“分段函數(shù)”教學設計與教學反思

吳中才

1 內容和內容解析

分段函數(shù)是人教B版必修1第二章第2.1.2節(jié)“函數(shù)的表示方法”中的一個內容，其特點是在函數(shù)的定義域內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，因而需要按自變量的不同取值區(qū)間將函數(shù)進行分段表示.分段函數(shù)在生活中的眾多收費問題中普遍存在，在數(shù)學中也隨處可見，在數(shù)學史上也不乏典例，尤其在高等數(shù)學中常常是構造反例的首選.因而，分段函數(shù)是普遍存在又比較重要的一類函數(shù)，是函數(shù)解析式表示法中的一個典型代表.

分段函數(shù)的概念不是一個嚴格的數(shù)學定義，因而對于概念的內涵和外延不宜作過多的挖掘.分段地表示一個函數(shù)，并不是唯一的表示方法，常常只是為了更加直觀、方便.分段函數(shù)的解析式雖然有“幾段”，但它終究是一個函數(shù)，而不是“幾個函數(shù)”.因而研究分段函數(shù)時，常常需要分段研究，整體考慮.

分類討論與數(shù)形結合的思想方法是高中數(shù)學學習的兩種重要思想方法，在分段函數(shù)的學習過程中體現(xiàn)尤為明顯.準確地進行分類討論，恰當?shù)剡\用數(shù)形結合，對訓練學生的思維能力、分析問題和解決問題的能力有一定的作用.

鑒于上述分析，本節(jié)課的重點是分段函數(shù)的概念以及運用分段研究、整體考慮的方法研究分段函數(shù)的定義域、值域、求函數(shù)值.

2 目標和目標解析

分段函數(shù)是研究函數(shù)的一個有效載體，如果將分段函數(shù)的教學目標僅僅定位于了解概念，那么分段函數(shù)蘊含的分類思想與數(shù)形結合的方法就不能得到較好地體現(xiàn)和滲透.因此，本節(jié)課的教學在呈現(xiàn)分段函數(shù)的概念之后，引導學生運用研究函數(shù)的方法來研究分段函數(shù)的定義域、值域、求函數(shù)值等，在此基礎上引入一個簡單的含參問題，激發(fā)學生思維的參與度，培養(yǎng)學生研究問題的意識.

本節(jié)課的教學目標定位為：

（1）通過具體實例，了解分段函數(shù)的概念，會運用研究函數(shù)的方法研究分段函數(shù)的定義域、值域等，同時鞏固函數(shù)的概念與三種表示方法.

（2）通過搜索知識經驗和生活經驗中的分段函數(shù)，體會函數(shù)建模思想；通過對簡單含參分段函數(shù)的研究，進一步滲透數(shù)形結合思想和分類討論的思想.

3 教學問題診斷分析

本節(jié)課的重點內容是分段函數(shù)的概念以及以分段函數(shù)為載體進行函數(shù)的簡單研究.在概念的學習中，可能有學生會認為分段函數(shù)的“段”是等長的，引入新課時特別安排了一個非等長例子以澄清認識；還可能有學生認為分段函數(shù)是幾個函數(shù)，教學時在概念呈現(xiàn)之后立即向學生闡明分段函數(shù)是一個函數(shù).這樣盡可能消除這些事實性知識在學生認知中的潛在難點.

運用研究函數(shù)的一般方法來研究分段函數(shù)是教學的難點，原因有二：一是函數(shù)的研究經驗并不多，學生還沒有鞏固研究函數(shù)的方法，就要開始獨立去研究一類新的函數(shù)，對學生應用知識和方法的能力有較高的要求；二是分段函數(shù)本身就蘊含著分類討論，尤其在分段函數(shù)的解析式中加入?yún)?shù)討論，這就更增加了思維要求和教學難度.

在本章函數(shù)的定義域、解析式、值域的學習中，學生已初步體會到借助函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質的方法；在前面章節(jié)“集合”的學習中，學生已經訓練了一些難度相當?shù)膮?shù)討論問題，并感受了數(shù)軸和韋恩圖在集合運算中的作用，這些都滲透了數(shù)形結合和含參分類討論的思想.雖然這些為本節(jié)課的教學打下了一定的知識基礎、能力基礎和方法基礎，但由于課堂時間緊（上課時間只有30分鐘，另外10分鐘完成教學目標檢測與課堂問卷調查），分類討論與數(shù)形結合對學生的思維要求高，因此，借助函數(shù)圖象研究分段函數(shù)的性質、含參問題的分類討論仍是本節(jié)課的教學難點.

