基于壓縮感知的水下目標定位*

郭雙樂，彭臨慧，唐瑞春**

（1.中國海洋大學信息科學與工程學院，山東 青島 266100；2.衡水學院數(shù)學與計算機學院，河北 衡水 053000）

在水下目標的被動定位中，匹配場處理扮演著十分重要的角色。匹配場定位的高分辨率、寬容性定位算法是其研究熱點［1］?，F(xiàn)有的匹配場處理通常可分為常規(guī)的匹配場處理和自適應匹配場處理兩大類。

常規(guī)處理器又稱為Bartlett處理器，該處理器首先把拷貝聲場做歸一化，然后用測量數(shù)據(jù)與經(jīng)歸一化處理的聲場做相關(guān)運算。由于該方法具有對模型或參數(shù)誤差不敏感的特點，所以具有很好的寬容性，但是該處理器使用時會出現(xiàn)比較嚴重的旁瓣，并且對聲源的距離估計存在較大的模糊區(qū)間［2］。

自適應匹配場處理是將自適應陣列處理的優(yōu)點融合到匹配場中，權(quán)值向量由拷貝矢量和采樣協(xié)方差矩陣聯(lián)合計算得到，其典型代表是最小方差無畸變（Minimum Variance Distortionless Response，MVDR）處理器［3］。MVDR處理器能夠有效地抑制旁瓣和干擾，對深度分辨率也有很大改善，但是這種處理器對誤差和失配敏感，所以要求傳播模型中的參數(shù)必須準確無誤，并且采樣協(xié)方差的計算要求的快拍數(shù)很多，從而增加了采樣量和計算量。

無論是常規(guī)匹配場定位算法，還是MVDR匹配定位算法，快拍缺失情形都會對定位性能造成影響。在使用MVDR處理器進行定位時，當快拍數(shù)小于接收陣列的陣元個數(shù)時會使得接收信號的協(xié)方差矩陣不滿秩，從而導致了該處理器的定位性能失效。在匹配場中解決此類問題時通常使用Cox H等人提出的固定對角加載的寬容性方法［4］，該方法具有形式簡單、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，同時也具有一定的定位效果，由于它引入了噪聲，降低了陣列增益，不利于弱信號的檢測。同時，MVDR算法不適用于相干源問題，時潔等人提出了基于矢量陣列的MVDR定位算法［5］，雖然對相干源問題有效，但由于該方法只適用于寬帶情形，從而限制了其應用范圍。

針對于已有匹配場定位算法的不足，本文以壓縮感知［6］（Compressive Sensing，CS）理論為基礎(chǔ)，將壓縮感知理論擴展到匹配場定位中，提出了一種基于稀疏信號重建的水下目標被動定位算法。該算法要求的快拍數(shù)較少，并且能夠很好地解決相干源問題。文中給出了仿真算法和運行結(jié)果。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知的概念是2004年由Candes、Romberg和Tao以及Donoho提出的，該理論建立的基礎(chǔ)是信號的稀疏性或可壓縮性，并給出了新的采樣、重構(gòu)方法。從數(shù)學角度來講其解決的是一個非確定線性觀測方程精確解的問題［7］。

目前大多數(shù)壓縮感知理論解決的是單觀測向量（Single Measurement Vector，SMV）問題。具體的講，假設(shè)M和Q為2個正整數(shù)，并且M＜Q，則SMV控制系統(tǒng)（CS）問題可以描述為：

其中：b∈CM；A∈CM×Q；x∈CQ；n∈CM，其中n表示噪聲；‖x‖0表示向量x中非零元素的個數(shù)；矩陣A稱為字典（dictionary），A中的每一個列向量稱為A的原子（atom）。

（1）的求解是1個NP-hard問題，當Q很大時，數(shù)值計算很難實現(xiàn)，所以目前廣泛使用的方法是貪婪算法［8］（以O(shè)MP、OOMP為代表）、凸優(yōu)化算法［9－10］（以LASSO、GPSR等為代表）。

壓縮感知的另一個重要的研究領(lǐng)域是多觀測向量（Multiple Measurement Vectors，MMV）問 題［11－14］。相對于SMV問題，MMV問題所解決的不是單個稀疏信號向量的恢復問題，而是多個具有共同稀疏結(jié)構(gòu)的向量恢復問題。具體的講，假設(shè)M、Q和L為3個正整數(shù)，且M＜Q，多觀測向量CS問題可以描述為：

