一維四元嵌構(gòu)式聲子晶體低頻禁帶特性研究

邱學(xué)云（文山學(xué)院信息科學(xué)學(xué)院，云南 文山 663099）

聲子晶體具有的聲波禁帶特性可以被應(yīng)用于振動控制、隔音、聲濾波器、波導(dǎo)、超聲換能器等。因此，對聲子晶體的研究成為電子晶體和光子晶體之后的又一種人工編織的周期性復(fù)合材料。理論設(shè)計出能在一定頻率范圍內(nèi)抑制振動傳播的聲子晶體結(jié)構(gòu)，對實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的聲功能特性有著重要的意義［1］。根據(jù)聲子晶體的周期排列形式，一般分為一維、二維和三維結(jié)構(gòu)。其中一維聲子晶體構(gòu)造最為簡單，所以在實(shí)際應(yīng)用中的可能性最大。對一維聲子晶體的研究已經(jīng)在理論計算、模擬仿真和實(shí)驗(yàn)研究3個方面取得階段性成果［2－11］。但對于層狀四元聲子晶體的帶隙分析和研究目前未見報道。為此，筆者根據(jù)聲子晶體理論，基于多層周期性層狀結(jié)構(gòu)在減振隔音方面的應(yīng)用可能，構(gòu)造了一個層狀四元復(fù)式聲子晶體模型，采用集中質(zhì)量法計算該結(jié)構(gòu)的禁帶特性，分析其禁帶變化規(guī)律，這為周期性減振隔音復(fù)合板材的設(shè)計提供了一種新思路。

1 理論模型

實(shí)際工程中的有限層狀結(jié)構(gòu)與理想的一維層狀聲子晶體結(jié)構(gòu)類似，都由不同的多層平板材料沿著垂直于平面材料的方向上具有周期性。因此，筆者構(gòu)造了一個層狀四元復(fù)式聲子晶體模型。一維層狀聲子晶體的振動模式以沿周期方向的彈性波的縱波激發(fā)為主，因此，筆者選擇的層狀四元復(fù)式聲子晶體僅考慮縱波帶隙特性。

圖1是一維四元聲子晶體模型。當(dāng)僅取周期方向?yàn)榇怪庇诓牧蠈用娴腦方向時，該結(jié)構(gòu)與一維桿狀聲子晶體模型相同。設(shè)該模型由A、B、C、D這4種非金屬材料沿X方向交替排列構(gòu)成，取1個周期中A、B、C、D這4種材料的長度分別為d1、d2、d3、d4，即1個晶格常數(shù)a＝d1＋d2＋d3＋d4。

圖1 一維四元嵌構(gòu)式聲子晶體模型

選取組成該一維四元嵌構(gòu)式聲子晶體的4種材料：A為石灰?guī)r，B為coca31－20－50，C為丁腈橡膠，D為coca31－20－30（4種材料的有關(guān)物理參數(shù)如表1所示），這是在傳統(tǒng)一維二組元石灰?guī)r／丁腈橡膠聲子晶體之間分別嵌入2種硅酮橡膠coca31－20－50和coca31－20－30，建構(gòu)一個層狀非金屬四組元聲子晶體結(jié)構(gòu)。根據(jù)固體物理學(xué)中的能帶理論，若層狀周期結(jié)構(gòu)的長度與寬度遠(yuǎn)大于層狀周期結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)，則該結(jié)構(gòu)可視為一維聲子晶體結(jié)構(gòu)。同時，入射波只考慮沿OX方向傳播的平面波為縱波，此時，層狀聲子晶體的振動情況與桿狀聲子晶體的振動情況相同，與固體物理學(xué)中周期性彈簧振子結(jié)構(gòu)類似。可以采用集中質(zhì)量法的思想，假設(shè)組成該聲子晶體的材料都是理想彈性均勻介質(zhì)，可將其均勻地離散化。已有部分文獻(xiàn)基于集中質(zhì)量法對一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行計算［2～7］，研究表明集中質(zhì)量法能更加直觀地描述聲子晶體內(nèi)部作用機(jī)理，方法正確可靠。

