基于時(shí)間異質(zhì)性的微博信息傳播模型

吳聯(lián)仁，李瑾頡，閆 強(qiáng)（.北京第二外國語學(xué)院酒店管理學(xué)院 北京 朝陽區(qū) 0004；.北京郵電大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 海淀區(qū) 00876；3.圣母大學(xué)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與應(yīng)用跨學(xué)科研究中心 南本德 印第安納州 美國 46556）

基于時(shí)間異質(zhì)性的微博信息傳播模型

吳聯(lián)仁1，李瑾頡2，3，閆 強(qiáng)2
（1.北京第二外國語學(xué)院酒店管理學(xué)院 北京 朝陽區(qū) 100024；2.北京郵電大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 海淀區(qū) 100876；3.圣母大學(xué)網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與應(yīng)用跨學(xué)科研究中心 南本德 印第安納州 美國 46556）

提出了具有時(shí)間異質(zhì)性的SI（susceptible-infected）傳播模型。通過構(gòu)建異質(zhì)的時(shí)間間隔序列，將微博信息傳播動(dòng)力學(xué)過程在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上仿真。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)信息新接受個(gè)體數(shù)n（t）以冪律形式減少，n（t）～t?β。與傳統(tǒng)假設(shè)的時(shí)間間隔服從泊松分布的信息傳播模型相比，時(shí)間間隔服從冪律分布的傳播速度要緩慢很多。同時(shí)，傳播動(dòng)力學(xué)的冪指數(shù)β受行為時(shí)間間隔分布冪指數(shù)a影響，且具有關(guān)系β≈a?1。本文的仿真分析結(jié)果與理論預(yù)測結(jié)果一致。

BA網(wǎng)絡(luò)；SI模型；傳播動(dòng)力學(xué)；時(shí)間異質(zhì)性

傳播動(dòng)力學(xué)代表了許多真實(shí)的社會(huì)現(xiàn)象，如新興傳染病和信息流動(dòng)，學(xué)者在這方面進(jìn)行了多年的研究。傳統(tǒng)的信息傳播模型研究假設(shè)事件發(fā)生的時(shí)間和聯(lián)系人的連接模式具有同質(zhì)性［1］。最近學(xué)者針對(duì)經(jīng)典傳播動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了改進(jìn)，以說明社交網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜連接模式［2］和非泊松特性的人類活動(dòng)模式［3-8］。學(xué)者已經(jīng)在具有連接異質(zhì)性存在的情況下，對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了深入的研究，特別是在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，P（k）～k?a，具有代表性的是萬維網(wǎng)、合著者網(wǎng)絡(luò)，以及許多其他社交網(wǎng)絡(luò)［9-13］。

另一方面，時(shí)間異質(zhì)性對(duì)人類行為的影響剛被認(rèn)識(shí)。各種不同的人類活動(dòng)方式，從電子郵件回復(fù)等待時(shí)間間隔、在線交易和網(wǎng)頁訪問的行為時(shí)間間隔、到及時(shí)通信行為時(shí)間間隔［14-16］，如果只考慮活動(dòng)行為的時(shí)間，這些行為能夠很好地用冪律的時(shí)間間隔分布來描述P（τ）～τ?a，τ表示連續(xù)兩次行為的時(shí)間間隔。這些發(fā)現(xiàn)與傳統(tǒng)的模型假設(shè)“人類行為時(shí)間間隔服從泊松分布”完全不同。人類行為的時(shí)間異質(zhì)性是否影響信息傳播的動(dòng)力學(xué)？

微博作為為大眾提供信息分享和交流的平臺(tái)，其中的信息傳播和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)得到了深入的研究［17-18］。本文以新浪微博為研究對(duì)象，認(rèn)為轉(zhuǎn)發(fā)和評(píng)論（一般評(píng)論后伴隨著轉(zhuǎn)發(fā)）是微博用戶最常用的行為，研究微博用戶轉(zhuǎn)發(fā)、評(píng)論微博信息的時(shí)間特性是否影響微博信息的傳播動(dòng)力學(xué)。

