芬迪灣、緬因灣和圣勞倫斯灣潮汐共振的數(shù)值研究＊

崔欣梅，方國洪＊，滕 飛，吳 頔

（1.中國科學(xué)院 南海海洋研究所，廣東 廣州510301；2.中國科學(xué)院大學(xué) 熱帶海洋環(huán)境國家重點實驗室，廣東 廣州510301；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100039；4.國家海洋局 第一海洋研究所，山東 青島266061；5.中國海洋大學(xué) 海洋環(huán)境學(xué)院，山東 青島266100）

共振是自然界普遍存在的現(xiàn)象，在力學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、原子物理學(xué)等學(xué)科及其相關(guān)的工程技術(shù)問題中都會遇到共振的問題。對于海洋潮汐，共振現(xiàn)象亦大量存在。共振導(dǎo)致的大振幅潮汐，也就消耗了大量潮汐能量，而消耗的潮汐能量必須由日－地－月系統(tǒng)中動能和勢能來提供，從而導(dǎo)致月球公轉(zhuǎn)的減速和地球自轉(zhuǎn)的減速，后者又導(dǎo)致日長的變長。芬迪灣存在全球潮差最大的半日潮，在芬迪灣頂部的米納斯灣曾出現(xiàn)15m多的潮高。雖然半日潮S2分潮（12.00h），N2分潮（12.66h）也較強(qiáng)，但主要以 M2分潮（12.42h）為主。芬迪灣的潮汐現(xiàn)象一直備受海洋學(xué)家的關(guān)注，早在19世紀(jì)末Lamb［1］就對芬迪灣較強(qiáng)的半日潮進(jìn)行了研究，開啟了關(guān)于海洋潮汐共振研究的序幕。早期關(guān)于芬迪灣潮汐共振的研究主要是根據(jù)四分之一波長共振理論，對于半封閉矩形海區(qū)，當(dāng)海區(qū)長度等于入射波波長的四分之一時會產(chǎn)生共振，根據(jù)波長、周期和波速的關(guān)系可估算出海區(qū)的共振周期，即 Merian公式（Proudman，1953［2］）。Proudman［2］和 Honda等［3］和認(rèn)為芬迪灣較強(qiáng)的半日潮與潮波共振有關(guān)，芬迪灣的長度約等于半日潮波波長的四分之一，粗略估算了芬迪灣的共振周期約11.09h，較接近半日潮的周期。然而Rao［4］按照Merian公式計算得到的芬迪灣共振周期為9.047 h；Duff［5］認(rèn)為緬因灣和芬迪灣應(yīng)作為一個系統(tǒng)進(jìn)行研究，不能將二者割裂開來。Garrett［6］將緬因灣和芬迪灣作為一個系統(tǒng)進(jìn)行研究，首次考慮了摩擦的作用，根據(jù)實際觀測水位計算了緬因－芬迪灣系統(tǒng)的共振周期（13.3h）和能量耗散因子 Q（3.1～5.6）。Garrett［7］采用Platzman［8］簡正模態(tài)方法計算芬迪灣的共振周期時，選擇了多個位置不同的開邊界，所得的共振周期也不相同，介于12.38～12.98h。Ku等［9］考慮了半日潮每18.6年的調(diào)制作用對摩擦的影響，從觀測數(shù)據(jù)、數(shù)值模式和理論分析三方面分析，認(rèn)為芬迪灣的共振周期應(yīng)該為13.5～13.7h。然而Godin［10－11］對此持有不同看法，同樣在考慮半日潮調(diào)制作用的情況下，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)和數(shù)值計算的結(jié)果分析認(rèn)為共振周期應(yīng)為12.5～12.7h。由此可見，對于芬迪灣的共振周期目前還存在不同看法。本文采用我們設(shè)計的“初值方法”，對芬迪灣和緬因灣的共振周期進(jìn)行估算，結(jié)果表明，其值為13h，大約等于 Garrett［6］和 Godin［10－11］估計值的中數(shù)。Godin［11］還指出，圣勞倫斯灣不發(fā)生潮汐共振，由于該海灣位于緬因－芬迪灣附近，我們對它的共振周期也一并進(jìn)行了估算。

