運(yùn)用模型思想解決問題的案例研究

李小星

摘 要：數(shù)學(xué)模型猶如一把鑰匙，能幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地找到知識的“突破口”，并快速地打開，同時(shí)，學(xué)生在解題之后，能舉一反三，運(yùn)用這把鑰匙打開更多的知識大門。在這一過程中，學(xué)生明確了題意，理清了數(shù)量關(guān)系，并學(xué)會(huì)對各數(shù)量進(jìn)行合理分析，從而解決了問題。同時(shí)，學(xué)生還收獲了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和自主合作、探究創(chuàng)新的精神，使數(shù)學(xué)真正融入學(xué)生的生活中，為終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：解決問題；思想方法；明確題意；拓展知識

小學(xué)數(shù)學(xué)模型，主要是確定性數(shù)學(xué)模型。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型具有一般化、典型化和精確化的特點(diǎn)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無處不在。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型思想，幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生把握住數(shù)學(xué)的本質(zhì)。模型思想就是針對要解決的問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

一、數(shù)學(xué)模型有利于學(xué)生明確題意

學(xué)會(huì)審題、明確題意，是解決問題的前提。只有深入了解題意，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，才是正確地解決問題的基礎(chǔ)。

例如，在學(xué)習(xí)了梯形的面積計(jì)算之后，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的題目：一堆木頭堆成梯形，最下方有20根，每往上堆一層就減少一根，一共堆了12層，這堆木頭共有多少根？很多學(xué)生不會(huì)解決此題，原因在哪？經(jīng)過詢問，原來是對問題意思理解不深，對整個(gè)題的理解也不深，不知道該與什么知識聯(lián)系在一起，還有一部分學(xué)生干脆采用連加的方法依次進(jìn)行計(jì)算。

然而，我們初次建立模型后，情況就不一樣了，對此題我們建立的模型如下：最下方的木頭根數(shù)=下底，最上方的木頭根數(shù)=上底，堆放層數(shù)=高，那么木頭的根數(shù)=（上底+下底）×高÷2，經(jīng)過練習(xí)學(xué)生初步建立此模型后，對此題的理解就非常容易了，自然就知道原來堆放的木頭根數(shù)實(shí)際就是解決梯形的面積問題。

二、數(shù)學(xué)模型有利于學(xué)生理清關(guān)系

理清數(shù)量之間的關(guān)系，并合理地使用數(shù)量關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵。學(xué)生往往在學(xué)習(xí)了某一個(gè)知識點(diǎn)后，并不能將解決方法與問題“對號入座”，這時(shí)，就可以通過題目中的重點(diǎn)詞，從眾多的模型中找出解題所需要的。

例如：小李和小劉在周長400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而跑，那么二人從出發(fā)到第二次相遇需要多長時(shí)間？首先，我們建立的有關(guān)相遇問題的數(shù)學(xué)模型有：同時(shí)出發(fā)，同時(shí)相遇（時(shí)間相等） 甲行路程+乙行路程=總路程 甲行路程-乙行路程=多行的路程 （甲的速度+乙的速度）×?xí)r間=總路程 （甲的速度-乙的速度）×?xí)r間=多行的路程，其次，從這些數(shù)學(xué)模型中，我們能找到解決這道題的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是與總路程相關(guān)的，因?yàn)槭堑诙蜗嘤?，所以總路程是兩個(gè)跑道的長度。再對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行變通，時(shí)間=總路程÷（甲的速度+乙的速度），問題很快便得以解決。

三、數(shù)學(xué)模型有利于學(xué)生合理分析

學(xué)生在解決實(shí)際問題的時(shí)候，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，從而合理地分析題意，解決問題。

例如：兩根小棒分別長8厘米和5厘米，想一想，能和它們圍成三角形的第三根小棒的長可能是多少厘米？完成這道題，不能將目光停留在動(dòng)手操作、玩一玩、試一試上，而是要思考：用什么樣的數(shù)學(xué)思維方式來解決。既然題目出現(xiàn)了三角形以及各邊的長度，那么一定與三角形的三邊關(guān)系有關(guān)，即“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，找出第三根小棒最長是多少，最少是多少，那所有的問題便迎刃而解。

四、數(shù)學(xué)模型有利于學(xué)生拓展知識

當(dāng)學(xué)生的頭腦中已經(jīng)初步構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，即在可觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中加以運(yùn)用，使數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。同時(shí)學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用過程中認(rèn)識新問題，同化新知識，并構(gòu)建自己的智力系統(tǒng)。

如學(xué)習(xí)了乘法分配率，我們要隨即設(shè)計(jì)如下變式練習(xí)：簡便計(jì)算（40-4）×25，由加變成減，學(xué)生有個(gè)思考、同化、接納的過程。再如，學(xué)習(xí)了“雞兔同籠”問題后，我們可以設(shè)計(jì)下面的練習(xí)：小華買了2元和5元紀(jì)念郵票34張，共用去98元錢，求小華買了2元和5元的紀(jì)念郵票各多少張？這題從“雞、兔”轉(zhuǎn)化成郵票，學(xué)生從不同的情境、數(shù)據(jù)變化中認(rèn)識了“雞兔同籠”的內(nèi)涵，并將這一模型的外延加以拓展和延伸。

總之，數(shù)學(xué)模型猶如一把鑰匙，能幫助學(xué)生快速、準(zhǔn)確地找到知識的“突破口”，并快速地打開，同時(shí)，學(xué)生在解題之后，能舉一反三。在這一過程中，學(xué)生明確了題意，理清了數(shù)量關(guān)系，并學(xué)會(huì)對各數(shù)量進(jìn)行合理分析，從而解決了問題。同時(shí)，學(xué)生還收獲了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和自主合作、探究創(chuàng)新的精神，使數(shù)學(xué)真正融入學(xué)生的生活中，為終身學(xué)習(xí)、可持續(xù)發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

張春梅.淺談在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何建構(gòu)數(shù)學(xué)模型[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)版，2011（04）.

編輯 李建軍