圖2是采用集中質(zhì)量法計算得到的一維AB型（石灰?guī)r／丁腈橡膠）層狀聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖，該聲子晶體晶格常數(shù) 為0.04m，計算中每個原胞簡化為自由度數(shù)為320的彈簧振子結(jié)構(gòu)，選取石灰?guī)r／丁腈橡膠的厚度相同，自由度數(shù)都為160?；贛atlab編程計算畫圖就能得到圖2所示結(jié)果，圖2中陰影部分從下到上分別為該聲子晶體的第1、2帶隙，可見起止頻率都很大。圖3是與一維AB型（石灰?guī)r／丁腈橡膠）層狀聲子晶體晶格常數(shù)、總自由度數(shù)和計算方法都相同，計算得到的一維ACBD型（石灰?guī)r／coca31－20－50／丁腈橡膠／coca31－20－30）層狀四元聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖，從圖3可以看出，該四元嵌構(gòu)式聲子晶體第1、2帶隙的起止頻率都很小。顯然在二元AB型層狀結(jié)構(gòu)中嵌入密度和楊氏模量都很小的2種硅酮橡膠能夠極大地改變結(jié)構(gòu)的能帶分布情況。

表1 4種材料的物理參數(shù)

圖2 一維AB型聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖

圖3 一維ACBD型聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖

2 組合類型變化對帶隙特性的影響

對二元AB型與ACBD型層狀結(jié)構(gòu)，分別取相同的晶格常數(shù)為0.04m，組份比為1，即各種材料的厚度相同，分別計算第1、2帶隙的頻率分布情況，結(jié)果見表2。

由表2可知，二元AB型聲子晶體可以看成四元AABB型聲子晶體，當(dāng)把其中的一半A材料和B材料分別替換成C材料和D材料時，就能組合成四元嵌構(gòu)式聲子晶體。從表2的計算結(jié)果可以看出二元AB型聲子晶體第1帶隙的起止始頻率分別比四元ACBD型聲子晶體的高92倍和160倍。顯然，嵌構(gòu)式四元聲子晶體能有效改變二元結(jié)構(gòu)的帶隙分布，且從四元ACBD型聲子晶體的帶隙情況可以看出該組合結(jié)構(gòu)能很好地控制低頻聲波。

表2 2種結(jié)構(gòu)不同組合類型的帶隙情況

另外，對于四元ACBD型聲子晶體，當(dāng)C材料和D材料的嵌構(gòu)位置變化時，第1、2帶隙的起止頻率又會發(fā)生變化。如選擇ACBD型（石灰?guī)r／coca31－20－50／丁腈橡膠／coca31－20－30）與ACDB型（石灰?guī)r／coca31－20－50／coca31－20－30／丁腈橡膠）結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)ACDB型組合的第1帶隙起始頻率比ACBD型組合的第1帶隙起始頻率低，差值為15.1945Hz，且ACDB型組合的第1帶隙比ACBD型組合的第1帶隙的帶寬增大了108.678Hz。同時，也發(fā)現(xiàn)ACDB型組合的第2帶隙起始頻率比ACBD型組合的第2帶隙起始頻率增高了82.9293Hz，帶隙寬度減小了61.1298Hz。ABCD型與ACDB型排列情況類似，都是密度和楊氏模量都較小的C／D材料集中嵌構(gòu)在A／B或B／A材料中，所以兩者的帶隙分部差別很小。顯然，嵌構(gòu)式四元聲子晶體中，密度和楊氏模量都較小的C／D材料集中排列，能更好地獲得第1帶隙低頻寬帶的要求，更有利于實(shí)現(xiàn)低頻聲波的控制。

3 晶格常數(shù)對帶隙的影響

對于4種材料復(fù)合成的一維四元聲子晶體，選擇ACBD型（石灰?guī)r／coca31－20－50／丁腈橡膠／coca31－20－30）為對象，固定各材料的密度、彈性模量，僅改變材料的晶格常數(shù)來計算其帶隙變化的情況。圖4給出了一維四元ACBD型（石灰?guī)r／coca31－20－50／丁腈橡膠／coca31－20－30）聲子晶體帶隙與晶格常數(shù)的關(guān)系。計算中設(shè)定該系列聲子晶體中各層材料的厚度相同，且每種材料自由度數(shù)都取80，取晶格常數(shù)由0.02m增大到0.12m。由圖4可以看出，隨著晶格常數(shù)a的增大，該一維四元聲子晶體的第1、2帶隙的起止頻率都逐漸減小，并且2個帶隙的帶寬也逐漸減小。減小的程度隨著晶格常數(shù)的增大第1帶隙減小緩慢，第2帶隙減小迅速，但都同時向低頻率區(qū)靠近。所以可通過調(diào)節(jié)聲子晶體晶格常數(shù)的大小來獲得所需的帶隙。

