一種基于平面對稱群的對稱圖案生成方法

趙海英， 陳　洪， 葉瑞松

(1. 北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院移動媒體與文化計算北京市重點實驗室，北京 102101；2. 汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063)

一種基于平面對稱群的對稱圖案生成方法

趙海英1， 陳洪1， 葉瑞松2

(1. 北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院移動媒體與文化計算北京市重點實驗室，北京 102101；2. 汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063)

織物圖案中包含著各類蜿蜒曲線、規(guī)則與不規(guī)則的復(fù)雜元素。雖然剪紙圖案和分形圖案的生成方法已有大量研究工作，但是面向新疆織物圖案特點的計算機自動生成方法仍然存在許多挑戰(zhàn)性難題。針對新疆織物圖案風(fēng)格化建模難度大的問題，提出圖案對稱性作為圖案生成關(guān)鍵指標(biāo)，構(gòu)造循環(huán)群和二面體群等變映射與不變映射，研究圖案對稱性的表征方式，利用對稱圖案探討群的映射空間與對稱圖形之間的關(guān)聯(lián)。通過群映射的仿真實驗，繪制混沌吸引子得到群對稱圖案，有效提高圖案的對稱性，豐富織物圖案的花型設(shè)計。

平面對稱群；圖案生成；迭代

新疆織物圖案通過以植物生命為象征體系，展示生命與自然之美，再現(xiàn)各民族繪制圖案的風(fēng)格與特色。圖案中包含大量基本元素，構(gòu)成有規(guī)可循，重用性高，奠定了圖案設(shè)計的良好規(guī)格。本文為了生成具有對稱性新疆織物圖案，構(gòu)建不變映射和等變映射f(x; y)的動力系統(tǒng)，繪制其軌跡的混沌吸引子圖案保持平面晶體群的對稱性，依此設(shè)計具有對稱性與風(fēng)格化的圖案。而圖案生成取決于能否將現(xiàn)有信息技術(shù)與手工藝設(shè)計、現(xiàn)代設(shè)計理念相結(jié)合，設(shè)計出保留風(fēng)格的傳統(tǒng)圖案是具有挑戰(zhàn)性的問題。目前，在設(shè)計領(lǐng)域開放性的問題有：①圖案底層特征、風(fēng)格特征描述；②圖案生成規(guī)則；③傳承民族風(fēng)格的圖案設(shè)計方法。

1　相關(guān)工作

藝術(shù)設(shè)計工作中很大一部分工作是藝術(shù)圖案設(shè)計，從理論上深入研究各種圖形的性質(zhì)和規(guī)律，也就是用數(shù)學(xué)的方法研究圖形[1]。在實際工作中也常常是把繪圖和計算相結(jié)合，即所謂形數(shù)結(jié)合。實踐證明：任何一個圖形，都可以用數(shù)學(xué)方程表示、討論；反之，數(shù)學(xué)問題也可以用圖形來描繪。這就為形與數(shù)結(jié)合奠定了理論基礎(chǔ)[2]。

對稱性是自然界普遍存在的現(xiàn)象。新疆少數(shù)民族在地毯、掛毯、墻壁等裝飾和建筑上普遍使用。理論上，一個系統(tǒng)如果是對稱的，那么在數(shù)學(xué)上反映為該系統(tǒng)具有群作用下不變的特性，而在集合上反映為集合對應(yīng)的圖形之間的關(guān)系[3-4]。

Field和Golubitsky[5]研究了混沌與動力系統(tǒng)的共存關(guān)系，生成具有晶體群、二面體群和循環(huán)群作用下的對稱性混沌吸引子，并借助顏色繪制方法生成了具有群對稱的混沌吸引子。Lu等[6-7]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，利用“軌跡井”技術(shù)和新調(diào)色板技術(shù)生成了具有晶體群對稱性和循環(huán)群、二面體群對稱性的藝術(shù)圖像；王興元和石其江[8]生成了廣義M-J集分形藝術(shù)圖像；Chung等[9-11]從動力系統(tǒng)觀點出發(fā)研究了平面上的“penrose tilings”和“fractal tilings”等藝術(shù)圖像構(gòu)造的方法和理論；鄒玉茹等[12]利用p4晶體群等價函數(shù)通過探討圖形拼砌邊界無縫隙條件構(gòu)造了“chair tilings”非周期藝術(shù)圖像；之后，Lu等[6]從動力系統(tǒng)角度研究了群對稱性不變函數(shù)的理論，并引入色彩對稱映射構(gòu)造了晶體群對稱藝術(shù)圖像，克服了軌跡井技術(shù)對“滑動反射”可能失效的缺點。