其中：B∈CM×L；A∈CM×Q；X∈CQ×L；N∈CM×L；‖X‖0表示矩陣X中非零行的個數(shù)。目前常用的MMV信號恢復算法大部分是對已有SMV信號恢復算法的擴展和改進，有貪婪算法（如SOMP［15］）、凸優(yōu)化算法（如混合范數(shù)法［16］）等。

貪婪算法以其算法簡單、計算復雜度低等優(yōu)點被大量應用于解決CS問題中，所以本文應用該算法來實現(xiàn)目標的定位。貪婪算法的基本思想是迭代地從字典中選擇原子，并計算相應的系數(shù)，使得這些原子的線性組合與測量數(shù)據(jù)之間的差別逐漸減小。SOMP（Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit）算 法［12，15］是MMV信號恢復算法中的貪婪算法的典型代表，該算法在每次迭代中，一旦原子選定，就采用Gram-Schmidt算法對當前的原子進行正交化處理。

2 水下目標定位的稀疏模型及其問題描述

文獻［17］給出了水下目標定位的稀疏數(shù)學模型，表述如下：

設(shè)一個二維區(qū)域中有K個聲源，接收陣元有M個，l時刻陣列接收的數(shù)據(jù)可表示為：

其中G＝［g（ω0，r1）g（ω0，r2）…g（ω0，rQ）］稱為測量矩陣，其中

g（ω0，rq）＝［g1（w0，rq）g2（w0，rq）…gM（w0，rq）］T，q＝1，2，…Q，Q表示搜索空間劃分的柵格數(shù)目，在通常情況下Q≥K。gi（w0，rq），（i＝1，2，…，M），表示從位置rq到第i個陣元之間的格林函數(shù)，其中每一個rq對應一個可能的聲源位置。L表示快拍數(shù)，s＊（l）∈CQ表示第l時刻聲源的發(fā)射信號，不存在聲源的位置對應的s＊（l）上的元素為0，n（）l分別表示l時刻的信號噪聲。

式（3）表示為以下矩陣：

其中：X∈CM×L為陣列接收數(shù)據(jù)矩陣；G∈CM×Q為陣列測量矩陣；N∈CM×L為噪聲矩陣；S＊∈CQ×N聲源發(fā)射的信號，在S＊中和聲源位置對應的行元素不為零，其它行對應的元素全都為0，由于聲源的個數(shù)K≤Q，所以S＊具有稀疏性。

圖1給出了二維區(qū)域中匹配場聲源定位的示意圖，其中左邊黑色圓圈部分表示接收陣列，右邊為搜索區(qū)域，此處搜索區(qū)域劃分成若干個用白色圓圈表示的柵格點，灰色圓圈代表聲源（在圖1中聲源數(shù)K＝2），為了簡單起見，在以后的分析中假定聲源在柵格點上（而實際中聲源不一定在柵格點上）。

圖1 匹配場聲源定位示意圖Fig.1 Schematic of matched field sound localization

根據(jù)以上分析，聲源的定位問題可描述如下：定義1 （水下聲源定位問題）M、Q、L3個正整數(shù)分別代表傳水聽器陣列的陣元個數(shù)、環(huán)繞空間的維數(shù)和快拍的個數(shù)，給定測量矩陣G∈CM×Q和觀測矩陣X∈CM×L，并且存在一個S＊∈CQ×N使得X＝GS＊＋N，并且S＊具有K稀疏性，N∈CM×L為一個隨機噪聲矩陣，聲源定位問題要解決的就是通過對下式的求解來實現(xiàn)對聲源位置的估計。

從以上數(shù)學模型可以看出，該模型歸結(jié)為一個典型的MMV問題。為簡單起見，在以后對定位問題的分析中，假設(shè)不存在噪聲，但在仿真中對噪聲對算法定位性能的影響進行分析和說明。在理想情況下，問題（P2）的形式如下

在水聲環(huán)境中，由于聲源個數(shù)K遠遠小于柵格點的個數(shù)Q，由文獻［18］可知當接收陣的陣元數(shù)大于或等于聲源個數(shù)的2倍，即M≥2K時，G的束等距常數(shù)δ2K（G）以很大的概率小于1，所以（6）有唯一解S＝S＊［4］。水下目標定位需要解決的問題是求解出S的支撐集，確定S的支撐集中的元素所對應的聲源位置，從而實現(xiàn)水下聲源的定位。

3 基于壓縮感知的水下目標定位算法

3.1 SOMP算法

SOMP算法基本思想是通過把觀測數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)字典中的所有原子做相關(guān)操作，選擇一個與觀測信號最匹配的原子，通過信號在所選原子的張成空間的正交投影來構(gòu)建觀測信號的一個稀疏逼近，并求出信號殘差，然后繼續(xù)選擇與信號殘差最匹配的原子，反復迭代，信號可以由這些原子的線性組合再加上最后的殘差值來表示。如果殘差值在可以忽略的范圍內(nèi)，則信號就是這些原子的線性組合［19］。SOMP算法計算速度快，實現(xiàn)簡單，應用范圍廣泛。

