程組(15)有如下形式的解

平衡(15)式中的 f′′與 f 'f得到 n + 3 = 2 n +1，即有n=2。由(16)式得

把(17)式和(18)式代入(15)式，令φ相同次數(shù)的系數(shù)為0，得到相關(guān)的代數(shù)方程組，解之得

如果能求出情況7與情況8中的解，同樣也可以得到方程(1)的新的精確解。

3 結(jié)論

本文利用李群方法求出了方程(1)的對稱，然后進(jìn)行約化得到了幾種約化方程，再結(jié)合Riccati輔助方程及雅可比橢圓函數(shù)法，求出了方程(1)的一些精確解。應(yīng)用這種方法可求出許多非線性偏微分方程組的精確解，表明這種方法是實(shí)用有效的。

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