Carter等[13]構(gòu)造平面上具有對稱性和周期性的三角函數(shù)族，生成平面上7種帶群(frieze groups)和17種晶體群(wallpaper groups)[4]，其中17種晶體群用傳統(tǒng)的記號標(biāo)記為p1，p2，pm，pg，pmm，pmg， pgg，cm，cmm，p3，p3m1，p31m，p4，p4m，p4g，p6，p6m。平面晶體對稱群也稱為壁紙群(wallpaper group)，該類群由兩個方向的周期性變換和鏡面反射、平移反射、旋轉(zhuǎn)對稱相互作用形成。

傳統(tǒng)生成具有平面晶體群對稱圖像的方法大都是手工繪制[3-4]，文獻(xiàn)[14]采用計算機自動生成該類拼砌圖像，生成的圖像是黑白混沌吸引子圖像。Chung和Chan[15]通過Monte-Carlo搜索產(chǎn)生隨機的動力系統(tǒng)，并通過計算系統(tǒng)的 Lyapunov指數(shù)尋找平面對稱混沌吸引子軌跡，并利用顏色井生成彩色拼砌圖像。

圖案設(shè)計是計算機應(yīng)用領(lǐng)域的一個嶄新的、最活躍的、應(yīng)用面最廣的、對國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)有著重大作用的一個重要分支[16-17]。新疆民族織物圖案的組成比較復(fù)雜，花型多、時空跨度大、風(fēng)格各異，這使得圖案很難用傳統(tǒng)的曲線或曲面描述，給圖案特征分析與自動生成造成很大困難。吸納已有圖案設(shè)計和生成經(jīng)驗，將會有助于圖案設(shè)計方法的提出。

2　基于平面對稱群圖案生成映射構(gòu)建

利用對稱混沌吸引子進(jìn)行計算機繪制，可以保持圖案具有對稱性，其理論依據(jù)是文獻(xiàn)[18]提出的函數(shù)等變性定理。

定理. 設(shè)f:R2→R2是任意一個函數(shù)，G是一個由 2×2矩陣構(gòu)成的有限群，則函數(shù)hf(x)=

具有群G的等變性。

證明：令γ∈G，則：

由群的封閉性可知，當(dāng)σ跑遍整個群時，σγ也跑遍整個群。

文獻(xiàn)[18]提出的定理好處在于充分利用群的封閉性，函數(shù)的選擇比較隨便，減少了為保證函數(shù)具體等變性所進(jìn)行的復(fù)雜構(gòu)造過程。本文通過構(gòu)建具有平面對稱映射的動力系統(tǒng)來繪制混沌吸引子圖案，得到對稱圖案。下面構(gòu)造循環(huán)群 zn和二面體群Dn等變映射，實現(xiàn)對稱性圖案繪制。

2.1構(gòu)建基于循環(huán)群zn映射

(1) 對于 zn群，設(shè)f(z)為復(fù)平面上的映射。構(gòu)造如下映射，滿足基于循環(huán)群的等變映射：

比較式(2)、(3)可知，只需要證明γ0f(z)=即可。

(2) 構(gòu)造如下映射，滿足基于循環(huán)群的不變映射：

2.2構(gòu)建基于二面體群Dn映射

(1) 對于Dn群，設(shè)f(z)為復(fù)平面上的映射，構(gòu)造下面的映射，滿足基于二面體群的等變映射：

證明：當(dāng)t=1,s=0時，只需證明：G(γ0z)=γ0G(z)。

即求證γ0τ=τγ0，由二面體群性質(zhì)知：

(2) 構(gòu)造下面的映射，基于二面體群的不變映射：

同上定理可證：

3　平面對稱群對稱圖案生成仿真實驗

設(shè)f(z)=z=x+iy，分別按照式(1)、(4)～(6)進(jìn)行G（z）的繪制，即可得到不同對稱圖案。

繪制對稱圖案過程描述如下：

步驟1. 選定一個初始點(x,y)及迭代次數(shù)N；

步驟3. 令x=xnext，y=ynext;

