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      高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析及對策研究

      2015-11-30 09:11:29陳燕鋒杭州市蕭山三中
      散文百家 2015年7期
      關(guān)鍵詞:奇偶性定義概念

      陳燕鋒杭州市蕭山三中

      高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析及對策研究

      陳燕鋒
      杭州市蕭山三中

      一、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析

      當(dāng)前,不重視概念教學(xué)是一個(gè)比較普遍的現(xiàn)象,“一個(gè)定義,三個(gè)注意項(xiàng)”式的概念教學(xué)比比皆是,讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念枯燥乏味,影響了對數(shù)學(xué)概念的理解。先看我校高一備課組舉行的“同課異構(gòu)”教研活動(dòng)中兩位教師執(zhí)教的關(guān)于“函數(shù)的奇偶性”一課的案例片斷。

      【教師甲】

      師:前面我們研究了函數(shù)的單調(diào)性,同學(xué)們已經(jīng)知道函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),它在解決函數(shù)的問題中有著十分廣泛的應(yīng)用。今天這節(jié)課,我們要學(xué)習(xí)函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)——奇偶性。(板書課題:函數(shù)的奇偶性)

      師:什么是函數(shù)的奇偶性呢?請大家打開課本第33和35頁,看教材中是怎么闡述的。(大約2分鐘后)

      師:哪位同學(xué)說說看。

      生1:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對于任意的x?A,都有f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),如果對于任意的x?A,都有f(-x)=-f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)。(學(xué)生口述,教師板書)

      師:很好!如果函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),它的定義域A應(yīng)該具有怎樣的特點(diǎn)?

      生2:關(guān)于原點(diǎn)對稱。

      師:說說你的理由。

      生2:因?yàn)槿绻鹸?A,則只有-x?A,才能計(jì)算f(-x)。

      師:真不錯(cuò)!如果函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),它的圖象又具有怎樣的特點(diǎn)呢?

      生3:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

      師:非常好!看來同學(xué)們已經(jīng)作了很好的預(yù)習(xí)。如果函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),我們就說函數(shù)y=f(x)具有奇偶性。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì),它在解決函數(shù)問題時(shí)有著十分廣泛的應(yīng)用。請大家看下面的問題。(投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4)

      (師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程,深化對函數(shù)奇偶性的認(rèn)識和理解。)

      【教師乙】

      師:請同學(xué)們回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性的定義、單調(diào)區(qū)間及判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。

      (學(xué)生回答略)

      師:很好!下面我們研究函數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)——奇偶性。

      師:請同學(xué)們先看一個(gè)我們熟悉的函數(shù)f(x)=x2,計(jì)算f(1)與f(-1),f(2)與f(-2),f(3)與f(-3),能得出怎樣的結(jié)論?

      生:對于y=x2,當(dāng)自變量取一對相反數(shù)時(shí),y取同一值.f(x)= y=x2記,有,一般地,有f(-x)=-f (x)。

      由此啟發(fā)學(xué)生得出奇(偶)函數(shù)的定義.強(qiáng)調(diào):①定義本身蘊(yùn)含著函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間;②“定義域內(nèi)任一個(gè)”是指對定義域內(nèi)的每一個(gè)x;③判斷函數(shù)奇偶性最基本的方法是先看定義域,再用定義檢查f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f (x))。

      (以下是例題鞏固、數(shù)學(xué)應(yīng)用的環(huán)節(jié))

      從上面兩個(gè)案例不難看出當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀:

      現(xiàn)狀一:一個(gè)定義三項(xiàng)注意

      教師甲從上課開始到給出定義,總共花了不到10分鐘的時(shí)間,接著進(jìn)行運(yùn)用函數(shù)奇偶性的概念進(jìn)行解題的訓(xùn)練。對函數(shù)奇偶性這一概念建立的過程沒有很好地展開,為什么要研究函數(shù)的奇偶性?函數(shù)的奇偶性的定義為什么要這樣給出?…課堂中,教師不舍得在概念、定義的發(fā)生發(fā)展過程上花時(shí)間,認(rèn)為這樣“太虛”,不如讓學(xué)生多做幾個(gè)題目實(shí)在。因而概念教學(xué)常常用“一個(gè)定義三項(xiàng)注意”的方式,告訴學(xué)生定義的內(nèi)容,強(qiáng)調(diào)幾個(gè)注意事項(xiàng),然后就講例題、做練習(xí)。實(shí)踐表明,這樣的教學(xué)結(jié)果只能是機(jī)械模仿,不可能有理想的解題質(zhì)量和效率。