1 數(shù)值方法

早先海洋學(xué)家均采用由極大簡化了的海域形狀和地形所得的共振周期公式來估算潮汐共振周期（Proudman［2］；Defant［12］）。隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，Platzman［8］采用數(shù)值方法計算海區(qū)的共振周期，提出簡正模態(tài)方法，此種方法編程極為復(fù)雜，且對開邊界位置的選擇有較大主觀性。Webb［13］提出采用邊值方法計算海區(qū)的共振周期，在開邊界處給一個頻率的波，采用數(shù)值方法計算海區(qū)對這一頻率的響應(yīng)情況。為了找出共振頻率，必須對許多不同頻率計算海區(qū)對各個頻率的響應(yīng)情況進(jìn)行計算，然后得出水位振幅隨頻率的變化曲線。這種方法操作較麻煩，較花費時間。到目前為止，國內(nèi)外關(guān)于潮汐共振的數(shù)值研究主要基于簡正模態(tài)方法和邊值方法。本文采用一種不同的方法，我們稱之為“初值方法”。這種方法簡單，計算量也較小，可同時計算任意多頻率，用傅里葉變換法對數(shù)值模式計算得到的水位數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，數(shù)值模式計算由任意頻率疊加生成的開邊界水位驅(qū)動，故稱之為“初值方法”。其基本原理和操作方法如下。

1.1 數(shù)值模式

我們所采用的數(shù)值模式是在POM（Princeton Ocean Model）模式基礎(chǔ)上修改得到的。目前關(guān)于潮汐共振的研究還是在二維、線性框架下進(jìn)行的，故動力學(xué)方程取為：

式中，t表示時間；λ和φ分別代表經(jīng)度和緯度；ζ表示水位大??；u和v分別表示流速向東和向北分量；R表示地球半徑；f＝2Ωsinφ，代表科氏參數(shù)；Ω表示地球旋轉(zhuǎn)的角速度；Η表示水深；r表示線性化之后的底摩擦系數(shù)。

1.2 開邊界驅(qū)動

模型主要靠開邊界水位驅(qū)動。為了計算海區(qū)對各頻率潮波的響應(yīng)情況，開邊界條件為：

式中，i，j表示開邊界處的網(wǎng)格點；fm≡mΔf表示第m個頻率Δf代表譜的分辨率，m＝M1，M1＋1，…，M2；分別表示第m個頻率的振幅和遲角。我們研究的目的是想知道研究海區(qū)對來自深海大洋潮波的響應(yīng)情況，因此Δf的選擇需要小于主要分潮頻率間之差。Q1，O1，K1，N2，M2和S2分潮的頻率分別是0.037 22，0.038 73，0.041 78，0.079 00，0.080 51和0.083 33h－1，最小的頻率差約為0.001 51h－1，我們選擇Δf＝1/1 024h－1，小于0.001 51h－1。其中分母之所以選擇1 024是因為1 024＝210，這使得對結(jié)果進(jìn)行Fourier變換時可以采用快速Fourier變換（FFT），以節(jié)省計算時間。如果采用較小或者較大的頻率分辨率Δf，則模式積分的時間也要隨之采用更長或更短的時間長度。