為了使SOMP算法能夠更好地實現(xiàn)水下目標的定位需要做2方面的工作，首先是對測量矩陣G的列向量g（ω0，rq）的所有列向量進行標準化，其次是對觀測矩陣X的列向量進行精簡，下面分別予以介紹。

3.2 測量矩陣的標準化

SOMP算法對稀疏矩陣進行求解時，要用到觀測矩陣與格林函數(shù)列向量的相關(guān)運算，而相關(guān)運算的結(jié)果和參與運算向量的模成正比。陣列測量矩陣G的列向量g（ω0，rq）是由位置rq到陣元之間的格林函數(shù)組成，而聲場中格林函數(shù)的模和距離成反比，由于距離較遠的聲源相對于陣元的格林函數(shù)的模值比較小，導致觀測向量X和該點對應的格林函數(shù)列的相關(guān)運算結(jié)果比較小，所以SOMP算法對離陣列較遠的聲源定位會產(chǎn)生不利影響。為了克服這種不利影響，我們把測量矩陣G的所有列向量進行標準化，即

很顯然δ2K（G′） 也以很大的概率小于1。

在對矩陣G進行標準化之后，定位問題變?yōu)椋?/p>

需要指出的是，在理想（不存在噪聲）情況下，矩陣G中的列向量進行標準化并不對定位結(jié)果產(chǎn)生影響，即有以下定理：

定理1 （P3）的解與（P4）的解具有相同的支撐集。

證明 假定（P3）的解是Y1，從前面的描述可知Y1＝S＊，下面證明Y2＝DY1是（P4）的解，其中

證明如下：

第一步 證明Y2滿足約束條件。首先證明X＝G′Y2。從前面的分析中知道G′和G的關(guān)系為G′＝GE，其中

很顯然矩陣D和E互為逆矩陣，即E＝D－，所以

所以Y2滿足（P4）的約束條件。

第二步 證明Y2滿足K稀疏。設(shè)Y1的第l行為＝（a1，a2，…，aL），通過前面的論述知道Y2的第l行為＝（a1‖gl（ω0）‖2，a2‖gl（ω0）‖2，…，aL‖gl（ω0）‖2），由于‖gl（ω0）‖2≠0，所以若是零向量，則也是零向量，反之若是非零向量，則也是非零向量。所以Y1和Y2具有相同的稀疏結(jié)構(gòu)，即Y1和Y2均為K稀疏，并且具有同樣的支撐集。

又因為δ2K（G′） ＜1，且Y2滿足K稀疏，所以Y2是（P4）的解，且（P4）解的支撐集也是（P4）解的支撐集。

同理可證（P4）解的支撐集也是（P3）解的支撐集。定理證畢

需要指出的是定位問題只需要求解出問題（P4）解的支撐集即可，而不必關(guān)心解的具體值。

3.3 基于SVD的快拍數(shù)精簡

當（P4）中觀測矩陣X中的快拍數(shù)比較多時，直接使用壓縮感知算法進行定位會導致分辨性能不穩(wěn)定［19］，所以使用SOMP算法前，除了需要對陣列測量矩陣進行標準化，還需要對快拍數(shù)進行精簡，精簡過程可以通過對向量X的奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱SVD）來實現(xiàn)，具體的操作方法如下：

對觀測向量X進行SVD分解

X＝UDrVH，其中Dr為一個r階方陣，并且r＝rank（X）。U∈RM×r和V∈RL×r的列向量都為單位正交向量。VH表示V的共軛轉(zhuǎn)置。此時可以通過如下方法對X和S′進行如下降維：