圖4 晶格常數(shù)與一維ACBD型聲子晶體帶隙的關(guān)系

圖5 材料厚度與一維ACBD型聲子晶體帶隙的關(guān)系

4 組分比變化對帶隙特性的影響

對于一維四元ACBD型（石灰?guī)r／coca31－20－50／丁腈橡膠／coca31－20－30）聲子晶體，當(dāng)保持該聲子晶體的晶格常數(shù)不變，保持各材料的密度、彈性模量不變，僅改變材料的組分比，即改變組合材料的厚度時，也可以改變該聲子晶體的帶隙分布。圖5是選取組成該類型聲子晶體材料的密度、彈性模量不變，晶格常數(shù)固定為0.32m，同時增大A、B、C這3種材料的厚底，減小D材料的厚度，即A、B、C這3種材料的組分比同時等比例增大，D材料的組分比減小，通過計算得到的一維ACBD型聲子晶體帶隙分布情況。

從圖5可以看出，隨著A、B、C這3種材料的厚度由6mm增大到10mm，該系列聲子晶體第1帶隙起始頻率逐步減小、截止頻率逐步增大，第1帶隙帶寬逐步展寬。當(dāng)d取10mm時，第1帶隙帶寬最大為239.4Hz。同時，第2帶隙起始頻率逐步增大、截止頻率先增大后減小，第2帶隙帶寬先增大后減小。當(dāng)4種材料厚度同為8mm，即組分比為1時，第2帶隙帶寬最大為352.1Hz。顯然，組分比變化對帶隙的調(diào)控也很明顯，必要時，也可以通過調(diào)節(jié)聲子晶體組分比即組合材料的厚度來獲得所需的帶隙。

5 結(jié)論

當(dāng)把一維二元AB型聲子晶體看成四元AABB型聲子晶體時，將其中一半A材料和一半B材料分別替換成C材料和D材料時，就能組合成四元嵌構(gòu)式聲子晶體。選取4種非金屬材料石灰?guī)r、丁腈橡膠、coca31－20－50、coca31－20－30構(gòu)成一個代表性結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行系列計算，結(jié)果表明：

1）晶格常數(shù)都為0.04m的一維二元（石灰?guī)r／丁腈橡膠）層狀聲子晶體第1帶隙的起始頻率為12143Hz，第2帶隙的截止頻率為62086Hz，2個頻率都很高；一維四元（石灰?guī)r／coca31－20－50／丁腈橡膠／coca31－20－30）嵌構(gòu)式層狀聲子晶體的第1帶隙起始頻率為132.1222Hz，第2帶隙截止頻率為534.6435Hz，2個頻率都很低，這一禁帶特性能夠?qū)崿F(xiàn)低頻聲波的控制。

2）在4種非金屬材料石灰?guī)r、coca31－20－50、丁腈橡膠、coca31－20－30的不同組合中，密度和楊氏模量都較小的2種硅酮橡膠材料coca31－20－50、coca31－20－30集中排列時，一維四元ACDB層狀聲子晶體的第1帶隙更容易實(shí)現(xiàn)低頻寬帶的要求。

3）隨著晶格常數(shù)的增大，一維四元嵌構(gòu)式聲子晶體第1、2帶隙的起止頻率和帶寬都會減小，第1帶隙減小緩慢，第2帶隙減小迅速，但都向低頻率區(qū)靠近。

4）對于一維四元嵌構(gòu)式聲子晶體，組分比變化對帶隙的調(diào)控也很明顯。必要時，也可以通過調(diào)節(jié)聲子晶體組分比即組合材料的厚度來獲得所需的禁帶帶隙。

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