加權(quán)距離判別法在膨脹土脹縮等級(jí)分類中的應(yīng)用

宿曉萍，王亭亭，潘明遠(yuǎn)

（長(zhǎng)春工程學(xué)院土木工程學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引言

膨脹土在我國(guó)分布廣泛，尤其是在河流流域地區(qū)分布更為集中。膨脹土主要由親水礦物（主要是蒙脫石、伊利石和高嶺石等）組成，具有吸水膨脹和失水收縮，并能反復(fù)脹縮變形的特性［1］。正是因?yàn)槠涿浛s性能，常常使得膨脹土地區(qū)出現(xiàn)房屋建筑物開裂，公路、鐵路路基坍塌、失穩(wěn)，膨脹土邊坡產(chǎn)生淺滑等災(zāi)害［2］，給膨脹土地區(qū)的工程建設(shè)以及人民人身財(cái)產(chǎn)造成威脅。究其原因，是因?yàn)樵诠こ炭辈斐跗趯?duì)膨脹土脹縮等級(jí)的錯(cuò)誤判斷［3］。因此，開展膨脹土脹縮等級(jí)分類的研究意義重大。

目前膨脹土分類的方法有很多，包括單指標(biāo)評(píng)價(jià)方法（最大脹縮性指標(biāo)分類法［4］、塑性圖判別與分類法［4］和風(fēng)干含水量法［5］等）和多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)法（灰色理論［6］、模糊數(shù)學(xué)［2］、可拓學(xué)［3］、支持向量機(jī)［1］、距離判別分析法［1］等）。影響膨脹土脹縮性的因素較多，單純采用某一指標(biāo)并不能如實(shí)反映區(qū)分開膨脹土的脹縮等級(jí)，多指標(biāo)綜合評(píng)判法近年來也被證明是提高評(píng)判膨脹土脹縮等級(jí)準(zhǔn)確性的有效方法［7］。本文利用主成分分析法對(duì)距離判別模型加以改進(jìn)，建立加權(quán)距離判別分析模型對(duì)膨脹土脹縮等級(jí)進(jìn)行分類。結(jié)果表明該模型評(píng)判結(jié)果客觀、準(zhǔn)確。

1 主成分分析法

主成分分析法［8］是利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)綜合指標(biāo)的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。該方法通過選取恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)函數(shù)，使原變量成為新變量的線性組合，并選取在變差總信息量中比例較大的幾個(gè)主成分來分析事物。主成分所占的變差信息量比例越大，那么在綜合評(píng)價(jià)中所起的作用就越大。根據(jù)主成分分析的原理，確定膨脹土脹縮指標(biāo)權(quán)重的基本步驟如下：

假設(shè)原變量指標(biāo)為X1，X2，…，Xp，新變量指標(biāo)為Z1，Z2，…，Zp，假設(shè)兩者間存在線性相關(guān)關(guān)系，且可通過正交變換進(jìn)行轉(zhuǎn)換，即

其中矩陣C滿足CC′＝I，其中Cij由下述原則確定：

1）Zi與Zj（i≠j）相互獨(dú)立；

2）Z1是Zi中方差最大的變量，Z2次之，以此類推，Zp的方差最小。

Z1，Z2，…，Zp指標(biāo)即為第1，第2，… 第p個(gè)主分量，方差依次遞減。

由概率論可知，Zi與Zj相互獨(dú)立的充要條件為cov（Zi，Zj）＝0，而Zi的方差 ＝cov（Zi，Zi），因此滿足條件（1）和（2），即要求新變量Z1，Z2，…，Zp的協(xié)方差矩陣B ＝ （bij）p×p，即：

其中，λ1＞λ2＞ … ＞λp為原始指標(biāo)X1，X2，…，Xp標(biāo)準(zhǔn)化后的相關(guān)矩陣R的特征根。

2 距離判別分析法

判別分析［9］是在已知樣本數(shù)據(jù)和類別基礎(chǔ)上建立判別準(zhǔn)則，以此對(duì)未知待測(cè)樣品類別進(jìn)行分類判別的統(tǒng)計(jì)分析方法。目前在各領(lǐng)域內(nèi)廣泛應(yīng)用。距離判別法為判別分析中的一種，其基本思想是：樣本和哪個(gè)總體距離最近，就判定它屬于哪個(gè)總體。

因距離判別法將所有指標(biāo)重要性視為一致，而對(duì)于本次對(duì)象膨脹土脹縮等級(jí)，其影響因素的重要程度存在差異。因此本文選用加權(quán)距離判別法模型，使模型更客觀真實(shí)。下面對(duì)模型進(jìn)行介紹。

2.1 馬氏距離

設(shè)膨脹土樣本總體G ＝ ｛Y1，Y2，…，Ym｝T為m元總體，某一樣本Y ＝ ｛y1，y2，…，ym｝T。利用上述主成分分析法確定泥膨脹土脹縮評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重W ＝ ｛w1，w2，…，wm｝，然后對(duì)原樣本進(jìn)行加權(quán)，可得新加權(quán)樣本X＝WY。設(shè)μi＝E（μi）（i＝1，2，…，m），則總體均質(zhì)向量μ ＝ ｛μ1，μ2，…，μm｝T?？傮wG ＝ ｛Y1，Y2，…，Ym｝T的協(xié)方差矩陣為

那么，樣本X與總體G的馬氏距離為：

2.2 2個(gè)總體的距離判別

假設(shè)有2個(gè)加權(quán)總體G1和G2，其中總體Gi（i＝1，2）的訓(xùn)練樣本為1，2；t＝1，2，…，ni），其中，ni指總體Gi的樣本個(gè)數(shù)，則μi的估計(jì)量為

