行星傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合振動(dòng)信號(hào)的傳遞路徑分析

黃奕宏，何國林，曾智杰

(華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640)

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的噪聲和振動(dòng)控制一直是各學(xué)者研究和關(guān)注的焦點(diǎn)。在許多應(yīng)用場(chǎng)合，行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲是影響系統(tǒng)可靠性、壽命及操作環(huán)境的關(guān)鍵因素［1］。美國國家航空航天局在一次常規(guī)的檢測(cè)中，意外發(fā)現(xiàn)美國“黑鷹”直升機(jī)行星齒輪箱中行星架上出現(xiàn)裂紋，嚴(yán)重影響飛行安全［2］。丹麥某公司的風(fēng)電齒輪箱所出現(xiàn)的齒輪故障令商業(yè)在線監(jiān)測(cè)與診斷系統(tǒng)束手無策，而傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法對(duì)此又無能為力，最終造成嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失［3］。

Inalploat等［4－5］對(duì)齒輪箱進(jìn)行分類并分析其頻譜特征，提出了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性時(shí)變動(dòng)態(tài)模型，并通過模型預(yù)測(cè)了齒輪加工誤差所產(chǎn)生的調(diào)制邊頻帶。馮志鵬等［6－8］對(duì)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)方程式進(jìn)行了展開分析，對(duì)行星齒輪箱的頻譜特征進(jìn)行了公式求解，研究在不同故障下的行星齒輪箱頻譜特征及解調(diào)方法。

目前在關(guān)于行星齒輪箱的研究中，當(dāng)考慮行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)受傳遞路徑影響時(shí)，所使用的漢寧窗函數(shù)僅描述了靠近傳感器的齒圈圓周與行星輪嚙合所產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)，而對(duì)其他圓周上的嚙合振動(dòng)信號(hào)置零［4，6］，無法準(zhǔn)確、客觀地描述嚙合振動(dòng)信號(hào)的傳遞路徑影響。

本研究基于Virtual.Lab設(shè)計(jì)了一個(gè)行星齒輪箱殼體有限元模型，利用傅氏級(jí)數(shù)展開式及Matlab曲線擬合工具推導(dǎo)出行星傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合振動(dòng)信號(hào)的傳遞路徑數(shù)學(xué)模型。

1 嚙合振動(dòng)信號(hào)的傳遞路徑影響

在行星齒輪箱中，齒圈一般固定不動(dòng)，太陽輪、行星輪和行星架旋轉(zhuǎn)，傳感器通常安裝在齒圈或與之相連的箱體上。如圖1所示，以行星輪數(shù)N=3為例，1，2，3分別代表3個(gè)行星輪，R為齒圈周長(zhǎng)的1/N，齒圈固定，傳感器安裝于齒圈正上方。在這種情況下，太陽輪與行星輪的嚙合振動(dòng)信號(hào)先通過太陽輪傳遞至太陽輪軸，再由太陽輪軸通過齒輪箱殼體傳遞至傳感器。在齒輪箱的工作過程中，該路徑不受行星輪公轉(zhuǎn)的影響。行星輪與齒圈的嚙合振動(dòng)信號(hào)直接通過齒輪箱殼體傳遞至傳感器。當(dāng)行星輪公轉(zhuǎn)時(shí)，嚙合點(diǎn)至傳感器的距離發(fā)生變化，導(dǎo)致嚙合振動(dòng)信號(hào)的傳遞路徑也發(fā)生變化。當(dāng)行星輪公轉(zhuǎn)至靠近傳感器時(shí)，其嚙合點(diǎn)也靠近傳感器，此時(shí)的嚙合振動(dòng)信號(hào)強(qiáng)度最大;在行星輪公轉(zhuǎn)至遠(yuǎn)離傳感器的過程中，其信號(hào)強(qiáng)度越來越弱。

圖1 行星齒輪箱二維簡(jiǎn)圖

目前所建立的行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)方程式考慮了行星輪公轉(zhuǎn)至R弧段內(nèi)的齒輪嚙合振動(dòng)信號(hào)，并用漢寧窗函數(shù)來表示［4］。在實(shí)際工作中，整個(gè)齒圈圓周與行星輪的嚙合振動(dòng)信號(hào)均會(huì)傳遞至傳感器，其幅值變化規(guī)律也不能簡(jiǎn)單地用窗函數(shù)的形式來描述。

2 行星齒輪箱殼體有限元仿真分析

表1為齒輪箱殼體有限元模型的材料屬性。對(duì)圖2有限元模型進(jìn)行模態(tài)仿真分析，圖中箭頭所指方向?yàn)榉抡娣治鲋械募?lì)力作用點(diǎn)，序列1～7為仿真分析中的加速度響應(yīng)點(diǎn)。通常情況下，傳感器在使用中所采集的振動(dòng)加速度信號(hào)方向多為垂直于齒輪箱殼體軸向，因此仿真分析取垂直于地面約束的+Y方向。