本文基于對(duì)新浪微博數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，建立基于時(shí)間異質(zhì)性的微博信息傳播模型，對(duì)模型的傳播動(dòng)力學(xué)給出理論分析；通過一種算法構(gòu)造異質(zhì)的時(shí)間間隔序列（即時(shí)間間隔序列服從冪律分布），再通過BA網(wǎng)絡(luò)模型生成一個(gè)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行信息傳播模型仿真。

1 數(shù)據(jù)描述與分析

通過“網(wǎng)絡(luò)爬蟲”，以滾雪球抽樣的方法抓取了新浪微博上某一熱門話題中的所有參與用戶和微博信息，一共搜集到175名用戶和125 150條微博信息。這些信息總共被轉(zhuǎn)發(fā)了2 260 826次，被評(píng)論了1 786 000次。收集數(shù)據(jù)的時(shí)間窗口是從2009年8月20日～2010年9月3日，共380天。針對(duì)每條信息，收集了信息ID、信息獲得的轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)和評(píng)論數(shù)、信息被轉(zhuǎn)發(fā)和評(píng)論的時(shí)間。收集了用戶的ID、粉絲數(shù)、關(guān)注數(shù)和微博數(shù)。數(shù)據(jù)格式如表1和表2所示。

表1 信息數(shù)據(jù)格式

表2 用戶數(shù)據(jù)格式

根據(jù)用戶轉(zhuǎn)發(fā)、評(píng)論微博的時(shí)間數(shù)據(jù)，研究用戶連續(xù)兩次行為的時(shí)間間隔。圖1a描述的是群體層面，用戶連續(xù)兩次微博行為的時(shí)間間隔服從冪律分布，冪指數(shù)為2.5，并且具有明顯的胖尾特征。與網(wǎng)頁瀏覽、在線電影點(diǎn)播和社交網(wǎng)絡(luò)中行為的時(shí)間間隔分布冪指數(shù)相近，都在1.0～3.0之間［19-20］。

以微博單位時(shí)間內(nèi)獲得的行為數(shù)（轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)與評(píng)論數(shù)之和）研究微博的傳播情況。對(duì)125 150條微博進(jìn)行篩選，選出獲得行為數(shù)大于10的微博，總共有69 440條微博（微博獲得的行為數(shù)太少，統(tǒng)計(jì)特征不明顯）。以天為單位，統(tǒng)計(jì)每條微博每天獲得的行為數(shù)，然后對(duì)69 440條微博在每天獲得的行為數(shù)求平均值。微博每天獲得的行為數(shù)分布情況如圖1b所示。圖中橫坐標(biāo)是時(shí)間，單位為天，縱坐標(biāo)是微博獲得行為數(shù)的均值。行為數(shù)以冪律形式消亡（冪指數(shù)β=1.5）。如果一個(gè)新的行為（轉(zhuǎn)發(fā)或評(píng)論）認(rèn)為是一個(gè)新感染個(gè)體（即一個(gè)新用戶）在閱讀微博后做出的行為，則微博信息新感染個(gè)體數(shù)n（t）以冪律形式減少，n（t）～t?β，β=1.5。冪指數(shù)β=1.5與圖1a中用戶行為時(shí)間間隔分布冪指數(shù)a=2.5相差為1。

圖1 新浪微博數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果

圖1c描述的是每條微博的生命周期。微博的生命周期指在數(shù)據(jù)收集時(shí)間窗口，微博首次發(fā)出時(shí)刻到最后一條與該微博相關(guān)轉(zhuǎn)發(fā)或評(píng)論發(fā)出時(shí)刻的時(shí)間間隔。如圖1c所示，橫軸表示微博生命周期，單位為天?？v軸表示具有該生命周期的不同微博數(shù)N。微博生命周期服從指數(shù)為1.4的冪律分布，并且具有顯著的胖尾特征。這說明大部分微博的生命周期很短，只有少部分微博具有長的生命周期，在微博社區(qū)中成為熱點(diǎn)話題，具有較高的流行度。