      現(xiàn)狀二:無視學(xué)生認(rèn)知需求

      教師乙讓學(xué)生通過對兩個(gè)特殊函數(shù)的研究,抽象出函數(shù)奇偶性的概念,符合特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。但是,為什么要研究函數(shù)的奇偶性?為什么要計(jì)算f(1),f(-1),…?為什么要用這樣的方式給出函數(shù)奇偶性的定義?顯然,教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和過程實(shí)施時(shí),只是為了教而教,無視學(xué)生的認(rèn)知需求,其結(jié)果是忽視了構(gòu)成概念的基礎(chǔ)條件,留給學(xué)生更多的只是些文字和公式,所傳授的概念距離學(xué)生的理解和經(jīng)驗(yàn)太遠(yuǎn),影響數(shù)學(xué)概念的掌握。

      二、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的對策研究

      在概念的教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu),提高概念外化與內(nèi)質(zhì)抽象的思維質(zhì)辨力度呢?為此,筆者嘗試在概念形成的不同階段,選擇運(yùn)用不同的教學(xué)策略,供大家參考。

      對策1:創(chuàng)設(shè)情境,感知概念

      概念的感知是形成概念的前提,學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識是通過教師的直觀教學(xué)方法獲得的。概念的引入是概念教學(xué)的關(guān)鍵,概念是抽象的、概括的,每一個(gè)概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景,形成準(zhǔn)確概念的首要條件是要讓學(xué)生獲得十分豐富和合乎實(shí)際的感性材料,在概念教學(xué)中,可以根據(jù)概念和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景,體會(huì)到數(shù)學(xué)概念引進(jìn)的必要性和必然性,讓學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)的感覺,幫助學(xué)生完成從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡。

      【案例1】“n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)”的概念教學(xué)片斷問題情境設(shè)計(jì):

      用動(dòng)畫創(chuàng)設(shè)情境,丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹,假設(shè)每棵樹的成活率都為0.75,請思考以下兩個(gè)問題:(1)他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響?8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響?(2)所種的每一棵樹,可能出現(xiàn)哪些不同的結(jié)果?

      進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境,對比分析,感知概念。

      在下列試驗(yàn)中,與丙丙和丁丁種樹試驗(yàn)具有共同特征的有()

      ①某射手射擊一次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊4次。

      ②姚明罰球的命中率是0.9,他連罰3次。

      ③一枚硬幣連續(xù)扔5次。(5枚硬幣一起扔出)

      ④袋中5個(gè)白球,3個(gè)紅球,有放回取球,每次取一個(gè),連續(xù)3次。

      ⑤袋中5個(gè)白球,3個(gè)紅球,無放回取球,每次取一個(gè),連續(xù)3次。

      點(diǎn)評:通過以上情境設(shè)置,學(xué)生思考,教師引導(dǎo)感知,形成概念。師生共同歸納得出現(xiàn)象的共同點(diǎn):在同樣條件下重復(fù)的進(jìn)行的一種試驗(yàn);各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立,相互之間沒有影響;每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即某事發(fā)生或不發(fā)生,并且任意一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的,揭示概念。

      【感悟】教學(xué)時(shí)不要生硬地拋出概念,讓學(xué)生死記硬背,應(yīng)從實(shí)際出發(fā),創(chuàng)設(shè)情景,提出問題,通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子,使學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中感知概念,形成感性認(rèn)識。比如;我們在講圓柱、圓錐、球的概念時(shí),由于圓柱、圓錐、球?qū)儆谌S圖形,用平面直觀圖難免會(huì)造成視覺上的失真,我們可以借助教具、利用幾何畫板動(dòng)畫展示幫助學(xué)生理解,讓學(xué)生在活動(dòng)中思考、感悟和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過程,從而豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

      對策2:自主探索,生成概念

      概念的生成過程教學(xué)就是讓學(xué)生參與和經(jīng)歷概念生成的整個(gè)思維過程。因此,在教學(xué)中,恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),充分展示數(shù)學(xué)知識的形成過程,讓學(xué)生弄清概念的來龍去脈,認(rèn)識它的必要性和合理性,讓學(xué)生在體驗(yàn)中自主探究,生成概念,概念在其生成的過程中逐漸明朗化,可以更好的幫助學(xué)生深化對概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念的意識和能力。

      【案例2】“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”概念教學(xué)片段

      第一步:在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題,使學(xué)生體驗(yàn)新概念的一個(gè)具體背景。

      師:前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的有關(guān)知識,請同學(xué)們試解決下面問題:

      (學(xué)生思考并動(dòng)筆,教師巡視,個(gè)別指導(dǎo)。)

      生1:我利用平方化簡,但還沒有做出來。

      師:該同學(xué)平方化簡,肯定可以得到答案,只是還需要一些時(shí)間,相信他一定能成功。

      生2:上面式子表示兩點(diǎn)距離之和,根據(jù)橢圓定義可知,點(diǎn)軌跡是橢圓。

      (學(xué)生紛紛表示生2的解法是正確的)

      (學(xué)生認(rèn)為是雙曲線)

      師:是雙曲線嗎?