總體Gi的協(xié)方差矩陣∑i的估計(jì)為組內(nèi)協(xié)方差矩陣Si，如式（6）和式（7）所示。

當(dāng)∑1＝∑2＝∑，協(xié)方差矩陣∑的無偏估計(jì)為

當(dāng)∑1＝∑2時(shí)，對(duì)待判樣本X的判別可基于分別計(jì)算樣本X到2個(gè)總體G1和G2的馬氏距離，按照最近準(zhǔn)則進(jìn)行判別。馬氏距離簡(jiǎn)化后的計(jì)算公式如下：

其中i＝1，2。將待判樣本X 代入上述公式算得Zi（X），再按式（11）所示判別準(zhǔn)則即可進(jìn)行分類：

2.3 多個(gè)總體的距離判別

假設(shè)有k個(gè)m 元總體：G1，G2，…，Gk，判定任意給定樣本X＝ （x1，x2，…，xm）T屬于哪個(gè)總體，可按照馬氏距離最近準(zhǔn)則進(jìn)行判別，分別計(jì)算各樣本X到k個(gè)總體的馬氏距離，并把X判為距離最小總體，如式（12）所示：

本文計(jì)算馬氏距離時(shí)，是通過訓(xùn)練樣本的統(tǒng)計(jì)量作為μi和∑i來進(jìn)行計(jì)算。

2.4 判別準(zhǔn)則的檢驗(yàn)

對(duì)于判別準(zhǔn)則的優(yōu)良性，一般采用交叉確認(rèn)估計(jì)法［10］來計(jì)算誤判率。

以2個(gè)總體G1和G2為例，假設(shè)兩總體中分別有n1和n2個(gè)樣品。交叉確定估計(jì)法在每次建立新的判別準(zhǔn)則之前將剔除掉訓(xùn)練樣本中的1個(gè)，以剩余的n1＋n2－1個(gè)訓(xùn)練樣本來建立新的判別準(zhǔn)則，以此判別剩余的樣本，并將誤判的比例作為誤判概率的估計(jì)。誤判率η的計(jì)算公式如下：

式中：n12為將G1中的樣本誤判為G2中的個(gè)數(shù)；n21為將總體G2中的樣本誤判為G1中的個(gè)數(shù)。

3 模型應(yīng)用

3.1 判別指標(biāo)的選取

影響膨脹土脹縮性的指標(biāo)主要有2類：土的物質(zhì)組成指標(biāo)（黏土礦物組成及粒度組成等）和土的水理性質(zhì)指標(biāo)（液限、塑限、塑性指數(shù)、自由膨脹率等）。在前人研究基礎(chǔ)上，本文選取黏粒含量（x1），粉粒含量（x2），液限（x3），塑限（x4）及塑性指數(shù)（x5），作為判別指標(biāo)。

3.2 加權(quán)距離判別模型的建立

選用文獻(xiàn)［11］中安康膨脹土為實(shí)例，選取其中16個(gè)樣本數(shù)據(jù)（見表1）作為訓(xùn)練樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)，其余7個(gè)作為待判樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。選取黏粒含量、粉粒含量、液限、塑限及塑性指數(shù)作為分類指標(biāo)，將膨脹土劃分為強(qiáng)膨脹土（A）、中等膨脹土（B）以及弱膨脹土（C）3類。首先通過主成分分析法確定出各指標(biāo)的權(quán)重分別為W＝｛0.226，0.169，0.213，0.185，0.207｝，然后按照上節(jié)介紹的加權(quán)距離判別模型建立判別函數(shù)。計(jì)算判別函數(shù)即可完成對(duì)樣本的判別。

表1 加權(quán)距離判別法分類結(jié)果與實(shí)際結(jié)果對(duì)比

3.3 模型檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ团袆e結(jié)果的可靠性，本文選用交叉確認(rèn)估計(jì)法來計(jì)算誤判率。利用學(xué)習(xí)好的加權(quán)距離判別模型對(duì)剩余7個(gè)樣本進(jìn)行判別，判別結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果一致（見表1），說明誤判率為0%，模型可靠。同時(shí)，本文將模型評(píng)價(jià)結(jié)果與支持向量機(jī)（SVM）模型［1］和距離判別分析模型［10］的評(píng)價(jià)結(jié)果作比較，三者評(píng)價(jià)結(jié)果一致。由此說明，加權(quán)距離模型在膨脹土脹縮等級(jí)分類中完全可行和高效。

4 結(jié)語

1）膨脹土脹縮性受多指標(biāo)綜合影響，不同指標(biāo)對(duì)其膨脹性影響又有所不同。本文選用黏粒含量、粒含量、液限、塑限及塑性指數(shù)作為判別指標(biāo)，利用主成分分析法確定各指標(biāo)權(quán)重大小，并建立加權(quán)距離判別分析模型進(jìn)行判別，判別結(jié)果合理可靠，較為真實(shí)地反映了各指標(biāo)對(duì)膨脹土膨脹性的影響以及膨脹土的膨脹性。

2）加權(quán)距離判別法在本次評(píng)判中與距離判別法結(jié)果一致，但其考慮了各指標(biāo)權(quán)重，更加客觀、科學(xué)。當(dāng)樣本數(shù)多時(shí)，其判別準(zhǔn)確率將可能優(yōu)于距離判別法。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單高效，為膨脹土等級(jí)分類提供了一種新的方法。

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