2 模型建立

基于上述問題，對(duì)模型的描述如下。1）信息傳播過程：在微博使用過程中，每個(gè)用戶具有微博首頁和個(gè)人頁面兩個(gè)列表。用戶關(guān)注的對(duì)象如果發(fā)出信息，都將顯示在微博首頁上。因此，用戶收到好友發(fā)送的信息存儲(chǔ)在微博首頁上，當(dāng)用戶打開微博查看信息時(shí)，就會(huì)對(duì)感興趣的微博進(jìn)行轉(zhuǎn)發(fā)或評(píng)論。用戶會(huì)以一定的概率轉(zhuǎn)發(fā)收到的微博信息，轉(zhuǎn)發(fā)信息存儲(chǔ)在個(gè)人頁面上。2）時(shí)間異質(zhì)性：根據(jù)微博用戶的實(shí)際使用情況，每個(gè)用戶都有自己的習(xí)慣。因此，假設(shè)每個(gè)用戶個(gè)體i具有一個(gè)固定的使用時(shí)間間隔τi，并且在群體層面用戶行為（轉(zhuǎn)發(fā)或評(píng)論行為）時(shí)間間隔服從冪律分布P（τ）～τ?a，2＜a≤3。當(dāng)用戶收到一條信息到將這條信息轉(zhuǎn)發(fā)（或評(píng)論分享）出去的時(shí)間間隔稱為轉(zhuǎn)發(fā)信息的時(shí)間間隔，表示為Δ，則轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔分布記為g（Δ）～Δ?β。

基于上述模型的描述，本文提出的微博信息傳播模型具有以下規(guī)則。1）假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中總共有N個(gè)個(gè)體，在時(shí)間步t=ti，隨機(jī)選擇一個(gè)個(gè)體i發(fā)出微博，其他個(gè)體對(duì)該微博信息均未知。2）個(gè)體j收到該微博，其中j∈δi，δi是個(gè)體i的鄰居集合。對(duì)每個(gè)個(gè)體j，第一個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間步是tj0∈（ti，ti+τi）。并且時(shí)間步t=tj0+kτj，k=1，2，3，…都是j的轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間步。其中τj是個(gè)體j的轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔。3）在每個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間步，個(gè)體j將以一定概率λ轉(zhuǎn)發(fā)微博。如果個(gè)體j在tj時(shí)刻轉(zhuǎn)發(fā)微博，可以得到j(luò)的微博轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間Δ=tj?ti，并且滿足Δ＜T，T表示微博在微博首頁保留的時(shí)間上限。4）更新時(shí)間步t=tj，重復(fù)第2步到第4步直到設(shè)定的時(shí)間步。

3 理論分析

為了研究時(shí)間異質(zhì)性對(duì)微博信息傳播動(dòng)力學(xué)的影響，本文提出了兩個(gè)假設(shè)，并給出了相應(yīng)的理論推導(dǎo)。

假設(shè)1：假設(shè)微博轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔服從冪律分布g（Δ）～Δ?β，并且1＜β＜2，則微博傳播速度的消亡形式也服從冪律分布n（t）～t?β，并且具有相同的冪指數(shù)β。

證明：考慮傳播過程的一般理論，假設(shè)傳播過程在一個(gè)沒有環(huán)形結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)上，并且在t=0時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中只有一個(gè)感染個(gè)體，其他都是易感染個(gè)體。則在t時(shí)刻新感染個(gè)體的平均數(shù)可以表示為［21］：

式中，zd表示在離初始感染節(jié)點(diǎn)第d步的平均易感個(gè)體數(shù)；D為d的最大值；?表示卷積，如：

當(dāng)1?d時(shí)，可以得到：

因此，式（3）為：

即：

假設(shè)得證。

該假設(shè)表示如果微博轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔服從冪指數(shù)為β的冪律分布，則微博信息傳播速度將服從同樣的冪律分布。

假設(shè)2：假設(shè)個(gè)體行為時(shí)間間隔服從冪律分布P（τ）～τ?a，2＜a＜3，則微博信息傳播速度的消亡形式服從冪律分布n（t）～t?β，1＜β＜2并且β=a?1。