      生3:應(yīng)該是雙曲線的上半支。(由于第1題的解決對第2題有著提示和啟發(fā)作用,所以第2題幾乎所有學(xué)生都不再化簡了,自然地聯(lián)想到利用定義的解法中來,于是教師順勢拋出第3題。)

      生4:從條件的含義看,似乎不是橢圓,也不像雙曲線。

      師:到底軌跡是什么,生1解問題1的方法會(huì)給我們很好的啟示。

      (學(xué)生再次化簡,片刻后,一直得到的軌跡是拋物線,因?yàn)樗姆匠淌浅踔幸呀?jīng)學(xué)過。)

      第二步:剖析問題3條件的幾何意義,并推出是否具有一般性的結(jié)論。

      師:若把條件中的“2”改成其他數(shù)字(非零),結(jié)果如何?

      生5:軌跡仍然是拋物線,只是方程中的數(shù)字不同而已。

      師:那么條件所表示的幾何意義又是什么呢?

      第三步:類比推廣,從具體實(shí)例中抽象出拋物線的概念。

      師:從問題3的分析中我們可以看出,滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼,得出拋物線的定義。請哪位同學(xué)根據(jù)上面的等式,說出拋物線的定義。

      生7:到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線。

      師:不太準(zhǔn)確,應(yīng)該是在“平面內(nèi)”,接下來我們再用動(dòng)畫來演示一下這個(gè)定義下的軌跡

      ……

      點(diǎn)評:本案例從學(xué)生已有知識出發(fā),由易到難設(shè)計(jì)了3個(gè)問題,讓學(xué)生在問題解決的過程中自主探究,對比發(fā)現(xiàn),逆向生成拋物線的定義,再結(jié)合多媒體動(dòng)畫演示,同學(xué)們經(jīng)歷了一次“發(fā)現(xiàn)”,“創(chuàng)造”的過程,給學(xué)生留下較深刻的印象,對此概念的理解也將更準(zhǔn)確更深刻。

      【感悟】在教學(xué)中需要教師通過問題努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì),問題可以把學(xué)生帶入“憤”與“悱”的境地,幫助學(xué)生自主探究,理解數(shù)學(xué)概念的生成過程。

      對策3:步步為營,理解概念

      學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理性認(rèn)識是否初步形成,首先反映在對該概念的定義是否理解。學(xué)生認(rèn)識事物的過程,總是從具體到抽象,從個(gè)別到一般,這也是人類認(rèn)識事物的規(guī)律,因此,我們要遵照這一規(guī)律,通過問題串的設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生辨析,解剖概念,從而理解概念的內(nèi)涵和外延。

      【案例3】函數(shù)周期的理解

      函數(shù)的周期性和最小正周期是學(xué)生難以理解的概念,在學(xué)生了解其概念后,為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延,我設(shè)計(jì)了以下問題鏈,讓學(xué)生討論:

      (1)函數(shù)y=a(a為常數(shù))是周期函數(shù)嗎?y=a(a≠±2)呢?y=呢?

      (2)函數(shù)y=sinx,x?[-2π,+∞)是周期函數(shù)嗎?最小正周期是多少?

      函數(shù)y=sinx,(x?R且x≠kπ)呢?

      (4)作出函數(shù)y=sinx,x?[-2π,3π)與y=sinx(x?R)的圖像。

      點(diǎn)評:通過上述問題的研究,可以幫助學(xué)生弄清以下問題:(1)周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征;(2)最小正周期的存在狀況;(3)周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律;(4)周期函數(shù)的圖像特征.在此基礎(chǔ)上,學(xué)生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念,

      【感悟】在概念形成后,如何讓學(xué)生深入理解概念,在教學(xué)中,可以結(jié)合具體的事例詮釋概念的內(nèi)涵與外延。這里既可以設(shè)計(jì)“形似而神非”的個(gè)案來校正;也可以巧設(shè)“問題鏈”。在對“問題鏈”的辨析中,通過歸納、抽象、概括、提煉,循序漸進(jìn),步步緊逼,使學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)從“了解”上升到“理清并掌握”的層面,讓學(xué)生經(jīng)歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓,最后茅塞頓開,使學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)‘自我否定’的過程,從而喚醒學(xué)生的悟性和靈感,以達(dá)到對數(shù)學(xué)概念真正的理解。