表1 齒圈有限元模型材料屬性

通過有限元仿真分析可以得出各響應(yīng)點(diǎn)到激勵(lì)點(diǎn)的幅頻函數(shù)及相頻函數(shù)，如圖3，4所示。從圖3可以看出:在齒圈殼體圓周上，雖然在任意頻率下各響應(yīng)點(diǎn)到齒圈上方激勵(lì)點(diǎn)的頻響幅值均隨著響應(yīng)點(diǎn)到激勵(lì)點(diǎn)的距離增大而變小，但是在距離傳感器最遠(yuǎn)端的第7響應(yīng)點(diǎn)，其頻響幅值仍然不為0。從圖4可以看出:在齒輪箱殼體1階固有頻率內(nèi)，各響應(yīng)點(diǎn)的頻響相位基本一致。

圖2 行星齒輪箱殼體Virtual.Lab有限元模型

圖3 齒輪箱殼體有限元模型幅頻函數(shù)

圖4 齒輪箱殼體有限元模型相頻函數(shù)

該齒輪箱殼體結(jié)構(gòu)對(duì)稱，且材料屬性均勻，因此Y軸上的對(duì)稱點(diǎn)頻響幅值視為相同。在任一頻率下對(duì)整個(gè)齒輪箱殼體的頻響幅值做擬合，結(jié)果如圖5所示，其中點(diǎn)8～12分別為點(diǎn)6～2在Y軸上的對(duì)稱響應(yīng)點(diǎn)，從第1至第12點(diǎn)描繪了整個(gè)齒輪箱殼體的輪廓。當(dāng)行星輪公轉(zhuǎn)至第12點(diǎn)后，重新回到了第1點(diǎn)，每?jī)蓷l曲線頻率間隔為1 Hz。

圖5 有限元仿真幅頻函數(shù)三維圖(1～2 500 Hz)

3 傳遞路徑變化規(guī)律的數(shù)學(xué)建模

以齒輪箱殼體中心為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)，用傅氏級(jí)數(shù)展開式(1)對(duì)殼體上離散點(diǎn)做擬合，可以近似得出整個(gè)齒圈圓周在任一嚙合頻率下的振動(dòng)信號(hào)傳遞幅值變化曲線，其中m為傅氏級(jí)數(shù)展開式的擬合級(jí)數(shù)。分別取嚙合頻率fm為1 000和2 000 Hz時(shí)的頻響幅值做擬合。表2為在兩種不同嚙合頻率下各響應(yīng)點(diǎn)的頻響幅值。表3為擬合級(jí)數(shù)與均方根誤差的關(guān)系，從表中可以看出，隨著擬合級(jí)數(shù)的增加，擬合精度越高。兩種嚙合頻率下的頻響幅值擬合曲線如圖6和圖7所示。

式中:γ為角變量;以齒圈1響應(yīng)點(diǎn)為起點(diǎn)，整個(gè)齒圈圓周為2π;a0和an為各展開式系數(shù)。

表2 不同嚙合頻率下各響應(yīng)點(diǎn)的頻響幅值

表3 傅氏級(jí)數(shù)擬合均方根誤差

圖6 傅氏級(jí)數(shù)展開式擬合曲線(1 000 Hz)

圖7 傅氏級(jí)數(shù)展開式擬合曲線(2 000 Hz)

將式(1)中的角變量轉(zhuǎn)換為時(shí)間變量，假設(shè)行星架轉(zhuǎn)頻為fc，第i個(gè)行星輪的第1階起始相位為θi，將 γ =2πfct+θi代入式(1)中，同樣可以用傅氏級(jí)數(shù)展開式表示第i個(gè)行星輪在整個(gè)齒圈圓周的振動(dòng)信號(hào)傳遞幅值變化曲線:

式中:ai0，fm和 aik，fm與齒輪箱殼體的結(jié)構(gòu)與材料屬性、約束條件有關(guān);θi為第i個(gè)行星輪的第1階起始相位，i=1，2，…，N(N為行星輪數(shù))。當(dāng)規(guī)定的第1個(gè)行星輪和齒圈的嚙合點(diǎn)處于嚙合振動(dòng)信號(hào)傳遞幅值的最大點(diǎn)時(shí)，相位θi=0。

4 結(jié)束語

根據(jù)行星傳動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際工作狀況，完整地考慮整個(gè)齒圈殼體與行星輪嚙合所產(chǎn)生的嚙合振動(dòng)信號(hào)，運(yùn)用有限元仿真分析得出齒圈殼體上各離散點(diǎn)的頻響函數(shù)，利用傅氏級(jí)數(shù)展開式和曲線擬合工具對(duì)任一頻率下的殼體頻響幅值做擬合，得到了高精度的數(shù)學(xué)模型。此外，所推導(dǎo)的高階數(shù)學(xué)模型完整地描述了整個(gè)齒圈圓周的幅值變化規(guī)律，而并非簡(jiǎn)單的漢寧窗函數(shù)。該數(shù)學(xué)模型為行星齒輪箱的數(shù)學(xué)建模提供了更加精確的理論支持。

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