證明：當(dāng)個(gè)體行為時(shí)間間隔服從冪律分布P（τ）～τ?a，2＜a＜3，則時(shí)間間隔τi具有有限的平均值。

由于轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔概率密度函數(shù)與個(gè)體行為時(shí)間間隔概率密度函數(shù)有如下關(guān)系：

根據(jù)假設(shè)1可以得到：

即：

假設(shè)得證。

4 數(shù)值仿真與分析

4.1 異質(zhì)時(shí)間間隔序列的構(gòu)造

圖2 構(gòu)造的時(shí)間間隔序列

本文建立的模型需要給每個(gè)節(jié)點(diǎn)i分配一個(gè)固定的時(shí)間間隔τi，并且τi取自冪律分布P（τ）～τ?a。由于冪律分布在產(chǎn)生時(shí)間間隔時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)極大的值，因此需要事先對(duì)時(shí)間間隔τi設(shè)定一個(gè)上限M。即本文的目的就轉(zhuǎn)變?yōu)樯梢幌盗姓麛?shù)τ∈［1，M］，并且滿足P（τ）～τ?a。根據(jù)文獻(xiàn)［23］中提出的算法，在給定初值M和β，然后隨機(jī)生成一個(gè)0～1之間的實(shí)數(shù)，就可以得到時(shí)間間隔序列τ，服從冪指數(shù)為β的冪律分布，且對(duì)任何β時(shí)間間隔序列τ具有相同的平均值。采用同樣的方法，也可以產(chǎn)生服從指數(shù)分布P（τ）～τ?aτ的時(shí)間間隔序列。通過該算法獲得的服從冪律分布和指數(shù)分布的時(shí)間間隔序列如圖2所示。

在圖2a中小圓圈代表的是冪指數(shù)a=2產(chǎn)生的時(shí)間間隔，小方塊代表的是冪指數(shù)a=3產(chǎn)生的時(shí)間間隔。圖2b中小圓圈代表的是泊松過程，時(shí)間間隔服從指數(shù)分布P（τ）～τ?aτ，并且指數(shù)a=1。在以上兩種情況下，個(gè)體總數(shù)N=104，時(shí)間間隔的上限M=105。并且，獲得的3個(gè)序列的時(shí)間間隔的平均值都為=1.96。

4.2 仿真與分析

在4.1節(jié)生成的時(shí)間間隔序列基礎(chǔ)上，該小節(jié)首先通過Barabasi和Albert提出的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型生成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，仿真的微博信息傳播過程在生成的網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行。網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)量N=104，初始節(jié)點(diǎn)數(shù)N0=200，平均度=10，T=1 440，轉(zhuǎn)發(fā)率λ=0.5。在每一個(gè)時(shí)間步，網(wǎng)絡(luò)中添加一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)增長，同時(shí)這個(gè)新的節(jié)點(diǎn)總是傾向于選擇連接網(wǎng)絡(luò)中舊節(jié)點(diǎn)中度較大的節(jié)點(diǎn)。模型的初始條件是：當(dāng)t=0時(shí)隨機(jī)選擇一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)，其他都是易感染節(jié)點(diǎn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)i給定一個(gè)固定的時(shí)間間隔τi，τi取自冪律分布P（τ）～τ?a，2＜a＜3。并且將時(shí)間間隔服從指數(shù)分布P（τ）～τ?aτ的情況加入到文中進(jìn)行比較。模擬結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 數(shù)值仿真結(jié)果

圖3a描述的是在初始只有一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)的情況下，新感染個(gè)體數(shù)n（t）隨時(shí)間消亡的形式，個(gè)體行為時(shí)間異質(zhì)性冪指數(shù)分別為a=2.8、a=2.5和a=2.2的冪律分布P（τ），及a=1.0的指數(shù)分布，P（τ）～τ?aτ，所有分布P（τ）有相同的平均時(shí)間間隔=1.96。圖3b所有個(gè)體行為時(shí)間間隔分布P（τ）對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔分布g（Δ）。圖中的連續(xù)直線分別是對(duì)應(yīng)圖形的擬合，兩個(gè)圖中的黑線斜率都分別近似等于?1.8，?1.5和?1.2，圖中結(jié)果是2×103次獨(dú)立運(yùn)行的平均值。