步驟4. 如果迭代超過100次, 則屏幕輸出(x,y)；

步驟5. 返回步驟執(zhí)行下一輪迭代，直到迭代次數(shù)等于N次。

根據(jù)仿真實驗步驟，分別基于循環(huán)群和二面體群完成不同對稱映射拼貼，如圖1和圖2所示。

4　不同對稱圖案生成方法分析

4.1不同非線性系統(tǒng)生成方法仿真實現(xiàn)

新疆少數(shù)民族織物圖案以抽象的植物紋樣和幾何紋樣為主表現(xiàn)，為此提出非線性系統(tǒng)生成織物圖案進(jìn)行分析對比。

實驗1. 基于L系統(tǒng)的服飾圖案生成

L系統(tǒng)是一類獨特的迭代過程，與迭代函數(shù)系統(tǒng)(iterated function system，IFS)一樣是分形物體常用的模擬工具，也是非常有效的生成方法，是目前用于模擬分形物體最常用、最成功的系統(tǒng)。使用時定義一個有序的三元組：其中符號集α為旋轉(zhuǎn)角，起始符號元?。而最關(guān)鍵的是生成規(guī)則集p的選擇，可根據(jù)圖案的對稱特點進(jìn)行設(shè)置。依據(jù)新疆民族織物圖案特點，選擇變換規(guī)則集及迭代次數(shù)n。確定參數(shù)繪制基于L系統(tǒng)的不同織物圖案，如圖3所示。

實驗2. 融合IFS迭代函數(shù)與L系統(tǒng)生成圖案

研究考慮到新疆織物圖案多是植物形狀，將IFS生成算法和L系統(tǒng)結(jié)合。根據(jù)拼貼定理，對于任意原始集L，只要能保證L與拼貼的W(L)之間較好地符合，其吸引子就一定接近于原始圖形。通過IFS與L系統(tǒng)的結(jié)合，可繪制出如圖4所示的分形植物。

仿真實驗可以發(fā)現(xiàn)，IFS主要應(yīng)用于分形植物葉片模擬，也可用于藝術(shù)分形圖的生成；而L系統(tǒng)法雖能極為逼真地模擬自然界中部分景物，如上圖的枝莖，但其繪制必須要知道生成圖案的初始生成元和迭代規(guī)則，實際操作較為困難。

實驗3. 基于模糊元胞自動機演化算法

把專家知識先轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)形式，然后加以應(yīng)用。通過符號自然語言表達(dá)式，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)函數(shù)。加入領(lǐng)域?qū)＜抑R的圖案更具民族風(fēng)格。論文引入模糊系統(tǒng)改進(jìn)元胞自動機得到模糊元胞自動機。模糊元胞自動機模型(fuzzy cellular automata)是在平面上用一個M×M的格點組成網(wǎng)格矩陣來表示的，已知每一個格點t時刻狀態(tài)，(t+1)時刻狀態(tài)由X(t)時刻自身狀態(tài)、周圍鄰元狀態(tài)以及模糊規(guī)則來決定。其中模糊規(guī)則中的隸屬度函數(shù)是最關(guān)鍵的問題，如圖5所示。由于新疆民族織物圖案花型復(fù)雜性，在應(yīng)用 FCA時，不僅要考慮模糊規(guī)則，還要考慮其初始構(gòu)型。

圖1　基于循環(huán)群不同對稱映射拼貼結(jié)果

圖2　基于二面體群不同復(fù)映射拼貼圖案結(jié)果

圖3　基于L系統(tǒng)織物圖案

圖4　植物紋樣建模

4.2基于非線性系統(tǒng)生成方法的比較

(1) 分析以上3種非線性系統(tǒng)生成圖案算法，其共性：①生成圖案極具規(guī)則，且生成元與生成規(guī)則或演化規(guī)則的泛化能力極弱；②從實物圖案中尋找生成規(guī)則難度大，致使迭代函數(shù)系統(tǒng)參數(shù)難以確定。