4 教學支持條件分析

結合前面的分析可知，在本節(jié)課的教學中，運用數(shù)形結合的方法研究分段函數(shù)的性質是一個難點，完成分段函數(shù)中含參問題的討論是另一個難點.前者難在學生的形象思維與抽象思維的轉接，后者難在邏輯思維的拓展與思維場的初步形成.

為了突破后一個難點，在研究分段函數(shù)中的含參問題時借助幾何畫板作圖，觀察參數(shù)變化引起函數(shù)圖象的變化規(guī)律，幫助學生獲得分析分段函數(shù)的直觀印象與感性認識；以問題的內在邏輯有層次地組織學生的思維活動，引導學生積極思考問題，深入交流討論，獨立研究，分組匯報，讓學生在碰撞中收獲思維火花，提升思維能力.

5 教學過程設計

（一）復習引入

我們知道，確定一個函數(shù)只需要兩個要素：定義域和對應法則.因此，我們寫函數(shù)解析式的時候，一定別忘記在解析式后面帶上它的定義域.

上節(jié)課我們學習了函數(shù)的三種表示方法——列表法、圖象法、解析法.下面，我們從一個簡單的函數(shù)圖象出發(fā)，繼續(xù)研究函數(shù)的相關問題.

圖1

引例 根據(jù)函數(shù)的圖象（圖1）寫出函數(shù)的解析式：

設計意圖 根據(jù)圖象寫解析式，復習函數(shù)的表示法，同時為引出分段函數(shù)的概念鋪墊.教學時，先呈現(xiàn)第一段讓學生寫解析式，再補全第二段，繼續(xù)讓學生寫解析式，寫完后將兩段合并到一個花括號下，形成分段函數(shù)的解析式.最后，將第二段往右平移1個單位，體會定義域斷開的情形取定義域的并集.

（二）新課講解

概念 像上面這個函數(shù)，在函數(shù)的定義域內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).（板書）

分段函數(shù)是一個函數(shù)的分段表達形式，它是一個整體，而不是幾個函數(shù)，它的每一“段”對應的自變量x的取值區(qū)間也不一定都等長.

回問 （1）從引例中分段函數(shù)的圖象，我們可以讀取哪些信息？（定義域、值域、變化趨勢、求給定自變量對應的函數(shù)值如求f（2），f（f（2））等.）

注 學生答完后再將函數(shù)圖象作一點變化——將第二段往右平移一個單位.然后問學生：定義域是什么？如何求f（3），f（f（3））？給一個x值一定可以求出一個函數(shù)值，有沒有出現(xiàn)問題的時候？學生答f（f（23））.

（2）你還能提出什么問題嗎？抑或能發(fā)現(xiàn)點什么嗎？（形如f（f（x））的求值一定能求嗎？已知函數(shù)值求對應的自變量值，如求使f（x）=1的x值，定義域內任意一點處的若干次迭代函數(shù)值一定會循環(huán)嗎？如果定義域不連續(xù)能求f（f（32））嗎？）

（3）在你的知識積累和生活經驗中，見過哪些分段函數(shù)？請舉例.

注 學生答：物理上路程和時間之間的關系圖象（變速運動）、電信的計價方式.

下面，我們來看一個生活中收費的例子：

練習1 某路公交車的線路總長20km，票價制定的規(guī)則是：

（1）乘坐不超過5km，票價2元；

（2）乘坐5km以上，每增加5km，票價增加1元.（不足5km的按5km計算）

①試問：票價f（x）是里程x的函數(shù)嗎？為什么？

②如果是，請你選用恰當?shù)姆椒ū硎具@個函數(shù).（補充呈現(xiàn)列表法——公交車分段票價表）

注 學生給出解析式f（x）=-[-x5]+1，0

③怎么求該函數(shù)的值域？

設計意圖 根據(jù)實際問題情境寫解析式，滲透建模思想，體現(xiàn)分段的必要性和普遍性，同時鞏固函數(shù)的三種表示方法以及不連續(xù)分段函數(shù)值域的求法.