從仿真結(jié)果看出在個(gè)體行為時(shí)間間隔服從冪律分布情況下新感染個(gè)體數(shù)n（t）和轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間g（Δ）都服從冪指數(shù)為β≈a?1的冪律分布。新感染個(gè)體數(shù)和轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔與個(gè)體行為密切相關(guān)，表明個(gè)體行為對(duì)信息傳播具有影響。個(gè)體行為的時(shí)間間隔冪指數(shù)越大，則新感染個(gè)體數(shù)n（t）消亡也越快。當(dāng)個(gè)體行為時(shí)間間隔服從冪律分布，則新感染個(gè)體數(shù)n（t）也以冪律形式消亡。

圖4 數(shù)值仿真結(jié)果

圖4a中顯示了冪指數(shù)分別為a=2.8、a=2.5和a=2.2的冪律分布P（τ），以及a=1.0的指數(shù)分布，P（τ）～τ?aτ。從圖4仿真結(jié)果可以看出，時(shí)間間隔分布冪指數(shù)a越小，時(shí)間間隔的異質(zhì)性越大，信息傳播的速度越慢，感染個(gè)體的比例也越低。且本文中時(shí)間間隔服從冪律分布的模型的信息傳播速度顯著地慢于時(shí)間間隔服從泊松布分的模型。

5 結(jié)論

微博系統(tǒng)下信息傳播的影響因素有很多，例如微博網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、個(gè)體行為的方式。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)異質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（如無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)）上的信息傳播動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了深入的研究。近年來，大量實(shí)證研究表明個(gè)體的活動(dòng)行為具有時(shí)間異質(zhì)性，這主要表現(xiàn)在不同個(gè)體對(duì)信息做出處理的等待時(shí)間不同，從而產(chǎn)生了服從冪律分布的行為時(shí)間間隔。通過實(shí)際微博數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析說明異質(zhì)的行為時(shí)間間隔對(duì)微博信息傳播具有影響。

文章進(jìn)一步提出了基于時(shí)間異質(zhì)性的信息傳播模型，強(qiáng)調(diào)了時(shí)間異質(zhì)性對(duì)信息傳播的影響。數(shù)值仿真結(jié)果和理論預(yù)測結(jié)果一致表明，先前假設(shè)傳播時(shí)間間隔服從泊松分布的情況，其傳播速度顯著的快于時(shí)間間隔服從冪律分布的情況。并且個(gè)體行為模式對(duì)信息傳播過程具有顯著的影響，時(shí)間間隔分布冪指數(shù)越小，即時(shí)間間隔的異質(zhì)性越大，信息傳播的速度越慢，感染個(gè)體的比例也越低。

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編輯 蔣 曉

Micro-Blog Information Spreading Model Based on Temporal Heterogeneity

WU Lian-ren1，LI Jin-jie2，3，and YAN Qiang2
（1.School of Hospitality Management，Beijing International Studies University Chaoyang Beijing 100024；2.School of Economics and Management，Beijing University of Posts and Telecommunications Haidian Beijing 100876；3.Interdisciplinary Center for Network Science and Applications，University of Notre Dame South Bend Indiana USA 46556）

A susceptible-infected（SI）spreading model with temporal heterogeneity is proposed.By generating heterogeneous time-interval sequence，the spreading dynamics processes are simulated on scale-free networks.The results show that the number of new infectionsn（t）decays with a power law，n（t）～t?β，leading to extremely slow prevalence decay.And the power-law exponent in the spreading dynamicsβis related toa，β≈a?1.These observations are well supported by both the theoretical predictions and simulation analysis.

BA networks；SI model；spreading dynamics；temporal heterogeneity

TP391

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.05.003

2014-06-06；

2015-06-16

北京市社科基金項(xiàng)目（13KDB011）

吳聯(lián)仁（1985-），男，博士，主要從事社交媒體、信息傳播方面的研究.