此時（P4）就轉(zhuǎn)換成如下的形式：

顯然（P4）和（P5）兩者的解具有相同的支撐集。

可以看出（P5）中XSV的列數(shù)為r，且r≤K，從而克服了多快拍情形對壓縮感知方法性能的影響。

3.4 改進的SOMP定位算法

綜上所述，改進后的SOMP算法基本步驟可以歸納如下：

輸入：測量矩陣G，觀測數(shù)據(jù)X，誤差容忍項ε輸出：對S的估計結(jié)果＾S

算法流程：

（1）對陣列測量矩陣G進行標準化

gq（ω0）＝gq（ω0）/‖gq（ω0）‖2，標準化后的矩陣用G′表示。

（2）對于X通過SVD方法進行降維處理，降維后的矩陣用XSV表示。

（3）初始化殘余矩陣X0和索引集S0，使得X0＝XSV，S0＝Φ，其中Φ為空集，初始化循環(huán)計數(shù)變量t＝1。

（5）St＝St－1∪｛lt｝。

（6）計算Xt＝（I－）XSV，其中為到所張成的空間的正交投影矩陣。

（7）t＝t＋1，若‖Xt‖2≥ε，轉(zhuǎn)到（4），否則結(jié)束執(zhí)行。

4 仿真實驗

4.1 單次快拍定位

實驗1 水深100m，海水聲速為1 500m/s，海水密度為1.0×103kg/m3；海底聲速為1 800m/s，海底介質(zhì)密度為1.8×103kg/m3。陣元個數(shù)M＝7，陣元在聲場中的橫坐標都為0，縱坐標分別為10、15、20、25、30、35、40。聲源位置為（1 990，42），（2 490，38）聲源發(fā)射載波頻率為500Hz的非相干LMF信號，SNR＝20dB。水平掃描步長為10m，垂直掃描步長為2m，水平掃描范圍為10～80m，垂直掃描范圍是1 000～3 000m，所使用的快拍數(shù)為1。由于此時信號的協(xié)方差矩陣不滿秩，所以MVDR匹配場算法失效，在此只比較Bartlett算法和SOMP算法的定位性能，仿真結(jié)果如圖2所示，其中圓圈位置為聲源的實際位置。（a）為改進的SOMP算法的定位效果圖，定位結(jié)果為（1 990，42）、（2 490，38），此時的水平定位誤差和垂直定位誤差都為0，所以該算法使用單次快拍可以對聲源進行精確定位。（b）為Bartlett算法的定位效果，從中可以看出其只能定位出位置（1 990，42）的聲源，并且具有很高的旁瓣。

圖2 次快拍條件下定位效果比較Fig.2 Comparison of localization performance with single snapshot

4.2 多次快拍定位

實驗2 除了快拍數(shù)變?yōu)?0，其他仿真參數(shù)都與實驗1相同。對改進的S-OMP、MVDR和Bartlett 3種算法的定位性能進行仿真比較，結(jié)果見圖3。其中（a）為改進的SOMP的定位結(jié)果，可以看出實現(xiàn)了精確的定位。（b）Bartlett的定位效果圖，從圖中可以看出隨著快拍數(shù)的增加Bartlett的定位效果得到了一定的改善，但是還是存在旁瓣過大的不足。（c）為MVDR的定位效果圖，可以看出相對于Bartlett算法，其定位效果明顯要好很多，但是和改進的SOMP算法比起來還有一定的差距。

圖3 多次快拍定位效果比較Fig.3 Comparison of localization performance with multiple snapshots

4.3 相干聲源定位

實驗3 海洋環(huán)境參數(shù)、掃描步長和掃描范圍與實驗1相同。陣元個數(shù)M＝8，陣元在聲場中的橫坐標都為0，縱坐標分別為10、15、20、25、30、35、40、45。聲源位置為（1 990，42）、（2 490，38），聲源發(fā)射頻率為500Hz的LMF信號，且信號相干，SNR＝20dB，所使用的快拍數(shù)為200。仿真結(jié)果如圖4所示。其中（a）為改進的SOMP算法的定位結(jié)果，（b）、（c）分別為 Bartlett、MVDR 2種算法的定位結(jié)果。從中可以看出聲源信號的相干性不影響改進的SOMP算法的定位性能，而對后2種定位算法影響比較大，從（b）、（c）可以看出盡管在聲源位置都出現(xiàn)峰值，但是在其它位置還有很多偽峰。

從以上3組仿真可以看出，在快拍缺失、相干源等情況下改進的SOMP算法定位效果明顯高于Bartlett算法和MVDR算法。

5 結(jié)語

圖4 相干源定位仿真結(jié)果Fig.4 Comparison of localization performance with coherent sources

本文首先建立了水下目標定位的稀疏模型，之后對測量矩陣中的列向量的模進行標準化，以降低由于距離原因?qū)β曉炊ㄎ恍阅艿挠绊?，并且通過奇異值分解來對快拍數(shù)進行精簡，使得SOMP算法能夠高效的實現(xiàn)水下目標的定位。仿真結(jié)果表明，在快拍數(shù)很少以致于MVDR定位功能失效時，該方法仍具有很好的定位效果，在相干源情況下，改進的SOMP定位算法的性能沒有受到影響，仍然具有較高的分辨率。

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