1.3 計算區(qū)域和模式設(shè)置

計算海區(qū)?。?2°～0°W，6°～58°N），覆蓋了北大西洋大部（圖1）。網(wǎng)格分辨率為（1/12°×1/12°），水深取自Etopo1水深數(shù)據(jù)，取底摩擦系數(shù)為0.001m/s。開邊界處的振幅均取常數(shù)，即；遲角與開邊界位置（i，j）無關(guān)，但與頻率有關(guān)，不同頻率的遲角不同，即是通過隨機(jī)數(shù)生成器計算得到的一組位于（0，2π）之間的隨機(jī)數(shù)，選擇隨機(jī)遲角是為了避免在某一時刻出現(xiàn)特別高或特別低的水位。我們在計算中取M1和M2分別為1和171，所以頻率變化區(qū)間為1/1 024～171/1 024h－1，即0.023 4～4.007 8 h－1，對應(yīng)的周期則為6～1 024h（約0.25～43d），覆蓋了主要分潮的頻率區(qū)間。

圖1 數(shù)值模式計算海區(qū)范圍Fig.1 The domain of the numerical model

圖2 緬因灣、芬迪灣和圣勞倫斯灣附近的水深等值線圖（m）Fig.2 The water depth contours distribution near the Gulf of Maine，the Bay of Fundy and the Gulf of Saint Lawrence（m）

從圖2可以看出，緬因灣和芬迪灣相通，可作為一個系統(tǒng)研究。自大洋至近岸水深變化極為劇烈，梯度較大，由幾千米迅速減小到百米，陸架比較狹窄。

模型從靜止?fàn)顟B(tài)（初始時刻水位和流速均為零）開始積分，時間步長取8s。每計算450步（時間間隔1h）存儲一次各計算點的水位，共計算3 072h的數(shù)據(jù)，取最后1 024h的水位數(shù)據(jù)，采用Fourier變換進(jìn)行分析。各網(wǎng)格點的振幅與遲角變化如下：

Munk和Cartwright［14］稱Rexp（－iΨ）的值為導(dǎo)納，Rm（i，j）代表第m個波頻在點（i，j）對于邊界振幅的響應(yīng)因子，Sutherland等［15］和Roos等［16］稱R和Ψ分別為振幅增益和相變。

2 結(jié)果和討論

我們共研究了3個海區(qū)對潮波的響應(yīng)情況，分別是芬迪灣、緬因灣和圣勞倫斯灣，并把芬迪灣和緬因灣作為一個系統(tǒng)進(jìn)行了分析（圖3）。平均水深指位于海區(qū)內(nèi)的所有網(wǎng)格點水深平均值（表1）。對于某一個波頻，本文采用了兩種振幅增益分析海區(qū)的響應(yīng)情況，一種是采用海區(qū)振幅增益位于前10%的點的值代表整個海區(qū)對不同頻率的響應(yīng)情況，另一種是采用整個海區(qū)所有點的振幅增益平均值代表整個海區(qū)對不同頻率的響應(yīng)情況。采用第二種情況主要是由于緬因灣－芬迪灣和圣勞倫斯灣岸線長且形狀多變，若只取振幅增益的前10%點代表整個海區(qū)，可能這10%的點集中位于海灣的某一個部分，而并非真的位于海灣的頂部。例如，只統(tǒng)計圣勞倫斯灣振幅增益的前10%計算點，在頻率2.60d－1會出現(xiàn)響應(yīng)峰值，這10%的點幾乎全部位于圣勞倫斯灣東北部與大西洋連接的海峽，這并不能代表整個海區(qū)的響應(yīng)情況；而對整個海區(qū)的振幅增益做平均則會發(fā)現(xiàn)在頻率2.60d－1處，振幅增益的響應(yīng)情況并不十分明顯。從圖3中可以看出各海區(qū)的響應(yīng)函數(shù)情況，在表1中列出了不同海區(qū)響應(yīng)函數(shù)的峰值。

表1 各海區(qū)平均水深及響應(yīng)峰值對應(yīng)的周期（T）和頻率（f）Table 1 Mean water depth and peak response frequencies with corresponding periods