      對策4:螺旋上升,內(nèi)化概念

      教師在平時(shí)教學(xué)中,要在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上,讓學(xué)生理解并鞏固概念。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因,很難一步到位,需要分成若干個(gè)層次,逐步加深提高。

      【案例4】“曲線與方程”教學(xué)片斷

      在得出“曲線與方程”的關(guān)系后,如何進(jìn)一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質(zhì),進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合的思想方法。為此,教學(xué)中使用下面的例子,設(shè)計(jì)問題啟發(fā)學(xué)生思考,從正、反兩方面認(rèn)識一般

      例1下列哪條曲線是方程x= ■1-y2的曲線?請說明理由。

      例2下列哪個(gè)方程是下圖中曲線C(兩條相交直線:第一、三象限的直角平分線,第二、四象限的直角平分線)的方程?請說明理由。

      A.x-y=0

      B.x+y=0

      C. x3-x2-xy2+y2=0

      D.x2-y2=0

      【感悟】一個(gè)概念的形成往往是螺旋式上升的,逐步深化的,一般要經(jīng)過具體到抽象,局部到整體,感性到理性的過程。教學(xué)中設(shè)計(jì)一些反例,讓學(xué)生通過正、反例的對比辨析、鑒別真?zhèn)?,從不同角度來認(rèn)識定義文字所隱含的內(nèi)容,從而達(dá)到“有比較才能鑒別,有鑒別才能深化認(rèn)識”的學(xué)習(xí)效果。

      對策5:返璞歸真,升華概念

      任何一門藝術(shù)的最高境界就是“返樸歸真”,張奠宙先生曾經(jīng)說過:“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”。這種“對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn)”只有在應(yīng)用中才能得到驗(yàn)證,在應(yīng)用的同時(shí)使得概念學(xué)習(xí)得到“升華”,從而讓學(xué)生的思維變得更開闊,更活躍,更富有活力。

      【案例5】“古典概型”習(xí)題課教學(xué)片斷

      問題:某信鴿訓(xùn)練場向甲、乙兩林區(qū)放飛4只鴿子,則甲林區(qū)剛好有一只鴿子的概率是多少?

      生1:甲乙兩林區(qū)的鴿子數(shù)如右圖,甲林區(qū)剛好有一只鴿子是五種情形中的一種,故所求概率為1/5。

      (顯然,該生錯(cuò)在對“等可能事件”的理解上,而且存在這種錯(cuò)誤理解的可能不止少部分學(xué)生,鑒于此,我并沒有立即評價(jià),而是讓學(xué)生繼續(xù)考慮還有什么思路?略停一分鐘)

      生2:每只鴿子有兩種放飛途徑,共有24=16種放飛方式,而甲林區(qū)有一只鴿子的方式只有4種。

      故,所求概率為1/4!。(這時(shí)候?qū)W生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論不一致?。?/p>

      針對以上兩個(gè)結(jié)論,組織學(xué)生展開討論:

      師:上述兩種思路,你能確定哪一種是錯(cuò)誤的?

      生齊答:第一種!

      師:為什么錯(cuò)?

      生:(無語)

      師:那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發(fā)生的概率:

      師生共同討論產(chǎn)生下表:

      甲林區(qū)鴿子數(shù)乙林區(qū)鴿子數(shù)0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

      情形 甲林區(qū)鴿子數(shù) 乙林區(qū)鴿子數(shù) 發(fā)生的概率1 0 4 1/16 2 1 4/16 3 2 2 6/16 4合計(jì)1 4/16 5 4 0 1/16 3 1 3

      這時(shí)學(xué)生恍然大悟:情形1 ~5不是等可能事件,當(dāng)然概率不是1/5!

      【感悟】以上過程讓學(xué)生更深層地領(lǐng)會(huì)到等可能事件發(fā)生的意義,在應(yīng)用中學(xué)生對“等可能事件”的認(rèn)識升華。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠,還必須上升到抽象層面去理解應(yīng)用,在應(yīng)用中將抽象的定義轉(zhuǎn)換為具體的形態(tài),讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念才是數(shù)學(xué)解題的“靈魂”,引導(dǎo)學(xué)生感受和領(lǐng)悟隱含于概念形成中的思想方法,在概念的運(yùn)用和推廣中滲透數(shù)學(xué)思想方法,這才是概念生成的核心。

      三、結(jié)束語

      數(shù)學(xué)概念教學(xué),不僅要讓學(xué)生明白一些原理,更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)一種思維,一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課,就如同一段美好的旋律,給人一種美好的體驗(yàn),要讓學(xué)生體會(huì)前輩的心路歷程,探索先哲的數(shù)學(xué)思想,這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦,這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。

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