我們再來看一個數(shù)學中的例子：圖2

練習2 如圖2，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB=1，OA=OC=2，直線l：x=t（0

①這里S是t的函數(shù)嗎？為什么？

②不寫函數(shù)解析式，你能畫出S關于t的大致函數(shù)圖象嗎？（用坐標紙畫）

③請寫出函數(shù)的解析式，并根據(jù)解析式檢驗你所畫的圖象.

設計意圖 通過根據(jù)數(shù)學問題不先寫函數(shù)解析式，而直接判斷S是不是t的函數(shù)，并畫出大致圖象，強化函數(shù)中函數(shù)值與自變量的對應關系，進一步鞏固函數(shù)概念，也加強對分段函數(shù)的認識.然后寫出解析式檢驗之，滲透一種論證的科學態(tài)度和科學精神.

從前面的研究可以看到，分段函數(shù)常常需要分段研究，分類討論，研究時常常要結合圖象進行.分類討論最有趣的還是含有參數(shù)問題的研究.

下面，我們一起來研究一個含參數(shù)的分段函數(shù)：

活動 研究函數(shù)

f（x）=x2-2ax+a，（x≥0）

-x2-2ax-a，（x<0）的圖象，試在坐標紙上畫出來.

活動采取分組研究、分組匯報、質疑答辯的形式進行：（1）展示你們畫出的函數(shù)圖象.（2）你們覺得這個函數(shù)的圖象有些什么特點？（3）你們是怎么畫這個函數(shù)圖象的？（4）從所畫的函數(shù)圖象，你們能讀出些什么信息？

注 呈現(xiàn)題目時教師引導：這道題同樣沒有給出問題，就是讓你研究這個函數(shù)的圖象，現(xiàn)在大家自行研究.通過研究該函數(shù)的圖象，你得出了些什么？在研究中你有什么認識？希望大家用研究函數(shù)的一般方法，來指導你的行為.講解完畢，借助幾何畫板動態(tài)呈現(xiàn)函數(shù)圖象隨著參數(shù)a的變化而變化情況.

學生回答：分a>0、a=0、a<0，并展示自己所畫的圖象.

教師補充：現(xiàn)在有幾個參考問題，看看大家在研究的過程中是否考慮到：

思考

（1）當a取何值時，函數(shù)的圖象與x軸有4個交點？

（2）函數(shù)圖象會不會經過某些定點？

（3）要使函數(shù)的圖象關于y軸對稱，應當怎么修改函數(shù)的解析式？

（4）參數(shù)a對函數(shù)圖象的影響體現(xiàn)在哪？（學生回答后用幾何畫板輔助演示）

（教師總結：關鍵是有了研究的方法和興趣，就會發(fā)現(xiàn)一些有趣的性質.）

設計意圖 讓學生利用研究函數(shù)的方法，經歷研究分段函數(shù)的過程，初步體會參數(shù)對函數(shù)圖象的影響，運用數(shù)形結合與分類討論的方法分析解決問題.通過思考中的問題，讓學生初步感受到研究函數(shù)的一些方向，一定程度上對學生深入研究函數(shù)帶來一點啟示.

（三）課堂小結

本節(jié)課學習了分段函數(shù).分段函數(shù)是一個函數(shù)的分段表示形式，研究時需要分段研究，整體考慮.定義域是自變量各取值區(qū)間的并集，值域是因變量在各段取值范圍的并集.求函數(shù)值，需找準自變量所在區(qū)間對應的解析式.

（四）布置作業(yè)

作業(yè) P44練習B.

補充題 已知函數(shù)f（x）=x2-x-1，（x≥0）

x2+x-1.（x<0）

（1）畫出函數(shù)的圖象，寫出定義域與值域.

（2）求f（f（1））的值.

（3）求使得f（x）=0的x值.

五、課堂目標檢測設計

1.函數(shù)g（x）的圖象如圖3所示：

圖3

（1）函數(shù)g（x）的解析式 ；

（2）函數(shù)g（x）的定義域為 ；

（3）函數(shù)g（x）的值域為 .

[考核目標：從函數(shù)的圖象得出函數(shù)解析式、定義域及值域]

2.已知f（x）=2x-1，-5≤x<-2

-3，-2≤x<3

x2-14，x≥3 則

（1）f（4）= ；

（2）f（f（4））= ；

（3）f（f（f（4）））= .