從圖3a可以看出，緬因－芬迪灣系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)最大峰值的頻率約為1.85d－1，即周期為13.0h，此頻率為緬因－芬迪灣系統(tǒng)第一模態(tài)的共振頻率。緬因灣位于大西洋的大陸架上，平均水深約為129m。若假設(shè)陸坡的下限為1 500m（圖4），陸坡寬度僅為18km，地形的急劇變化導(dǎo)致了能量在陸架上的聚集。在圖4中，陸架寬度約為390km，陸架平均水深約為120m，根據(jù)四分之一波長理論計算，共振周期約為12.6h，這同模式計算的結(jié)果13.0h較為接近。本文的計算結(jié)果介于 Garrett［6］和Godin［10－11］的結(jié)果之間，可能會更合理。圖5為頻率（周期）1.85d－1（13.0h）對應(yīng)的振幅增益和相變大面圖。

圖3 各海區(qū)響應(yīng)函數(shù)（振幅增益關(guān)于頻率的函數(shù)）變化情況Fig.3 Response function（amplitude gains as function of frequency）for various sea areas

圖4 緬因灣至大西洋水深剖面圖Fig.4 The depth profile map from the Gulf of Maine to the Atlantic

緬因－芬迪灣系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)次最大峰值的頻率（周期）為2.60d－1（9.2h）。由圖3a，3b和3c三圖可以看出，頻率（周期）2.60d－1（9.2h）的峰值對應(yīng)的海區(qū)主要是芬迪灣，其振幅增益與頻率（周期）1.85d－1（13.0 h）的值比較接近，可見，在此頻率芬迪灣產(chǎn)生了較強(qiáng)的響應(yīng)。芬迪灣長度約為240km，平均水深約84m（表1），根據(jù)，這同模式計算結(jié)果非常接近。另外，芬迪灣在頻率（周期）2.84d－1（8.5h）和3d－1（8.0h）均出現(xiàn)了響應(yīng)峰值，相對其他兩個頻率響應(yīng)峰值偏小。圖6和圖7分別為頻率（周期）2.84 d－1（8.5h）和3d－1（8.0h）的振幅增益和相變大面圖。

圖5 頻率（周期）1.85d－1（13.0h）對應(yīng)的振幅增益和相變空間分布圖Fig.5 The spatial distributions of the amplitude gain and phase change for the frequency（period）of 1.85d－1（13.0h）

圖6 頻率（周期）2.84d－1（8.5h）對應(yīng)的振幅增益和相變空間分布圖Fig.6 The spatial distributions of the amplitude gain and phase change for the frequency（period）of 2.84d－1（8.5h）

圖7 頻率（周期）3d－1（8h）對應(yīng)的振幅增益和相變空間分布圖Fig.7 The spatial distributions of the amplitude gain and phase change for the frequency（period）of 3d－1（8h）

根據(jù)振幅增益位于前10%的統(tǒng)計情況（圖3d）可以看出，圣勞倫斯灣在頻率（周期）2.60d－1（9.2h）也產(chǎn)生了較強(qiáng)的響應(yīng)，而振幅增益位于前10%的點幾乎全部位于圣勞倫斯灣東北部與大西洋連接的狹長海峽（圖6a）；對整個海區(qū)全部點振幅增益求平均（圖3d），可以看出在頻率（周期）2.60d－1（9.2h）的響應(yīng)特征并不十分明顯。東北部狹長海峽長度約為570km，平均水深約為130m，根據(jù)半波長理論計算共振周期約為8.9h，這同模式計算的結(jié)果十分接近。另外，在頻率（周期）3.16d－1（7.6h）也存在明顯的響應(yīng)峰值，主要是受來自紐芬蘭島北部海灣波動的影響。圖8和圖9分別為頻率（周期）2.60d－1（9.2h）和3.16d－1（7.6h）對應(yīng)的振幅增益和相變大面圖。

圖8 頻率（周期）2.60d－1（9.2h）對應(yīng)的振幅增益和相變空間分布圖Fig.8 The spatial distributions of the amplitude gain and phase change for the frequency（period）of 2.60d－1（9.2h）