(2) 分別實現(xiàn)了分形IFS和L系統(tǒng)以及一維元胞演化模型，但是仿真結(jié)果表明：生成的圖案只能是極具分形特征的相似圖案，其數(shù)量非常有限，而且建模過程依賴于生成元或演化規(guī)則即圖案基元，不能滿足設(shè)計者對具有新疆風(fēng)格的圖案設(shè)計要求。

(3) 仿真實驗表明分形圖案雖體現(xiàn)出傳統(tǒng)美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，如平衡、和諧、相似等，甚至局部與局部之間、局部與整體之間也存在絕對的自相似，但完全不同于織物圖案的對稱和諧，對稱中有變化，變化中有和諧；而IFS系統(tǒng)和元胞演化模型生成過于簡單相似，難以滿足新疆織物圖案設(shè)計目標(biāo)。

圖5　元胞在不同迭代次數(shù)下演化過程

為此，引入平面對稱群構(gòu)建映射生成對稱圖案，即通過構(gòu)建具有平面對稱映射的動力系統(tǒng)來繪制混沌吸引子圖案，可具有變化對稱性。

5　小　結(jié)

分形圖在服裝設(shè)計上的運用體現(xiàn)出計算機科學(xué)、數(shù)學(xué)、服裝美學(xué)等的完美結(jié)合，傳達(dá)出一種全新的視覺效果。為此，在迭代函數(shù)系統(tǒng)的研究中，從線性IFS推廣到元胞自動機演化模型，再進(jìn)一步推廣到混沌吸引子構(gòu)建的迭代函數(shù)系統(tǒng)，目的在于繪制風(fēng)格化織物圖案。但由于系統(tǒng)構(gòu)建的復(fù)雜性，模型演化不可預(yù)測性，使得生成圖案雖具有對稱性，但與民族特色仍具有較大差距。因此，提出面向風(fēng)格化的圖案生成算法仍然是最具挑戰(zhàn)性問題。

本文采用循環(huán)群和二面體群的等變和不等變映射，研究迭代混沌吸引子的軌跡生成對稱圖形，該方法可以繪制具有對稱特征圖形，并通過顏色表進(jìn)行圖案渲染，得到色彩絢麗對比度強的對稱圖案。但圖案特征的定量計算仍然需要進(jìn)一步深入研究；基于進(jìn)化計算的圖案生成方法也可以引入，因為圖案智能化和走向應(yīng)用是設(shè)計的目標(biāo)。

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Generation Method of Symmetrical Pattern Based on the Plane Symmetry Group

Zhao Haiying1,Chen Hong1,Ye Ruisong2
(1. Mobile Media and Cultural Calculation Key Laboratory of Century College, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 102101, China; 2. Department of Mathematics, Shantou University, Shantou Guangdong 515063, China)

Fabric design is a kind of complex texture pattern, with winding curve, regular and irregular geometrical patterns as the main pattern. Although the pattern generation methods of paper-cut design and fractal pattern have a lot of research work, the computer automatic generation method for fabric design characteristics in Xinjiang still exists many challenging problems. Considering the difficulties of stylized model building of Xinjiang fabric pattern, the method that uses pattern symmetry as the key index of pattern generation is proposed, build the variable and invariable mapping of cyclic group and dihedral group, study the representation of pattern symmetry, prob the relationship between mapping space of group and symmetric graph using symmetric patterns. Through the simulation experiment of mapping group, the symmetrical design with chaos attractor is drawn. Experiments show the generation method can improve the symmetry of pattern and rich the pattern design of fabric.

plane symmetry group; pattern generation; iterative

TP 391

A

2095-302X(2015)06-0872-07

2015-02-05；定稿日期：2015-07-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(61163044)；北京市科委資助項目(Z141100001914035)；國家社科基金重點項目(12AZD120和12AZD118)；新疆自然科學(xué)基金資助項目(2010211a19)

趙海英(1972–)，女，山東煙臺人，副教授，博士。主要研究方向為文化計算和媒體數(shù)據(jù)挖掘。E-mail：zhy.yn@163.com

陳洪(1976–)，男，四川達(dá)州人，副教授，博士。主要研究方向為計算機圖形學(xué)與數(shù)字媒體技術(shù)。E-mail：norman_chen@263.net