[考核目標：從分段函數(shù)的解析式，得出特殊的函數(shù)值]

3.某同學以5km/h的速度從A地步行到相距6km的B地，在B地停留1小時后，再以4km/h的速度返回A地.假設該同學始終以勻速行走，他離A地的距離f（x）是時間x的函數(shù)，則：

（1）函數(shù)f（x）的函數(shù)解析式為 ；

（2）函數(shù)f（x）的定義域為 ；

（3）函數(shù)f（x）的值域為 ；

（4）請在下面給定的坐標系（圖4）中作出函數(shù)f（x）的圖象：

圖4

[考核目標：從實際問題中建構分段函數(shù)的解析式，進而得出定義域、值域，會作出函數(shù)圖象]

6 教學反思

本節(jié)課的教學對象整體基礎較好，思維能力較強，因而課堂比較活躍，推進比較順利.回首本節(jié)課的設計與教學，我還是覺得有一些地方值得改進：

6.1 關于教學設計

教學設計中分段函數(shù)的概念是借助一個引例來給出的，引例中有三個動作：一是寫出一段的函數(shù)解析式；二是補充第二段后再寫出函數(shù)解析式；三是將函數(shù)圖象的第二段往右平移一個單位，體會定義域“斷開”的情形.在實際教學中是放在講完概念、并且回問第一個問題之后再提出來的.從學生的認知規(guī)律來看，實際教學的順序更符合學生的認識次序.所以，原教學設計在此處對學生的認知心理顯得略欠考慮.我很慶幸實際教學中將這一次序調整了過來！作為反思，我想如果將這一教學設計試講一遍，也許會發(fā)現(xiàn)這一問題.

6.2 關于教學過程

本節(jié)課在時間分配、師生互動對話、學生獨立思考、學生高質量回答問題、按教學設計進行教學活動等方面都比較成功，所有教學設計的內容及提問也很適合學生的思維能力，在一定程度上能激發(fā)學生的思維參與.但教學中有一個細節(jié)的失誤卻讓我無法釋懷：

教學設計中練習1是一個實際背景問題，目的是鞏固分段函數(shù)的概念.請學生選用恰當?shù)姆椒ū硎具@個函數(shù)是為了進一步鞏固函數(shù)的表示方法，我期望學生用分段函數(shù)表示出來，然后補充圖象表示方法，并不期望學生用統(tǒng)一的解析式表示.教學時有一個學生給出了解析式f（x）=-[-x5]+1，0

6.3 關于教學效果

本節(jié)課30分鐘課堂教學結束后，學生利用10分鐘時間做了一份目標檢測題和調查問卷，從統(tǒng)計結果看，學生對本節(jié)課的教學目標達成很好，對本節(jié)課的情感體驗和聽課感受也非常理想.我自己完成教學后，整體感覺事先設計的想法都較好地得到了落實，尤其是在最后活動中讓學生思考我設計的參考問題時，同學們都爭先恐后地快速報出了答案，這說明他們在自行研究函數(shù)的圖象時，就已經不自覺地考慮到了這些問題，這正是教學設計的目的所在，檢測學生是否會用分析一般函數(shù)的方法來分析含參數(shù)的分段函數(shù)的圖象和性質.整節(jié)課教與學的活動進行很流暢，學生思維的參與度很高.

6.4 關于教學方法

在本節(jié)課教學過程中，我一直比較沉得住氣，在給出問題后不急于引導，而是讓學生充分地思考，然后充分地交流.在交流過程中，我比較注意傾聽，同時注意對學生的回答予以判斷，及時肯定或提出質疑，與學生進行動態(tài)的對話，并盡可能發(fā)動全班更多的同學參與對話，提高大家的思維參與度.這是我一直比較注重的教學方式，即“設置問題→獨立思考→交流對話→概括總結”，由于它的重要環(huán)節(jié)是“交流對話”，我自己把它稱為“對話法”.

古希臘哲學家和教育家蘇格拉底比較注重用一個問題回答一個問題，在回答中提出新的問題，這種方法被稱為蘇格拉底教學法或詰問法.課堂教學用詰問法進行教學對教師的要求比較高，我認為并不是所有數(shù)學內容都能很好地運用詰問法進行教學，對話法則相對容易上手，如果問題設置合理，它也能較好地促進學生的元認知活動.