圖9 頻率（周期）3.16d－1（7.6h）對應(yīng)的振幅增益和相變空間分布圖Fig.9 The spatial distributions of the amplitude gain and phase change for the frequency（period）of 3.16d－1（7.6h）

3 結(jié)語

本文采用數(shù)值方法研究了芬迪灣、緬因灣和圣勞倫斯灣的潮汐共振情況，并將芬迪灣和緬因灣作為一個系統(tǒng)進(jìn)行了研究。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)緬因－芬迪灣系統(tǒng)最強(qiáng)共振的周期約為13.0h，與N2分潮（12.66h）較為接近。其值大約等于Garrett［6］和Godin［10－11］估計值的中數(shù)，因而可能更合理。數(shù)值與根據(jù)陸架共振計算的結(jié)果比較一致，因而系由陸架共振所引起。而芬迪灣次強(qiáng)共振的周期約為9.2h，這同芬迪灣四分之一波長共振周期9.3h較為接近。

圣勞倫斯灣的共振現(xiàn)象主要體現(xiàn)在其東北部海區(qū)，在這一海區(qū)通過海峽與大西洋相連，共振周期約為9.2h，這可能是由半波長共振引起的。由于潮汐不存在這一周期的分潮，故圣勞倫斯灣不存在潮汐共振現(xiàn)象，與 Godin［11］結(jié)論一致。

（References）：

［1］LAMB H.Hydrodynamics［M］.Oxford：Cambridge University Press，1993.

［2］PROUDMAN J.Dynamical Oceanography［M］.London：Methuen，1953.

［3］HONDA K，TERADA T，ISITANI D.On the secondary undulations of oceanic tides［J］.The London，Edinburgh，and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science，1908，15（85）：88－126.

［4］RAO D.Natural oscillations of the Bay of Fundy［J］.Journal of the Fisheries Board of Canada，1968，25（6）：1097－1114.

［5］DUFF G.Tidal resonance and tidal barriers in the Bay of Fundy system［J］.Journal of the Fisheries Board of Canada，1970，27（10）：1701－1728.

［6］GARRETT C.Tidal resonance in the Bay of Fundy and Gulf of Maine［J］.Nature，1972，238：441－443.

［7］GARRETT C.Normal modes of the Bay of Fundy and Gulf of Maine［J］.Canadian Journal of Earth Sciences，1974，11（4）：549－556.

［8］PLATZMAN G.Two－dimensional free oscillations in natural basins［J］.Journal of Physical Oceanography，1972，2（2）：117－138.

［9］KU L，GREENBERG D，GARRETT C，et al.Nodal modulation of the lunar semidiurnal tide in the Bay of Fundy and Gulf of Maine［J］.Science，1985，230（4721）：69－71.

［10］GODIN G.The resonant period of the Bay of Fundy［J］.Continental Shelf Research，1988，8（8）：1005－1010.

［11］GODIN G.On tidal resonance［J］.Continental Shelf Research，1993，13（1）：89－107.

［12］DEFANT A.Physical oceanography［M］.Oxford：Pergamon Press，1961.

［13］WEBB D.On the shelf resonances of the Gulf of Carpentaria and the Arafura Sea［J］.OceanScience Discussions，2012，9（2）：443－497.

［14］MUNK W，CARTWRIGHT D.Tidal spectroscopy and predication［J］.Philosophical Transactions for the Royal Society of London.Series A，Mathematical and Physical Sciences，1966，259：533－581.

［15］SUTHERLAND G，GARRETT C，F(xiàn)OREMAN M.Tidal Resonance in Juan de Fuca Strait and the Strait of Georgia［J］.Journal of physical oceanography，2005，35（7）：1279－1286.

［16］ROOS P，VELEMA J，HULSCHER S，et al.An idealized model of tidal dynamics in the North Sea：resonance properties and response to large－scale changes［J］.Ocean dynamics，2011，61（12）：2019－2035.